Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{13}{12}$.
बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ने पर:
$\frac{(x+1)(x+2) + x(x+2) + x(x+1)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{13}{12}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$\frac{(x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 2x) + (x^2 + x)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{13}{12}$.
$\frac{3x^2 + 6x + 2}{x^3 + 3x^2 + 2x} = \frac{13}{12}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$12(3x^2 + 6x + 2) = 13(x^3 + 3x^2 + 2x)$.
$36x^2 + 72x + 24 = 13x^3 + 39x^2 + 26x$.
त्रिघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$13x^3 + 3x^2 - 46x - 24 = 0$.
परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करके जांचने पर,$x=2$ एक मूल है:
$13(8) + 3(4) - 46(2) - 24 = 104 + 12 - 92 - 24 = 0$.
$(x-2)$ से विभाजित करने पर $(x-2)(13x^2 + 29x + 12) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $13x^2 + 29x + 12 = 0$ का विविक्तकर $D = 217$ है,जो पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए अन्य मूल पूर्णांक नहीं हैं।
अतः,केवल एक धनात्मक पूर्णांक हल $x=2$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^2-4x+[x]+3=x[x]$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2-4x+3=x[x]-[x]$
बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर: $(x-1)(x-3)=[x](x-1)$
यह इंगित करता है: $(x-1)(x-3-[x]) = 0$
अतः,$x=1$ या $x-3=[x]$
$x-3=[x]$ के लिए,हमें $x-[x]=3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि भिन्नात्मक भाग $\{x\}=3$ है।
चूँकि भिन्नात्मक भाग $\{x\}$ को $0 \le \{x\} < 1$ को संतुष्ट करना चाहिए,समीकरण $\{x\}=3$ का कोई हल नहीं है।
अतः,एकमात्र हल $x=1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$
माना $t = x + \frac{1}{x}$. तब $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
समीकरण में मान रखने पर: $3(t^2 - 2) - 2t + 5 = 0$
$3t^2 - 6 - 2t + 5 = 0$
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
गुणनखंड करने पर: $3t^2 - 3t + t - 1 = 0 \Rightarrow 3t(t - 1) + 1(t - 1) = 0$
$(3t + 1)(t - 1) = 0$,अतः $t = 1$ या $t = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3x^2 + x + 3 = 0$. विविक्तकर $D = (1)^2 - 4(3)(3) = 1 - 36 = -35 < 0$. कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,वास्तविक हलों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया है $\log_2(9^{2\alpha-4} + 13) - \log_2(\frac{5}{2} \cdot 3^{2\alpha-4} + 1) = 2$।
मान लीजिए $y = 3^{2\alpha-4}$। तब $9^{2\alpha-4} = y^2$।
समीकरण $\log_2(\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1}) = 2$ बन जाता है।
$\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1} = 4 \implies y^2 + 13 = 10y + 4$।
$y^2 - 10y + 9 = 0 \implies (y-1)(y-9) = 0$।
अतः $y = 1$ या $y = 9$।
यदि $3^{2\alpha-4} = 1$,तो $2\alpha-4 = 0 \implies \alpha = 2$।
यदि $3^{2\alpha-4} = 9$,तो $2\alpha-4 = 2 \implies \alpha = 3$।
इस प्रकार,$S = \{2, 3\}$।
$\sum_{\alpha \in S} \alpha = 2 + 3 = 5$।
$\sum_{\alpha \in S} (\alpha+1)^2 = (2+1)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25$।
द्विघात समीकरण $x^2 - 2(5)^2 x + 25\beta = 0$ है,जो $x^2 - 50x + 25\beta = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$।
$D = (-50)^2 - 4(1)(25\beta) = 2500 - 100\beta \geq 0$।
$100\beta \leq 2500 \implies \beta \leq 25$।
$\beta$ का अधिकतम मान $25$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^7+3x^5-13x^3-15x=0$ है।
$x$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$x(x^6+3x^4-13x^2-15)=0$ प्राप्त होता है।
माना $t = x^2$ है। समीकरण $t^3+3t^2-13t-15=0$ बन जाता है।
मानों की जाँच करने पर,$t=-1$ एक मूल है: $(-1)^3+3(-1)^2-13(-1)-15 = 0$।
$(t+1)$ से विभाजित करने पर,$(t+1)(t^2+2t-15)=0$ प्राप्त होता है,जिसका गुणनखंड $(t+1)(t+5)(t-3)=0$ है।
अतः,$x^2 = -1, -5, 3$ है।
मूल $x = 0, \pm i, \pm i\sqrt{5}, \pm \sqrt{3}$ हैं।
परिमाण $|0|=0, |\pm i|=1, |\pm i\sqrt{5}|=\sqrt{5}, |\pm \sqrt{3}|=\sqrt{3}$ हैं।
परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करने पर: $|\alpha_1| = |\alpha_2| = \sqrt{5}$,$|\alpha_3| = |\alpha_4| = \sqrt{3}$,$|\alpha_5| = |\alpha_6| = 1$,$|\alpha_7| = 0$ है।
माना $\alpha_1 = i\sqrt{5}, \alpha_2 = -i\sqrt{5}, \alpha_3 = \sqrt{3}, \alpha_4 = -\sqrt{3}, \alpha_5 = i, \alpha_6 = -i$ है।
तब $\alpha_1 \alpha_2 - \alpha_3 \alpha_4 + \alpha_5 \alpha_6 = (i\sqrt{5})(-i\sqrt{5}) - (\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (i)(-i) = 5 + 3 + 1 = 9$।

(B) दिया गया समीकरण $\sqrt{(x-1)(x-3)} + \sqrt{(x-3)(x+3)} = \sqrt{(x-3)(4x-2)}$ है।
स्थिति $1$: $\sqrt{x-3} = 0 \implies x = 3$.
डोमेन की जाँच: $\sqrt{x^2-9}$ के लिए,$x^2-9 \ge 0$ होना चाहिए,अतः $x \ge 3$ या $x \le -3$. $x=3$ के लिए,$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$,जो सत्य है। अतः,$x=3$ एक मूल है।
स्थिति $2$: $\sqrt{x-3} \neq 0$. $\sqrt{x-3}$ से विभाजित करने पर ($x > 3$ मानते हुए):
$\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} = \sqrt{4x-2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)} = 4x-2$.
$2x + 2 + 2\sqrt{x^2+2x-3} = 4x-2$.
$2\sqrt{x^2+2x-3} = 2x-4$.
$\sqrt{x^2+2x-3} = x-2$.
पुनः वर्ग करने पर:
$x^2+2x-3 = x^2-4x+4$.
$6x = 7 \implies x = 7/6$.
चूंकि $x=7/6$ शर्त $x \ge 3$ को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए इसे अस्वीकार कर दिया गया है।
अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।

(A) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + 8e^{3x} + 13e^{2x} - 8e^x + 1 = 0$
माना $e^x = t$. चूंकि $x \in R$,इसलिए $t > 0$ है।
समीकरण $t^4 + 8t^3 + 13t^2 - 8t + 1 = 0$ हो जाता है।
$t^2$ से विभाजित करने पर $(t \neq 0)$:
$t^2 + 8t + 13 - \frac{8}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(t^2 + \frac{1}{t^2}) + 8(t - \frac{1}{t}) + 13 = 0$
माना $z = t - \frac{1}{t}$. तब $z^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$,इसलिए $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 + 2$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$(z^2 + 2) + 8z + 13 = 0$
$z^2 + 8z + 15 = 0$
$(z + 3)(z + 5) = 0$
अतः,$z = -3$ या $z = -5$ है।
स्थिति $1$: $t - \frac{1}{t} = -3 \implies t^2 + 3t - 1 = 0$. हल $t = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$ हैं। चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}$ है।
स्थिति $2$: $t - \frac{1}{t} = -5 \implies t^2 + 5t - 1 = 0$. हल $t = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$ हैं। चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{\sqrt{29} - 5}{2}$ है।
दोनों स्थितियों में $t < 1$ है,इसलिए $x = \ln(t) < 0$ है।
अतः,दो हल हैं और दोनों ऋणात्मक हैं।

(B) मान लीजिए $t = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{x^2 - 4}$.
चूंकि $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$,इसलिए $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
अतः,समीकरण $t + \frac{1}{t} = 10$ बन जाता है।
$t^2 - 10t + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$t = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
$5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ और $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$.
स्थिति $1$: $x^2 - 4 = 2 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$.
स्थिति $2$: $x^2 - 4 = -2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
अतः,$S = \{ \sqrt{6}, -\sqrt{6}, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \}$.
इसलिए $n(S) = 4$.

(C) दिया गया समीकरण $x^3+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दी गई शर्तों के अनुसार,$\alpha = -1$ और $\beta \gamma = 1$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(-1)^3 + b(-1) + c = 0$,जो $-1 - b + c = 0$ या $c - b = 1$ में सरल हो जाता है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -c$ होता है।
$\alpha = -1$ और $\beta \gamma = 1$ रखने पर,हमें $(-1)(1) = -c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 1$ है।
$c = 1$ को $c - b = 1$ में रखने पर,हमें $1 - b = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 0$ है।
समीकरण $x^3 + 1 = 0$ बन जाता है।
$x^3 = -1$ के मूल $-1, -\omega, -\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
मान लीजिए $\alpha = -1, \beta = -\omega, \gamma = -\omega^2$ है।
हमें $b^3 + 2c^3 - 3\alpha^3 - 6\beta^3 - 8\gamma^3$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $0^3 + 2(1)^3 - 3(-1)^3 - 6(-\omega)^3 - 8(-\omega^2)^3$.
$= 0 + 2 - 3(-1) - 6(-\omega^3) - 8(-\omega^6)$.
$= 2 + 3 + 6(1) + 8(1) = 2 + 3 + 6 + 8 = 19$.

(C) समीकरण $x^2+\sqrt{6}x+3=0$ के मूल $\alpha, \beta = \sqrt{3} e^{\pm i \frac{3\pi}{4}}$ हैं।
$\alpha^n + \beta^n = 2(\sqrt{3})^n \cos\left(\frac{3n\pi}{4}\right)$ का उपयोग करने पर,
अंश और हर के मानों की गणना करने पर,अंतिम उत्तर $81$ प्राप्त होता है।

(B) हम $x$ के विभिन्न अंतरालों पर विचार करके समीकरण $x|x| - 5|x + 2| + 6 = 0$ का विश्लेषण करते हैं।
स्थिति $1$: $x \ge 0$.
समीकरण $x^2 - 5(x + 2) + 6 = 0$ बन जाता है,जो $x^2 - 5x - 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल $x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$ हैं।
चूंकि $x \ge 0$,हम $x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$ स्वीकार करते हैं। ($1$ मूल)
स्थिति $2$: $-2 \le x < 0$.
समीकरण $-x^2 - 5(x + 2) + 6 = 0$ बन जाता है,जो $x^2 + 5x + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x + 1)(x + 4) = 0$ मिलता है,इसलिए $x = -1$ या $x = -4$ है।
चूंकि $-2 \le x < 0$,हम $x = -1$ स्वीकार करते हैं। ($1$ मूल)
स्थिति $3$: $x < -2$.
समीकरण $-x^2 - 5(-(x + 2)) + 6 = 0$ बन जाता है,जो $x^2 - 5x - 16 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल $x = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{2}$ हैं।
चूंकि $x < -2$,हम $x = \frac{5 - \sqrt{89}}{2}$ स्वीकार करते हैं। ($1$ मूल)
कुल वास्तविक मूलों की संख्या $1 + 1 + 1 = 3$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \sin^3 x + (2 \sin x \cos x) \cos x + 4 \sin x - 4 = 0$
$2 \sin^3 x + 2 \sin x \cos^2 x + 4 \sin x - 4 = 0$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin^3 x + 2 \sin x (1 - \sin^2 x) + 4 \sin x - 4 = 0$
$2 \sin^3 x + 2 \sin x - 2 \sin^3 x + 4 \sin x - 4 = 0$
$6 \sin x = 4 \implies \sin x = \frac{2}{3}$
अंतराल $[0, \frac{n \pi}{2}]$ में $\sin x = \frac{2}{3}$ के $3$ हल होने के लिए $n = 5$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $x^2 + 5x + 2 = 0$ है।
मूल $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$ हैं।
दोनों मूल ऋणात्मक हैं,इसलिए वे $(-\infty, 0)$ में स्थित हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x(x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि या तो $x = 0$ है या $x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2| = 0$ है।
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $f(x) = x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|$ है।
चूंकि $x^2 \ge 0$,$3|x| \ge 0$,$5|x-1| \ge 0$,और $6|x-2| \ge 0$,इसलिए योग $f(x)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है।
विशेष रूप से,$f(x) = 0$ केवल तभी संभव है जब सभी पद एक साथ शून्य हों,जो असंभव है क्योंकि $x^2=0 \implies x=0$,लेकिन $x=0$ पर,$f(0) = 0^2 + 3(0) + 5|0-1| + 6|0-2| = 17 \neq 0$ है।
अतः,एकमात्र वास्तविक हल $x = 0$ है।
इसलिए,वास्तविक हलों की संख्या $1$ है।

(D) माना $e^{\sin x} = t$ है। चूँकि $\sin x \in [-1, 1]$,इसलिए $t$ का मान $[e^{-1}, e^1]$ अर्थात $[0.368, 2.718]$ के बीच होना चाहिए।
दिया गया समीकरण: $t - \frac{2}{t} = 2$ है।
$t$ से गुणा करने पर: $t^2 - 2t - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t > 0$ है,इसलिए $t = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ लेते हैं।
हमें $e^{\sin x} = 1 + \sqrt{3}$ के लिए हल ज्ञात करना है।
चूँकि $1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ और $e \approx 2.718$ है,इसलिए $1 + \sqrt{3} > e$ है।
चूँकि $e^{\sin x}$ का अधिकतम मान $e^1 = e$ है,इसलिए $e^{\sin x} = 1 + \sqrt{3}$ के लिए $x$ का कोई वास्तविक हल संभव नहीं है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^x = 10$
ध्यान दें कि $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$ है। अतः,$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$।
मान लीजिए $t = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^x$ है। तो समीकरण $t + \frac{1}{t} = 10$ बन जाता है।
$t$ से गुणा करने पर,हमें $t^2 - 10t + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$।
चूंकि $5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ और $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$ है,इसलिए $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ या $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$।
अतः,$x = 2$ या $x = -2$ है।
इसलिए,समुच्चय $S = \{2, -2\}$ है,और $S$ में अवयवों की संख्या $2$ है।

(A) मान लीजिए $u = \sin^2 2\theta$ है। हम जानते हैं कि $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - \frac{u}{2}$ और $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - \frac{3u}{4}$ होता है।
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = u - 4(1 - \frac{u}{2})(1 - \frac{3u}{4}) \ge 0$.
$-\frac{3}{2}u^2 + 6u - 4 \ge 0 \implies 3u^2 - 12u + 8 \le 0$.
$u$ का मान $[0, 2 - \frac{2}{\sqrt{3}}]$ अंतराल में प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 0$ और $\beta = 2 - \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
मान रखने पर,$3((\alpha - 2)^2 + (\beta - 1)^2) = 19 - 4\sqrt{3}$.

(A) दिया गया समीकरण: $|2a - 1| = 3[a] + 2\{a\}$.
चूंकि $a = [a] + \{a\}$,इसलिए $2\{a\} = 2a - 2[a]$.
समीकरण में मान रखने पर: $|2a - 1| = 3[a] + 2a - 2[a] = [a] + 2a$.
स्थिति $1$: $a \ge \frac{1}{2}$.
तब $2a - 1 = [a] + 2a$,जिसका अर्थ है $[a] = -1$.
चूंकि $[a] = -1$,इसलिए $a \in [-1, 0)$. लेकिन यह शर्त $a \ge \frac{1}{2}$ का विरोधाभास करती है। अतः,इस स्थिति में कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: $a < \frac{1}{2}$.
तब $-(2a - 1) = [a] + 2a$,जो $1 - 2a = [a] + 2a$ या $4a = 1 - [a]$ में बदल जाता है।
माना $a = I + f$,जहाँ $I = [a]$ और $f = \{a\} \in [0, 1)$.
तब $4(I + f) = 1 - I$,इसलिए $5I + 4f = 1$.
चूंकि $0 \le f < 1$,इसलिए $0 \le 4f < 4$.
अतः,$0 \le 1 - 5I < 4$,जिसका अर्थ है $-3 < 5I \le 1$,इसलिए $I \in \{0, -1\}$.
यदि $I = 0$,तो $4f = 1 \implies f = \frac{1}{4}$. अतः $a = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
यदि $I = -1$,तो $5(-1) + 4f = 1 \implies 4f = 6 \implies f = 1.5$,जो संभव नहीं है क्योंकि $f < 1$.
अतः,एकमात्र हल $a = \frac{1}{4}$ है।
अंत में,$72 \sum_{a \in S} a = 72 \times \frac{1}{4} = 18$.

(A) हम समीकरण $|x||x+2|-5|x+1|-1=0$ को $x$ के विभिन्न अंतरालों के लिए हल करते हैं:
स्थिति $1$: $x \geq 0$
समीकरण $x(x+2)-5(x+1)-1=0 \implies x^2-3x-6=0$ हो जाता है।
हल $x = \frac{3+\sqrt{33}}{2}$ प्राप्त होता है। (एक मूल)
स्थिति $2$: $-1 \leq x < 0$
समीकरण $-x^2-7x-6=0 \implies x^2+7x+6=0$ हो जाता है।
$x=-1$ अंतराल में है। (एक मूल)
स्थिति $3$: $-2 \leq x < -1$
समीकरण $x^2-3x-4=0$ हो जाता है,जिसका कोई मूल इस अंतराल में नहीं है।
स्थिति $4$: $x < -2$
समीकरण $x^2+7x+4=0$ हो जाता है।
$x = \frac{-7-\sqrt{33}}{2}$ अंतराल में है। (एक मूल)
कुल भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $3$ है।

(D) हम $x = -5$ और $x = -7$ बिंदुओं को ध्यान में रखते हुए तीन मामलों द्वारा समीकरण $x|x+5|+2|x+7|-2=0$ का विश्लेषण करते हैं।
स्थिति $I$: $x \geq -5$
समीकरण $x(x+5) + 2(x+7) - 2 = 0$ हो जाता है।
$x^2 + 7x + 12 = 0$
$(x+3)(x+4) = 0$
$x = -3$ या $x = -4$। दोनों $x \geq -5$ को संतुष्ट करते हैं।
स्थिति $II$: $-7 < x < -5$
समीकरण $x(-(x+5)) + 2(x+7) - 2 = 0$ हो जाता है।
$x^2 + 3x - 12 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{2}$।
यहाँ $x = \frac{-3 - \sqrt{57}}{2} \approx -5.275$ अंतराल $(-7, -5)$ में है।
स्थिति $III$: $x \leq -7$
समीकरण $-x^2 - 7x - 16 = 0$ हो जाता है।
विविक्तकर $D = 49 - 64 = -15 < 0$,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
कुल वास्तविक हलों की संख्या $3$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $(8)^{2x} - 16 \cdot (8)^x + 48 = 0$
माना $8^x = t$। तब समीकरण होगा:
$t^2 - 16t + 48 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(t - 4)(t - 12) = 0$
अतः,$t = 4$ या $t = 12$।
$8^x = t$ वापस रखने पर:
$8^x = 4 \implies x = \log_8(4)$
$8^x = 12 \implies x = \log_8(12)$
हलों का योग:
$\log_8(4) + \log_8(12) = \log_8(4 \times 12) = \log_8(48)$
चूंकि $48 = 8 \times 6$,इसलिए:
$\log_8(8 \times 6) = \log_8(8) + \log_8(6) = 1 + \log_8(6)$

(B) माना $f(x) = |x+1||x+3|-4|x+2|+5 = 0$. माना $t = x+2$. तब $x+1 = t-1$ और $x+3 = t+1$.
समीकरण $|t-1||t+1|-4|t|+5 = 0$ हो जाता है,जो $|t^2-1|-4|t|+5 = 0$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $|t| \geq 1$ $(t^2 \geq 1)$
$t^2-1-4|t|+5 = 0 \implies |t|^2-4|t|+4 = 0 \implies (|t|-2)^2 = 0 \implies |t|=2$.
अतः $t=2$ या $t=-2$. चूँकि $x=t-2$,इसलिए $x=0$ या $x=-4$.
स्थिति $2$: $|t| < 1$ $(t^2 < 1)$
$1-t^2-4|t|+5 = 0 \implies t^2+4|t|-6 = 0$.
माना $u = |t|$,तब $u^2+4u-6=0$. $u = \frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$.
चूँकि $u = |t| \geq 0$,इसलिए $u = \sqrt{10}-2 \approx 1.16$.
लेकिन हमने $u < 1$ माना था,इसलिए इस स्थिति में कोई हल नहीं मिलता है।
भिन्न वास्तविक मूल $x=0$ और $x=-4$ हैं। अतः भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $2$ है।

(C) दिया गया है $-\frac{\pi}{6} < \theta < -\frac{\pi}{12}$।
समीकरण $x^2 - 2x \sec \theta + 1 = 0$ के लिए,मूल $\alpha_1, \beta_1 = \sec \theta \pm \tan \theta$ हैं।
चूंकि $\theta \in (-\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{12})$,$\sec \theta > 0$ और $\tan \theta < 0$ है। इसलिए,$\alpha_1 = \sec \theta - \tan \theta$।
समीकरण $x^2 + 2x \tan \theta - 1 = 0$ के लिए,मूल $\alpha_2, \beta_2 = -\tan \theta \pm \sec \theta$ हैं।
चूंकि $\alpha_2 > \beta_2$,इसलिए $\beta_2 = -\tan \theta - \sec \theta$।
अतः,$\alpha_1 + \beta_2 = (\sec \theta - \tan \theta) + (-\tan \theta - \sec \theta) = -2 \tan \theta$।

(D) दिया गया है $z^2 + z + 1 - a = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$z = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1-a)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$।
चूंकि $z$ का काल्पनिक भाग शून्य नहीं है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$4a - 3 < 0$,जिसका अर्थ है $a < \frac{3}{4}$।
दिए गए विकल्पों में से,$\frac{3}{4}$ का मान $\frac{3}{4}$ से कम नहीं है,इसलिए $a$ का मान $\frac{3}{4}$ नहीं हो सकता।

(D) माना $p(x) = ax^2 + c$ जहाँ $a, c \in \mathbb{R}$ है। चूँकि मूल शुद्ध काल्पनिक हैं,माना वे $\pm i k$ $(k \neq 0)$ हैं।
तब $p(ik) = a(ik)^2 + c = -ak^2 + c = 0$,जिसका अर्थ है $c = ak^2$.
अतः,$p(x) = a(x^2 + k^2)$.
अब,$p(p(x)) = 0$ पर विचार करें,जिसका अर्थ है $p(x) = \pm ik$.
$a(x^2 + k^2) = ik$ या $a(x^2 + k^2) = -ik$.
$x^2 + k^2 = \pm \frac{ik}{a}$.
$x^2 = -k^2 \pm \frac{ik}{a}$.
चूँकि $k^2$ वास्तविक है और $\pm \frac{ik}{a}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए $x^2$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है जिसका काल्पनिक भाग शून्य नहीं है।
अतः,$x$ वास्तविक नहीं हो सकता (क्योंकि $x^2$ वास्तविक होता) और $x$ शुद्ध काल्पनिक नहीं हो सकता (क्योंकि $x^2$ वास्तविक होता)।
इस प्रकार,मूल न तो वास्तविक हैं और न ही शुद्ध काल्पनिक। सही विकल्प $(D)$ है।

(D) द्विघात समीकरण $\alpha x^2 - x + \alpha = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = (-1)^2 - 4(\alpha)(\alpha) = 1 - 4\alpha^2 > 0$ $\Rightarrow \alpha^2 < \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \alpha \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \setminus \{0\}$.
दिया गया है कि $|x_1 - x_2| < 1$,इसलिए $|x_1 - x_2|^2 < 1$.
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$ का उपयोग करने पर,हमें $\left(\frac{1}{\alpha}\right)^2 - 4(1) < 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{\alpha^2} - 4 < 1$ $\Rightarrow \frac{1}{\alpha^2} < 5$ $\Rightarrow \alpha^2 > \frac{1}{5}$.
अतः,$|\alpha| > \frac{1}{\sqrt{5}}$,जिसका अर्थ है $\alpha \in \left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \infty\right)$.
दोनों शर्तों को संयोजित करने पर,$\alpha \in \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{1}{2}\right)$.
इस प्रकार,अंतराल $(A)$ और $(D)$ $S$ के उपसमुच्चय हैं।

(B) शर्त $ax^2 + 2bxy + cy^2 > 0$ सभी $(x, y) \neq (0, 0)$ के लिए यह दर्शाती है कि द्विघात रूप धनात्मक निश्चित है। यह तभी होता है जब $a > 0$ और विविक्तकर $D = (2b)^2 - 4ac < 0$ हो,जो $b^2 < ac$ में सरल हो जाता है।
$(A) (2, \frac{7}{2}, 6)$ के लिए,$a = 2 > 0$ और $b^2 = (\frac{7}{2})^2 = 12.25$,जबकि $ac = 2 \times 6 = 12$ है। चूंकि $12.25 > 12$,इसलिए $(2, \frac{7}{2}, 6) \notin S$ है।
$(B) (3, b, \frac{1}{12})$ के लिए,हमें $b^2 < 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ की आवश्यकता है। अतः $|b| < \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $|2b| < 1$। यह $TRUE$ है।
$(C)$ यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं है तो समीकरण निकाय का अद्वितीय हल होता है। सारणिक $ac - b^2$ है। चूंकि $(a, b, c) \in S$,इसलिए $b^2 < ac$,अतः $ac - b^2 > 0$ है। इस प्रकार,निकाय का एक अद्वितीय हल है। यह $TRUE$ है।
$(D)$ यदि सारणिक $(a+1)(c+1) - b^2 \neq 0$ है तो निकाय का अद्वितीय हल होता है। चूंकि $ac > b^2$ और $a, c > 0$ है,हमारे पास $ac + a + c + 1 > b^2 + 1 > 0$ है। अतः,सारणिक हमेशा धनात्मक रहता है,जो एक अद्वितीय हल सुनिश्चित करता है। यह $TRUE$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $e^{5(\ln x)^2+3} = x^8$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln(e^{5(\ln x)^2+3}) = \ln(x^8)$
$5(\ln x)^2 + 3 = 8 \ln x$
माना $t = \ln x$ है। समीकरण इस प्रकार होगा:
$5t^2 - 8t + 3 = 0$
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है। माना इसके मूल $t_1$ और $t_2$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $t_1 + t_2 = -(-8)/5 = 8/5$ है।
चूंकि $t = \ln x$ है,इसलिए $\ln x_1 + \ln x_2 = 8/5$ प्राप्त होता है।
$\ln x_1 + \ln x_2 = \ln(x_1 x_2)$ गुण का उपयोग करने पर:
$\ln(x_1 x_2) = 8/5$
अतः,हलों का गुणनफल $x_1 x_2 = e^{8/5}$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ है।
गुणांकों का योग $a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = 0$ है।
अतः,$x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
चूँकि मूल समान हैं,इसलिए दोनों मूल $1$ होंगे।
मूलों का गुणनफल $\frac{c(a-b)}{a(b-c)} = 1 \times 1 = 1$ है।
अतः,$c(a-b) = a(b-c) \Rightarrow 2ac = b(a+c)$।
$a+c = 15$ और $b = \frac{36}{5}$ रखने पर,$2ac = \frac{36}{5} \times 15 = 108$ प्राप्त होता है।
अतः $ac = 54$।
$a^2 + c^2 = (a+c)^2 - 2ac = (15)^2 - 108 = 225 - 108 = 117$।

(A) दिया गया समीकरण: $(x^2-9x+11)^2-(x^2-9x+20)=3$
माना $t = x^2-9x$ है।
समीकरण में $t$ प्रतिस्थापित करने पर: $(t+11)^2 - (t+20) = 3$
$t^2 + 22t + 121 - t - 20 - 3 = 0$
$t^2 + 21t + 98 = 0$
$(t+14)(t+7) = 0$
अतः,$t = -7$ या $t = -14$ है।
स्थिति $1$: $x^2-9x = -7 \Rightarrow x^2-9x+7 = 0$। मूल $x = \frac{9 \pm \sqrt{81-28}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{53}}{2}$ (अपरिमेय) हैं।
स्थिति $2$: $x^2-9x = -14 \Rightarrow x^2-9x+14 = 0$।
$(x-7)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 7, 2$ (परिमेय)।
परिमेय मूलों का गुणनफल $7 \times 2 = 14$ है।

(B) माना $\frac{1}{\sqrt{x}} = \alpha$,जहाँ $x > 0$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(9\alpha^2 - 9\alpha + 2)(2\alpha^2 - 7\alpha + 3) = 0$.
द्विघात व्यंजकों का गुणनखंड करने पर:
$(3\alpha - 1)(3\alpha - 2)(2\alpha - 1)(\alpha - 3) = 0$.
इससे $\alpha$ के मान $\alpha = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, 3$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $\alpha = \frac{1}{\sqrt{x}}$,इसलिए $\sqrt{x} = \frac{1}{\alpha}$,अतः $x = \frac{1}{\alpha^2}$.
प्रत्येक $\alpha$ के लिए $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$\alpha = \frac{1}{3}$ के लिए,$x = 9$.
$\alpha = \frac{2}{3}$ के लिए,$x = \frac{9}{4}$.
$\alpha = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = 4$.
$\alpha = 3$ के लिए,$x = \frac{1}{9}$.
$x$ के ये सभी मान धनात्मक हैं और $x > 0$ की शर्त को पूरा करते हैं।
अतः,कुल $4$ हल हैं।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + (a-5)x + (15-3a) = 0$ है।
वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (a-5)^2 - 4(2)(15-3a) < 0$
$a^2 - 10a + 25 - 120 + 24a < 0$
$a^2 + 14a - 95 < 0$
$(a+19)(a-5) < 0$
अतः,$a \in (-19, 5)$,जिससे $\alpha = -19$ और $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
समुच्चय $X = \{x \in Z : -19 < x < 5\} = \{-18, -17, \ldots, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ है।
हमें $\sum_{x \in X} x^2 = \sum_{x=-18}^{4} x^2$ की गणना करनी है।
यह $(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) + 0^2 + (1^2 + 2^2 + \ldots + 18^2)$ के बराबर है।
वर्गों के योग का सूत्र: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
योग $= \frac{4(5)(9)}{6} + \frac{18(19)(37)}{6} = 30 + 2109 = 2139$।

(A) द्विघात समीकरण $(1-a)x^2 + 2(a-3)x + 9 = 0$ के मूल धनात्मक होने के लिए शर्तें:
$1$. विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = [2(a-3)]^2 - 4(1-a)(9) \geq 0$
$a^2 + 3a \geq 0 \implies a \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$
$2$. मूलों का योग $> 0$:
$-\frac{b}{a} = \frac{2(a-3)}{a-1} > 0 \implies a \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
$3$. मूलों का गुणनफल $> 0$:
$\frac{c}{a} = \frac{9}{1-a} > 0 \implies a < 1$
सभी शर्तों का सर्वनिष्ठ लेने पर:
$a \in (-\infty, -3] \cup [0, 1)$
$(-\infty, -\alpha] \cup [\beta, \gamma)$ से तुलना करने पर,$\alpha = 3, \beta = 0, \gamma = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$2\alpha + \beta + \gamma = 2(3) + 0 + 1 = 7$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2+4x-n=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $x^2+4x+4 = n+4$ प्राप्त होता है,जो $(x+2)^2 = n+4$ में सरल हो जाता है।
मूलों के पूर्णांक होने के लिए,$n+4$ को एक पूर्ण वर्ग $k^2$ होना चाहिए,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
चूँकि $20 \leq n \leq 100$,इसलिए $24 \leq n+4 \leq 104$ है।
अतः,$24 \leq k^2 \leq 104$ है।
इस सीमा में संभावित पूर्ण वर्ग $k^2$ के मान $25, 36, 49, 64, 81, 100$ हैं।
तदनुसार,$n = k^2 - 4$ लेने पर $n \in \{21, 32, 45, 60, 77, 96\}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n$ के $6$ ऐसे भिन्न मान संभव हैं।

(C) हम समीकरण $x|x-2|+3|x-3|+1=0$ का तीन स्थितियों में विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $(I): x < 2$
समीकरण $x(2-x) + 3(3-x) + 1 = 0$ हो जाता है
$-x^2 + 2x + 9 - 3x + 1 = 0$
$-x^2 - x + 10 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 10 = 0$
मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$ प्राप्त होते हैं।
यहाँ $x = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$ स्थिति $x < 2$ को संतुष्ट करता है।
स्थिति $(II): 2 \leq x < 3$
समीकरण $x^2 - 5x + 10 = 0$ हो जाता है,जिसका विविक्तकर $D < 0$ है,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
स्थिति $(III): x \geq 3$
समीकरण $x^2 + x - 8 = 0$ हो जाता है,जिसके मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$ हैं,जो $x \geq 3$ की स्थिति को संतुष्ट नहीं करते हैं।
अतः,कुल $1$ वास्तविक मूल है।

(B) यहाँ,फलन $f(x) = x^{2} - 78.8$ है।
इसका अवकलज $f^{\prime}(x) = 2x$ है।
प्रारंभिक सन्निकटन $x_{0} = 14$ है।
Newton-Raphson सूत्र के अनुसार,प्रथम सन्निकटन $x_{1}$ इस प्रकार है:
$x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f^{\prime}(x_{0})}$
$x_{1} = 14 - \frac{(14)^{2} - 78.8}{2 \times 14}$
$x_{1} = 14 - \frac{196 - 78.8}{28}$
$x_{1} = 14 - \frac{117.2}{28}$
$x_{1} = 14 - 4.1857...$
$x_{1} \approx 9.814$.

(D) माना बहुपद $f(x) = ax^{2}+bx+c$ है।
दिया गया है $f(0)=8$,अतः $a(0)^{2}+b(0)+c=8$,जिसका अर्थ है $c=8$ है।
अतः,बहुपद $f(x) = ax^{2}+bx+8$ है।
दिया गया है $f(1)=12$,अतः $a(1)^{2}+b(1)+8=12$,जो सरल होकर $a+b=4$ (समीकरण $i$) देता है।
दिया गया है $f(2)=18$,अतः $a(2)^{2}+b(2)+8=18$,जो सरल होकर $4a+2b=10$ या $2a+b=5$ (समीकरण $ii$) देता है।
समीकरण $(ii)$ से समीकरण $(i)$ को घटाने पर,हमें $(2a+b)-(a+b) = 5-4$ प्राप्त होता है,जिससे $a=1$ मिलता है।
$a=1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $1+b=4$ प्राप्त होता है,जिससे $b=3$ मिलता है।
अतः,अभीष्ट बहुपद $f(x) = x^{2}+3x+8$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $(\cos p - 1) x^2 + (\cos p) x + \sin p = 0$ है।
समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \geq 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = \cos p - 1$,$b = \cos p$,और $c = \sin p$ है।
विविक्तकर की शर्त में मान रखने पर:
$(\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$
चूंकि $\cos p - 1 \neq 0$,इसलिए $\cos p \neq 1$,जिसका अर्थ है $p \neq 2n\pi$।
$p \in (0, \pi)$ के लिए,$\sin p > 0$ और $\cos p - 1 < 0$ है।
अतः,$p \in (0, \pi)$ वास्तविक मूलों के लिए शर्त को संतुष्ट करता है।

(C) माना द्विघात समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $a$ और $b$ का समांतर माध्य $34$ है,इसलिए $\frac{a+b}{2} = 34$,जिसका अर्थ है $a+b = 68$।
दिया गया है कि $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य $16$ है,इसलिए $\sqrt{ab} = 16$,जिसका अर्थ है $ab = 16^{2} = 256$।
मूल $a$ और $b$ वाला द्विघात समीकरण $x^{2} - (a+b)x + ab = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - 68x + 256 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = ax^{2} + bx + 2$।
$f(1) = 4$ के लिए:
$a(1)^{2} + b(1) + 2 = 4 \implies a + b = 2$ ... $(1)$
$f(3) = 38$ के लिए:
$a(3)^{2} + b(3) + 2 = 38 \implies 9a + 3b = 36 \implies 3a + b = 12$ ... $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(3a + b) - (a + b) = 12 - 2
2a = 10 \implies a = 5$
$(1)$ में $a = 5$ रखने पर:
$5 + b = 2 \implies b = -3$
अतः,$a - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

(B) द्विघात फलन $f(x) = x^2 + 4x + 5$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाने की विधि या अवकलन विधि का उपयोग कर सकते हैं।
विधि $1$: पूर्ण वर्ग बनाना
$f(x) = x^2 + 4x + 4 + 1$
$f(x) = (x + 2)^2 + 1$
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $(x + 2)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $0 + 1 = 1$ है।
विधि $2$: अवकलन विधि
$f'(x) = 2x + 4$
$f'(x) = 0$ रखने पर $2x + 4 = 0$,जिससे $x = -2$ प्राप्त होता है।
$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
अतः,न्यूनतम मान $1$ है।

(D) दिया गया है,$p^{2}-2q^{2}=1$ $(i)$.
चूंकि $p$ और $q$ अभाज्य संख्याएँ हैं,हम छोटी अभाज्य संख्याओं का परीक्षण करते हैं।
माना $p=3$ और $q=2$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$(3)^{2}-2(2)^{2} = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1$.
यह दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।
अब,$p^{2}+2q^{2}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p^{2}+2q^{2} = (3)^{2}+2(2)^{2} = 9 + 2(4) = 9 + 8 = 17$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^{3}-6x+9=0$
$9$ के गुणनखंडों की जाँच करने पर,$x=-3$ के लिए:
$(-3)^{3}-6(-3)+9 = -27+18+9 = 0$
अतः,$(x+3)$ बहुपद का एक गुणनखंड है।
$x^{3}-6x+9$ को $(x+3)$ से विभाजित करने पर:
$(x+3)(x^{2}-3x+3) = 0$
द्विघात भाग $x^{2}-3x+3=0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4(1)(3) = 9-12 = -3$ है।
चूंकि $D < 0$,द्विघात भाग के मूल काल्पनिक हैं।
इसलिए,एकमात्र वास्तविक मूल $x=-3$ है।

(A) चूंकि $(x-1)$,$x^{5}-4 x^{3}+2 x^{2}-3 x+k=0$ का एक गुणनखंड है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$x=1$ दिए गए समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x=1$ रखने पर:
$(1)^{5}-4(1)^{3}+2(1)^{2}-3(1)+k=0$
$1-4+2-3+k=0$
$-4+k=0$
$k=4$

(D) मान लीजिए कि $a$ और $b$ द्विघात समीकरण के मूल हैं।
तब,द्विघात समीकरण $x^2-(a+b)x+ab=0$ द्वारा दिया जाता है ....$(i)$
यह दिया गया है कि $AM = 5$ और $GM = 4$ है।
इसलिए,$\frac{a+b}{2} = 5 \Rightarrow a+b = 10$ है।
और $\sqrt{ab} = 4 \Rightarrow ab = 16$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2-10x+16=0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2-10x+16=0$ है।

(A) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = x^{2}-8x+17$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग कर सकते हैं:
$f(x) = (x^{2}-8x+16) + 1$
$f(x) = (x-4)^{2} + 1$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x-4)^{2} \ge 0$ होता है,इसलिए न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $(x-4)^{2} = 0$ हो,जो $x = 4$ पर होता है।
अतः,न्यूनतम मान $0 + 1 = 1$ है।

(C) दिया गया है,$150 x \equiv 35 \pmod{31}$।
सबसे पहले,उभयनिष्ठ गुणनखंड $5$ से विभाजित करके सर्वांगसमता को सरल करें (चूंकि $\gcd(5, 31) = 1$):
$30 x \equiv 7 \pmod{31}$।
हम $30$ को $-1 \pmod{31}$ के रूप में लिख सकते हैं:
$-x \equiv 7 \pmod{31}$।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर:
$x \equiv -7 \pmod{31}$।
धनात्मक शेषफल ज्ञात करने के लिए,$31$ जोड़ें:
$x \equiv -7 + 31 \pmod{31} \Rightarrow x \equiv 24 \pmod{31}$।
अतः,$x = 24$ दी गई सर्वांगसमता को संतुष्ट करता है।

(C) समीकरण $(x^2+5x+5)^{x+5}=1$ निम्नलिखित स्थितियों में सत्य है:
स्थिति $1$: घातांक $0$ हो और आधार शून्य न हो।
$x+5=0 \Rightarrow x=-5$.
आधार की जाँच करने पर: $(-5)^2+5(-5)+5 = 5 \neq 0$. अतः,$x=-5$ एक हल है।
स्थिति $2$: आधार $1$ हो।
$x^2+5x+5=1$ $\Rightarrow x^2+5x+4=0$ $\Rightarrow (x+1)(x+4)=0$.
अतः,$x=-1$ और $x=-4$ हल हैं।
स्थिति $3$: आधार $-1$ हो और घातांक एक सम पूर्णांक हो।
$x^2+5x+5=-1$ $\Rightarrow x^2+5x+6=0$ $\Rightarrow (x+2)(x+3)=0$.
अतः,$x=-2$ या $x=-3$.
$x=-2$ के लिए,घातांक $x+5 = 3$ (विषम) है,इसलिए यह हल नहीं है।
$x=-3$ के लिए,घातांक $x+5 = 2$ (सम) है,इसलिए $x=-3$ एक हल है।
पूर्णांक हलों का समुच्चय $\{-5, -1, -4, -3\}$ है।
अतः,समीकरण को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों की संख्या $4$ है।

(A) दिया है,$mn=3$ और $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{4}{3}$.
दूसरे समीकरण से,$\frac{m+n}{mn}=\frac{4}{3}$.
$mn=3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{m+n}{3}=\frac{4}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m+n=4$.
हमारे पास $m+n=4$ और $mn=3$ है। द्विघात समीकरण $x^2-4x+3=0$ के मूल $m$ और $n$ हैं।
$(x-1)(x-3)=0$,इसलिए $m=1, n=3$ या $m=3, n=1$.
अब,$0.1+0.1^{\frac{1}{m}}+0.1^{\frac{1}{n}}$ व्यंजक का मान ज्ञात करें।
$m=1$ और $n=3$ रखने पर,हमें $0.1+0.1^1+0.1^{\frac{1}{3}} = 0.1+0.1+0.1^{\frac{1}{3}} = 0.2+0.1^{\frac{1}{3}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 5kx + (6k^2 - 2k) = 0$ है।
चूँकि $0$ समीकरण का एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(0)^2 - 5k(0) + (6k^2 - 2k) = 0$
$6k^2 - 2k = 0$
$2k(3k - 1) = 0$
इससे $k = 0$ या $k = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
यदि $k = 0$ है,तो समीकरण $x^2 = 0$ हो जाता है,जिसके मूल $0, 0$ हैं। चूँकि $\alpha \neq 0$,इसलिए $k$ का मान $0$ नहीं हो सकता।
यदि $k = \frac{1}{3}$ है,तो समीकरण $x^2 - 5(\frac{1}{3})x + (6(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3})) = 0$ हो जाता है
$x^2 - \frac{5}{3}x + (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = 0$
$x^2 - \frac{5}{3}x = 0$
$x(x - \frac{5}{3}) = 0$
मूल $0$ और $\frac{5}{3}$ हैं।
चूँकि $\alpha$ अशून्य मूल है,इसलिए $\alpha = \frac{5}{3}$।

(A) माना समीकरण $x^2+2ax+b=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
चूंकि मूल वास्तविक और भिन्न हैं,इसलिए विविक्तकर $D > 0$ है।
$D = (2a)^2 - 4(1)(b) = 4a^2 - 4b > 0 \implies a^2 > b$ या $b < a^2$।
मूल $\alpha, \beta = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2-4b}}{2} = -a \pm \sqrt{a^2-b}$ हैं।
मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = |2\sqrt{a^2-b}|$ है।
दिया गया है कि मूलों का अंतर अधिकतम $2m$ है,इसलिए $2\sqrt{a^2-b} \le 2m$।
$\sqrt{a^2-b} \le m \implies a^2-b \le m^2 \implies b \ge a^2-m^2$।
शर्तों $b < a^2$ और $b \ge a^2-m^2$ को मिलाने पर,हमें $b \in [a^2-m^2, a^2)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।