Solution of quadratic inequations and Newton Formula Questions in Hindi

(C) दिया गया है $f(x) = x^2 + 4x + 1$।
विकल्प $A$ के लिए: विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 16 - 4 = 12 > 0$ है। अतः $f(x)$ सभी $x$ के लिए समान चिह्न नहीं रखता है।
विकल्प $B$ के लिए: यदि $x \ge 0$ है,तो $x^2 + 4x + 1 \ge 1$। यह सत्य है।
विकल्प $C$ के लिए: $f(x) \ge 1 \implies x^2 + 4x \ge 0 \implies x(x + 4) \ge 0$। यह असमिका $x \le -4$ या $x \ge 0$ के लिए सत्य है। अतः $x \le -4$ के लिए $f(x) \ge 1$ सत्य है।

(D) दी गई असमिका: $x^2 - 4x < 12$
दोनों पक्षों से $12$ घटाने पर: $x^2 - 4x - 12 < 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(x - 6)(x + 2) < 0$
दो गुणनखंडों का गुणनफल ऋणात्मक होने के लिए,गुणनखंडों के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$,$-2$ और $6$ के बीच स्थित हो।
अतः,हल $-2 < x < 6$ है।

(A) एक द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,इसका विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ और $A > 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = 1$,जो $> 0$ है।
विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(1)(10 - 3a) < 0$ है।
$4a^2 - 40 + 12a < 0$।
$4$ से भाग देने पर,हमें $a^2 + 3a - 10 < 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(a + 5)(a - 2) < 0$ मिलता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a$ का मान $-5$ और $2$ के बीच हो,अतः $-5 < a < 2$।

(A) दी गई द्विघात असमिका $ax^2 - 2x + 4 > 0$ है जहाँ $a < 0$ है।
सबसे पहले,द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके संबंधित द्विघात समीकरण $ax^2 - 2x + 4 = 0$ के मूल ज्ञात करें।
यहाँ,$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(a)(4)}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16a}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4a}}{a}$ है।
चूँकि $a < 0$ है,परवलय $y = ax^2 - 2x + 4$ नीचे की ओर खुलता है।
असमिका $ax^2 - 2x + 4 > 0$ दोनों मूलों के बीच सत्य होती है।
माना $\alpha = \frac{1 + \sqrt{1 - 4a}}{a}$ और $\beta = \frac{1 - \sqrt{1 - 4a}}{a}$ है।
चूँकि $a < 0$ है,$\frac{1 + \sqrt{1 - 4a}}{a} < \frac{1 - \sqrt{1 - 4a}}{a}$ होगा।
अतः,हल $\frac{1 + \sqrt{1 - 4a}}{a} < x < \frac{1 - \sqrt{1 - 4a}}{a}$ है।

(B) असमिका $3x^2 + 14x + 11 > 0$ को हल करने के लिए,हम पहले द्विघात समीकरण $3x^2 + 14x + 11 = 0$ के मूल ज्ञात करते हैं।
गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $3x^2 + 3x + 11x + 11 = 0$।
$3x(x + 1) + 11(x + 1) = 0$।
$(3x + 11)(x + 1) = 0$।
मूल $x = -\frac{11}{3}$ और $x = -1$ हैं।
चूंकि $x^2$ का गुणांक धनात्मक $(3 > 0)$ है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
अतः,$3x^2 + 14x + 11$ का मान मूलों के बीच के अंतराल के बाहर धनात्मक होगा।
इसलिए,असमिका $x < -\frac{11}{3}$ या $x > -1$ के लिए सत्य है।

(B) माना $|x| = t$,जहाँ $t \geq 0$ है।
असमिका $t^2 + 2t - 15 \geq 0$ हो जाती है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(t + 5)(t - 3) \geq 0$।
चूँकि $t \geq 0$ है,$t + 5$ हमेशा धनात्मक है।
अतः,$t - 3 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $t \geq 3$।
$|x| \geq 3$ वापस रखने पर,हमें $x \geq 3$ या $x \leq -3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $f(x) = mx - 1 + \frac{1}{x} \geq 0$,सभी $x > 0$ के लिए।
चूंकि $x > 0$,$x$ से गुणा करने पर,हमें $mx^2 - x + 1 \geq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c \geq 0$ के सभी $x > 0$ के लिए सत्य होने की शर्तों का विश्लेषण करने पर:
यदि $m \leq 0$ है,तो बड़े $x$ के लिए $mx^2 - x + 1$ ऋणात्मक हो जाएगा,इसलिए $m > 0$ होना चाहिए।
$mx^2 - x + 1 \geq 0$ के सभी $x > 0$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ होना चाहिए।
$D = (-1)^2 - 4(m)(1) = 1 - 4m \leq 0$.
$1 \leq 4m \implies m \geq \frac{1}{4}$.
अतः,$m$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{4}$ है।

(B) दी गई द्विघात असमिका: $2x^2 + 3x - 9 \le 0$
चरण $1$: द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें।
$2x^2 + 6x - 3x - 9 \le 0$
$2x(x + 3) - 3(x + 3) \le 0$
$(2x - 3)(x + 3) \le 0$
चरण $2$: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$2x - 3 = 0 \implies x = 3/2$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
चरण $3$: वह अंतराल निर्धारित करें जहाँ गुणनफल शून्य या शून्य से कम हो।
द्विघात असमिका $(x - \alpha)(x - \beta) \le 0$ के लिए,जहाँ $\alpha < \beta$,हल $\alpha \le x \le \beta$ होता है।
यहाँ,$-3 \le x \le 3/2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दी गई असमिका: $\frac{4x^2 + 1}{64x^2 - 96x \sin \alpha + 5} < \frac{1}{32}$.
हर $64x^2 - 96x \sin \alpha + 5 > 0$ मानकर,तिरछा गुणा करने पर:
$128x^2 + 32 < 64x^2 - 96x \sin \alpha + 5$
$64x^2 + 96x \sin \alpha + 27 < 0$.
इस द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = (96 \sin \alpha)^2 - 4(64)(27) > 0$
$9216 \sin^2 \alpha - 6912 > 0$
$\sin^2 \alpha > \frac{3}{4}$
$|\sin \alpha| > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः $\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$\alpha \in (\pi/3, 2\pi/3)$.
$\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$\alpha \in (4\pi/3, 5\pi/3)$.

(B) असमिका $2^{\log_{\sqrt{2}}(x - 1)} > x + 5$ दी गई है।
सबसे पहले,लघुगणकीय फलन का प्रांत (domain) देखें: $x - 1 > 0 \implies x > 1$।
गुणधर्म $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ का उपयोग करने पर,$\log_{\sqrt{2}}(x - 1) = \log_{2^{1/2}}(x - 1) = 2 \log_2(x - 1) = \log_2((x - 1)^2)$।
इसे असमिका में रखने पर: $2^{\log_2((x - 1)^2)} > x + 5$।
चूंकि $2^{\log_2(y)} = y$,असमिका $(x - 1)^2 > x + 5$ हो जाती है।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 > x + 5$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 3x - 4 > 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 4)(x + 1) > 0$।
मूल $x = 4$ और $x = -1$ हैं।
असमिका $x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$ के लिए सत्य है।
प्रांत $x > 1$ को ध्यान में रखते हुए,$(x > 1)$ और $(x < -1 \text{ या } x > 4)$ का प्रतिच्छेदन $x > 4$ है।
अतः,हल समुच्चय $(4, +\infty)$ है।

(D) दी गई असमिका $kx^2 - 2x + k \geq 0$ है।
स्थिति $1$: यदि $k = 0$ है,तो असमिका $-2x \geq 0$ हो जाती है,जिसका अर्थ है $x \leq 0$। यह कम से कम एक वास्तविक $x$ के लिए सत्य है,इसलिए $k = 0$ एक हल है।
स्थिति $2$: यदि $k \neq 0$ है,तो असमिका को $k \geq \frac{2x}{x^2 + 1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$। $f(x)$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
असमिका $k \geq f(x)$ के कम से कम एक $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$k$ का मान $f(x)$ के न्यूनतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$k \geq -1$।
इसलिए,$k$ के मानों का समुच्चय $k \in [-1, \infty)$ है।

(B) माना $f(t) = t^2 + 5mt - 3m + 1$,जहाँ $t = \{x\} \in [0, 1)$ है।
हमें सभी $t \in [0, 1)$ के लिए $f(t) < 0$ की आवश्यकता है।
चूँकि $f(t)$,$t$ में एक द्विघात समीकरण है जिसका अग्रणी गुणांक धनात्मक है,परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
सभी $t \in [0, 1)$ के लिए $f(t) < 0$ होने के लिए,अंत बिंदुओं पर मान $f(0) < 0$ और $f(1) \leq 0$ होने चाहिए।
$f(0) = -3m + 1 < 0 \implies 3m > 1 \implies m > \frac{1}{3}$।
$f(1) = 1 + 5m - 3m + 1 = 2m + 2 \leq 0 \implies 2m \leq -2 \implies m \leq -1$।
$m > \frac{1}{3}$ और $m \leq -1$ को मिलाने पर,हमें कोई भी $m$ प्राप्त नहीं होता है।
अतः,$m$ के पूर्णांक मानों की संख्या $0$ है।

(A) असमिका $x^{2} \leq 4$ को हल करने के लिए,हम इसे $x^{2} - 4 \leq 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह वर्गों का अंतर है,जिसका गुणनखंड $(x - 2)(x + 2) \leq 0$ होता है।
संबंधित समीकरण $(x - 2)(x + 2) = 0$ के मूल $x = 2$ और $x = -2$ हैं।
ये मूल संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -2)$,$(-2, 2)$,और $(2, \infty)$।
अंतराल $(-2, 2)$ में एक मान का परीक्षण करने पर,जैसे $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 2) = -4$,जो $\leq 0$ है।
चूंकि असमिका में समानता का चिह्न शामिल है,इसलिए अंतिम बिंदुओं को भी शामिल किया जाता है।
अतः,हल समुच्चय संवृत अंतराल $[-2, 2]$ है।

(A) दी गई असमिका $x^{2} \leq 9$ है।
इसे $x^{2} - 9 \leq 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 3)(x + 3) \leq 0$ प्राप्त होता है।
दो गुणनखंडों का गुणनफल शून्य या शून्य से कम होने के लिए,$x$ का मान समीकरण $(x - 3)(x + 3) = 0$ के मूलों के बीच होना चाहिए।
मूल $x = 3$ और $x = -3$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $x \in [-3, 3]$ के लिए,व्यंजक $(x - 3)(x + 3) \leq 0$ सत्य है।
अतः,हल समुच्चय $[-3, 3]$ है।

(A) द्विघात असमिका $ax^{2}+bx+c > 0$ के प्रत्येक $x \in \mathbb{R}$ के लिए मान्य होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए और $a > 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1 > 0$,इसलिए हमें केवल $D < 0$ की आवश्यकता है।
$D = [-2(3k-1)]^{2} - 4(1)(8k^{2}-7) < 0$
$4(9k^{2}-6k+1) - 4(8k^{2}-7) < 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$9k^{2}-6k+1 - 8k^{2}+7 < 0$
$k^{2}-6k+8 < 0$
$(k-2)(k-4) < 0$
इसका अर्थ है $k \in (2, 4)$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,अंतराल $(2, 4)$ में एकमात्र पूर्णांक मान $k = 3$ है।

(B) माना $S_n = a^n + b^n$ है। चूँकि $a$ और $b$ समीकरण $x^2-7x-1=0$ के मूल हैं,न्यूटन के योग नियम के अनुसार,$S_{n+2} - 7S_{n+1} - S_n = 0$,जिसका अर्थ है $S_{n+2} = 7S_{n+1} + S_n$.
हमें $\frac{S_{21} + S_{17}}{S_{19}}$ का मान ज्ञात करना है।
पुनरावृत्ति संबंध से,$S_{21} = 7S_{20} + S_{19}$ है।
साथ ही,$S_{19} = 7S_{18} + S_{17}$,जिसका अर्थ है $S_{17} = S_{19} - 7S_{18}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{S_{21} + S_{17}}{S_{19}} = \frac{7S_{20} + S_{19} + S_{19} - 7S_{18}}{S_{19}} = \frac{7S_{20} + 2S_{19} - 7S_{18}}{S_{19}}$.
चूँकि $S_{20} = 7S_{19} + S_{18}$ है,इसलिए $S_{20} - S_{18} = 7S_{19}$ है।
अंश में यह मान रखने पर:
$\frac{7(S_{20} - S_{18}) + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{7(7S_{19}) + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{49S_{19} + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{51S_{19}}{S_{19}} = 51$.

(B) दी गई असमिका $\frac{ax^2+2(a+1)x+9a+4}{x^2-8x+32} < 0$ सभी $x \in R$ के लिए है।
चूंकि हर $x^2-8x+32 = (x-4)^2 + 16 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए है,इसलिए अंश $f(x) = ax^2+2(a+1)x+9a+4 < 0$ सभी $x \in R$ के लिए होना चाहिए।
$f(x) < 0$ सभी $x \in R$ के लिए होने हेतु $a < 0$ और विविक्तकर $D < 0$ होना आवश्यक है।
हालाँकि,प्रश्न में $a$ के धनात्मक पूर्णांक मान पूछे गए हैं।
चूंकि $a$ को ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए कोई भी धनात्मक पूर्णांक $a$ इस शर्त को पूरा नहीं करता है।
अतः,$S$ एक रिक्त समुच्चय है और इसमें अवयवों की संख्या $0$ है।

(C) न्यूटन के सूत्र के अनुसार,समीकरण $x^2 - (t^2 - 5t + 6)x + 1 = 0$ के लिए:
$a_{n+2} - (t^2 - 5t + 6)a_{n+1} + a_n = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a_{n+2} + a_n = (t^2 - 5t + 6)a_{n+1}$
$n = 2023$ रखने पर:
$a_{2025} + a_{2023} = (t^2 - 5t + 6)a_{2024}$
अतः,अनुपात:
$\frac{a_{2025} + a_{2023}}{a_{2024}} = t^2 - 5t + 6$
द्विघात व्यंजक $f(t) = t^2 - 5t + 6$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए:
$f(t) = (t - 5/2)^2 - 1/4$
अतः,न्यूनतम मान $-1/4$ है।

(A) दी गई असमिका: $4+11x-3x^2 > 0$
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$3x^2 - 11x - 4 < 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 - 12x + x - 4 < 0$
$3x(x - 4) + 1(x - 4) < 0$
$(3x + 1)(x - 4) < 0$
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ गुणनफल ऋणात्मक है,हम मूल ज्ञात करते हैं: $x = -\frac{1}{3}$ और $x = 4$।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x < -\frac{1}{3}$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$-\frac{1}{3} < x < 4$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$x > 4$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
अतः,हल समुच्चय $x \in \left(-\frac{1}{3}, 4\right)$ है।

(C) वर्गमूल परिभाषित होने के लिए,$x^2+6x+5 \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(x+5)(x+1) \ge 0$,अतः $x \in (-\infty, -5] \cup [-1, \infty)$.
असमिका $\sqrt{x^2+6x+5} > (8-x)$ के लिए,$8-x < 0$ या ($8-x \ge 0$ और $x^2+6x+5 > (8-x)^2$) होना आवश्यक है।
स्थिति $1$: $8-x < 0 \implies x > 8$. चूँकि $x > 8$,$x \in [-1, \infty)$ को संतुष्ट करता है,यह एक मान्य हल है।
स्थिति $2$: $8-x \ge 0 \implies x \le 8$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+6x+5 > 64-16x+x^2$.
$22x > 59 \implies x > \frac{59}{22}$.
$x > \frac{59}{22}$ और $x \le 8$ को मिलाने पर,हमें $x \in (\frac{59}{22}, 8]$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$ और $2$ को मिलाने पर: $x \in (\frac{59}{22}, 8] \cup (8, \infty) = (\frac{59}{22}, \infty)$.

(D) द्विघात व्यंजक $f(x) = ax^2 + bx + c$ के प्रत्येक $x \in R$ के लिए धनात्मक होने हेतु $a > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 2k - 1$,$b = -2(3k - 2)$,और $c = 4k$ है।
शर्त $1$: $a > 0 \implies 2k - 1 > 0 \implies k > \frac{1}{2}$।
शर्त $2$: $D < 0 \implies b^2 - 4ac < 0$।
$[-2(3k - 2)]^2 - 4(2k - 1)(4k) < 0$।
$4(9k^2 - 12k + 4) - 16k(2k - 1) < 0$।
$4$ से भाग देने पर: $(9k^2 - 12k + 4) - 4k(2k - 1) < 0$।
$9k^2 - 12k + 4 - 8k^2 + 4k < 0$।
$k^2 - 8k + 4 < 0$।
$k^2 - 8k + 4 = 0$ के मूल $k = 4 \pm 2\sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $2\sqrt{3} \approx 3.46$,मूल $0.54$ और $7.46$ हैं।
अतः,$0.54 < k < 7.46$।
$k > 0.5$ के साथ संयोजित करने पर,$0.54 < k < 7.46$ प्राप्त होता है।
$k$ के पूर्णांक मान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
उनका योग $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$ है।

(B) द्विघात व्यंजक $f(x) = x^2 - 4ax + (5+a)$ के सभी $x \in R$ के लिए $0$ से बड़ा होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (-4a)^2 - 4(1)(5+a) < 0$
$16a^2 - 20 - 4a < 0$
$4a^2 - a - 5 < 0$
गुणनखंड करने पर: $(4a - 5)(a + 1) < 0$
यह असमिका $a \in (-1, 5/4)$ के लिए सत्य है।
$a \in (\alpha, \beta)$ से तुलना करने पर,$\alpha = -1$ और $\beta = 5/4$ प्राप्त होता है।
अतः,$4\beta + \alpha = 4(5/4) + (-1) = 5 - 1 = 4$.

(C) द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,$a > 0$ और विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1 > 0$,जो सदैव सत्य है।
विविक्तकर $D = \{-(3k + 1)\}^2 - 4(1)(4k^2 + 3k - 3) < 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(9k^2 + 6k + 1) - (16k^2 + 12k - 12) < 0$ प्राप्त होता है।
$-7k^2 - 6k + 13 < 0$ है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $7k^2 + 6k - 13 > 0$।
गुणनखंड करने पर: $(7k + 13)(k - 1) > 0$।
मूल $k = -\frac{13}{7}$ और $k = 1$ हैं।
व्यंजक के धनात्मक होने के लिए,$k$ को अंतराल $[-\frac{13}{7}, 1]$ के बाहर होना चाहिए।
अतः,हल समुच्चय $k \in (-\infty, -\frac{13}{7}) \cup (1, \infty)$ है।

(B) द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने की शर्तें $a > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ हैं।
यहाँ,$a = 1$,जो $> 0$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ है।
$D = [-2(4k - 1)]^2 - 4(1)(15k^2 - 2k - 7) < 0$ है।
$4(16k^2 - 8k + 1) - 4(15k^2 - 2k - 7) < 0$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $16k^2 - 8k + 1 - 15k^2 + 2k + 7 < 0$ प्राप्त होता है।
$k^2 - 6k + 8 < 0$ है।
$(k - 2)(k - 4) < 0$ है।
यह असमिका $2 < k < 4$ के लिए सत्य है।
इस अंतराल में $k$ का एकमात्र पूर्णांक मान $k = 3$ है।

(B) प्रथम असमिका के लिए: $x^2+5x+6 \geq 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) \geq 0$. यह $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$ के लिए सत्य है।
दूसरी असमिका के लिए: $x^2+3x-4 < 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) < 0$. यह $x \in (-4, 1)$ के लिए सत्य है।
इन दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाले $x$ के मानों का सर्वनिष्ठ समुच्चय:
सर्वनिष्ठ: $(-\infty, -3] \cup [-2, \infty) \cap (-4, 1) = (-4, -3] \cup [-2, 1)$.

(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$,$x^3+3x+2=0$ के मूल हैं।
न्यूटन के योग सूत्र के अनुसार,मान लीजिए $S_n = \alpha_1^n + \alpha_2^n + \alpha_3^n$.
समीकरण $x^3 + 0x^2 + 3x + 2 = 0$ है।
$n=1$ के लिए: $S_1 + 0 = 0 \Rightarrow S_1 = 0$.
$n=2$ के लिए: $S_2 + 0(S_1) + 3(2) = 0 \Rightarrow S_2 = -6$.
$n=3$ के लिए: $S_3 + 0(S_2) + 3(S_1) + 2(3) = 0 \Rightarrow S_3 = -6$.
$n=4$ के लिए: $S_4 + 0(S_3) + 3(S_2) + 2(S_1) = 0$ $\Rightarrow S_4 + 3(-6) + 2(0) = 0$ $\Rightarrow S_4 = 18$.
$n=5$ के लिए: $S_5 + 0(S_4) + 3(S_3) + 2(S_2) = 0 \Rightarrow S_5 + 3(-6) + 2(-6) = 0$.
$S_5 - 18 - 12 = 0 \Rightarrow S_5 = 30$.

(A) माना $3^x = y$ है। चूँकि $x \in R^{+}$,इसलिए $y > 1$ है।
दी गई असमिका $y + \frac{3}{y} - 4 < 0$ है।
$y$ से गुणा करने पर ($y > 0$ होने के कारण),हमें $y^2 - 4y + 3 < 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(y - 1)(y - 3) < 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $1 < y < 3$ है।
$y = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$1 < 3^x < 3$ प्राप्त होता है।
सभी पक्षों में $\log_3$ लेने पर,$\log_3(1) < x < \log_3(3)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $0 < x < 1$ हो जाता है।
अतः,हल समुच्चय $(0, 1)$ है।

(D) माना समीकरण $x^3+x+1=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। माना $S_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$ है।
न्यूटन के योग सूत्र के अनुसार,$x^3+p_1x^2+p_2x+p_3=0$ के लिए,जहाँ $p_1=0, p_2=1, p_3=1$ है:
$S_1 + p_1 = 0$ $\Rightarrow S_1 + 0 = 0$ $\Rightarrow S_1 = 0$.
$S_2 + p_1S_1 + 2p_2 = 0$ $\Rightarrow S_2 + 0(0) + 2(1) = 0$ $\Rightarrow S_2 = -2$.
$S_3 + p_1S_2 + p_2S_1 + 3p_3 = 0$ $\Rightarrow S_3 + 0(-2) + 1(0) + 3(1) = 0$ $\Rightarrow S_3 = -3$.
$S_4 + p_1S_3 + p_2S_2 + p_3S_1 = 0 \Rightarrow S_4 + 0(-3) + 1(-2) + 1(0) = 0$.
$S_4 - 2 = 0 \Rightarrow S_4 = 2$.

(C) दी गई असमिका: $x^2 - |x+2| + x > 0$
स्थिति $I$: यदि $x+2 \geq 0$ (अर्थात $x \geq -2$), तो $|x+2| = x+2$.
असमिका बन जाती है:
$x^2 - (x+2) + x > 0$
$\Rightarrow x^2 - 2 > 0$
$\Rightarrow (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) > 0$
इसका हल $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ है।
शर्त $x \geq -2$ को ध्यान में रखते हुए, प्रतिच्छेदन $x \in [-2, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ है।
स्थिति $II$: यदि $x+2 < 0$ (अर्थात $x < -2$), तो $|x+2| = -(x+2)$.
असमिका बन जाती है:
$x^2 - (-(x+2)) + x > 0$
$\Rightarrow x^2 + 2x + 2 > 0$
$\Rightarrow (x+1)^2 + 1 > 0$
चूंकि $(x+1)^2 + 1$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है, इसलिए शर्त $x < -2$ संतुष्ट होती है।
स्थिति $I$ और $II$ को मिलाने पर:
$(-\infty, -2) \cup [-2, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) = (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

(B) दी गई असमिका $[x]^2 - 7[x] + 12 \leq 0$ है।
मान लीजिए $y = [x]$ है। तब असमिका $y^2 - 7y + 12 \leq 0$ हो जाती है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(y - 4)(y - 3) \leq 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $3 \leq y \leq 4$ है।
चूंकि $y = [x]$,इसलिए $3 \leq [x] \leq 4$ है।
इसका मतलब है कि $[x]$ या तो $3$ हो सकता है या $4$।
यदि $[x] = 3$ है,तो $3 \leq x < 4$ है।
यदि $[x] = 4$ है,तो $4 \leq x < 5$ है।
इन दोनों अंतरालों को मिलाने पर,हमें $3 \leq x < 5$ प्राप्त होता है।

(C) प्रथम असमिका के लिए: $x^2-7x+10 \geq 0$
$(x-2)(x-5) \geq 0$
अतः,$x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$।
दूसरी असमिका के लिए: $2x+3-x^2 > 0$
$x^2-2x-3 < 0$
$(x-3)(x+1) < 0$
अतः,$x \in (-1, 3)$।
दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$(-\infty, 2] \cup [5, \infty) \cap (-1, 3) = (-1, 2]$।
अतः,$x$ के सभी मानों का समुच्चय $(-1, 2]$ है।

(A) दी गई असमिका $3x^2 - 16x + 4 > -16$ है।
यह $3x^2 - 16x + 20 > 0$ में सरल हो जाती है।
माना $f(x) = 3x^2 - 16x + 20$ है। यहाँ $a = 3, b = -16, c = 20$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(3)(20) = 256 - 240 = 16 > 0$ है।
$3x^2 - 16x + 20 = 0$ के मूल $x = 2$ और $x = \frac{10}{3}$ हैं।
चूंकि $a > 0$ है,इसलिए $x \in (-\infty, 2) \cup (\frac{10}{3}, \infty)$ के लिए $f(x) > 0$ होता है।
अंतराल $(0, \frac{10}{3})$ में $x=1$ जैसे मान हैं जहाँ $f(1) = 7 > 0$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ बताता है कि जब $D > 0$ होता है,तो $ax^2 + bx + c$ और $a$ का चिह्न समान होता है। यह सत्य है। अतः,$(A)$ सत्य है और $(R)$ इसकी सही व्याख्या है।

(D) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = x^2+2px-2p+8 > 0$ सभी वास्तविक मानों $x$ के लिए है।
किसी द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने की शर्तें $a > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ हैं।
यहाँ,$a = 1 > 0$,जो संतुष्ट है।
अब,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ की गणना करें:
$D = (2p)^2 - 4(1)(-2p+8) < 0$
$4p^2 + 8p - 32 < 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$p^2 + 2p - 8 < 0$
गुणनखंड करने पर:
$(p+4)(p-2) < 0$
साइन स्कीम विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $p = -4$ और $p = 2$ के बीच ऋणात्मक है।
अतः,$p$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $p \in (-4, 2)$ है।

(A) दी गई असमिका: $x^2-5x-14 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(x+2)(x-7) > 0$
गुणनफल धनात्मक होने के लिए,$x$ को छोटे मूल से छोटा या बड़े मूल से बड़ा होना चाहिए: $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$
प्रश्न के अनुसार,$x$ अंतराल $[\alpha, \beta]$ के बाहर स्थित है।
तुलना करने पर,$\alpha = -2$ और $\beta = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{-2}{7}$.

(D) दी गई असमिकाएँ $x^2-1 \leq 0$ और $x^2-x-2 \geq 0$ हैं।
$x^2-1 \leq 0$ के लिए:
$(x-1)(x+1) \leq 0$
यह दर्शाता है कि $x \in [-1, 1]$।
$x^2-x-2 \geq 0$ के लिए:
$(x-2)(x+1) \geq 0$
यह दर्शाता है कि $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$।
दोनों समुच्चयों $x \in [-1, 1]$ और $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ का प्रतिच्छेदन केवल एक बिंदु $\{-1\}$ है।
अतः,$x$ के सभी मानों का समुच्चय $\{-1\}$ है।

(A) दी गई असमिका: $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$3^x$ से गुणा करने पर ($3^x > 0$ होने के कारण):
$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 < 0$
माना $y = 3^x$,तब $y^2 - 4y + 3 < 0$
गुणनखंड करने पर: $(y-1)(y-3) < 0$
इसका अर्थ है $1 < y < 3$
$y = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 < 3^x < 3$
$3^0 < 3^x < 3^1$
चूंकि आधार $3 > 1$ है,इसलिए $0 < x < 1$
अतः,हल समुच्चय $(0,1)$ है।

(C) दी गई असमिका: $|x|^2-5|x|+4 < 0$
माना $|x| = y$ है। चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $y \ge 0$ है।
असमिका $y^2-5y+4 < 0$ हो जाती है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(y-4)(y-1) < 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $1 < y < 4$ है।
$y = |x|$ वापस रखने पर,हमें $1 < |x| < 4$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $|x| > 1$ और $|x| < 4$ के समतुल्य है।
$|x| > 1$ के लिए,$x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ है।
$|x| < 4$ के लिए,$x \in (-4, 4)$ है।
इन दोनों समुच्चयों का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $x \in (-4, -1) \cup (1, 4)$ प्राप्त होता है।

(D) माना $y = \frac{(x+2)(x+5)}{x+6}$.
$xy + 6y = x^2 + 7x + 10$
$x^2 + (7-y)x + (10-6y) = 0$
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $\Delta \geq 0$ होना चाहिए।
$(7-y)^2 - 4(10-6y) \geq 0$
$y^2 - 14y + 49 - 40 + 24y \geq 0$
$y^2 + 10y + 9 \geq 0$
$(y+1)(y+9) \geq 0$
अतः,$y \in (-\infty, -9] \cup [-1, \infty)$.
$y$ के वे मान जो परिसर में नहीं हैं,वे अंतराल $(-9, -1)$ में स्थित हैं।

(C) दी गई असमिका $x^2 - 2x + 5 \leq 0$ है।
हम व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर फिर से लिख सकते हैं:
$x^2 - 2x + 1 + 4 \leq 0$
$(x - 1)^2 + 4 \leq 0$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x - 1)^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $(x - 1)^2 + 4 \geq 4$ होगा।
अतः,व्यंजक $(x - 1)^2 + 4$ हमेशा धनात्मक है और यह कभी भी $0$ या उससे कम नहीं हो सकता।
इस प्रकार,ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो दी गई असमिका को संतुष्ट करे।
अतः,सभी हलों का समुच्चय रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) पहली असमिका के लिए: $x^2-4x \leq 12$
$x^2-4x-12 \leq 0$
$(x-6)(x+2) \leq 0$
अतः,$x \in [-2, 6]$ ... $(i)$
दूसरी असमिका के लिए: $x^2-2x \geq 15$
$x^2-2x-15 \geq 0$
$(x-5)(x+3) \geq 0$
अतः,$x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का सर्वनिष्ठ (intersection) लेने पर:
$[-2, 6] \cap ((-\infty, -3] \cup [5, \infty)) = [5, 6]$
इसलिए,उभयनिष्ठ हल समुच्चय $[5, 6]$ है.

(D) $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$\Rightarrow 3^x+\frac{3}{3^x}-4 < 0$
माना $3^x=t$,जहाँ $t > 0$ है।
$\Rightarrow t+\frac{3}{t}-4 < 0$
$\Rightarrow t^2-4t+3 < 0$
$\Rightarrow (t-1)(t-3) < 0$
यह असमिका $1 < t < 3$ के लिए सत्य है।
$t=3^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 < 3^x < 3$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow 3^0 < 3^x < 3^1$
चूँकि आधार $3 > 1$ है,इसलिए असमिका का चिह्न वही रहेगा:
$0 < x < 1$
अतः,हल समुच्चय $x \in (0,1)$ है।

(B) $I \rightarrow |x|^2 - 4|x| + 3 < 0$
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। असमिका $t^2 - 4t + 3 < 0$ हो जाती है।
$(t - 1)(t - 3) < 0$,जिसका अर्थ है $1 < t < 3$ है।
चूँकि $t = |x|$,इसलिए $1 < |x| < 3$ है।
इसका अर्थ है $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$ है।
अतः,कथन $I$ असत्य है।
$II \rightarrow x^2 - 8x + 15 > 0$
$(x - 3)(x - 5) > 0$ है।
मूल $x = 3$ और $x = 5$ हैं। असमिका $x < 3$ या $x > 5$ के लिए सत्य है।
अतः,कथन $II$ सत्य है।

(A) दी गई असमिकाएं $x^2 < 4x + 77$ और $x^2 > 4$ हैं।
पहले,$x^2 - 4x < 77$ को हल करें।
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर,$x^2 - 4x + 4 < 77 + 4$,जो $(x - 2)^2 < 81$ हो जाता है।
वर्गमूल लेने पर,$-9 < x - 2 < 9$,जिससे $-7 < x < 11$ प्राप्त होता है।
अगला,$x^2 > 4$ को हल करें,जिसका अर्थ है $x^2 - 4 > 0$,यानी $(x - 2)(x + 2) > 0$।
यह स्थिति $x > 2$ या $x < -2$ के लिए सत्य है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $(-7 < x < 11)$ और $(x > 2 \text{ या } x < -2)$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ समुच्चय $(-7, -2) \cup (2, 11)$ है।
इस समुच्चय में ऋणात्मक पूर्णांक $\{-6, -5, -4, -3\}$ हैं।
इस समुच्चय में सबसे छोटा ऋणात्मक पूर्णांक $-6$ है।

(B) हमारे पास असमिका है: $9 x-2 < (x+2)^2 < 12 x-3$
इसे दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
भाग $I$: $9 x-2 < (x+2)^2$
$9 x-2 < x^2+4 x+4$
$x^2-5 x+6 > 0$
$(x-3)(x-2) > 0$
अतः,$x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ ... $(i)$
भाग $II$: $(x+2)^2 < 12 x-3$
$x^2+4 x+4 < 12 x-3$
$x^2-8 x+7 < 0$
$(x-7)(x-1) < 0$
अतः,$x \in (1, 7)$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \in (1, 2) \cup (3, 7)$
इस अंतराल में $x$ के पूर्णांक मान $\{4, 5, 6\}$ हैं।
अतः,पूर्णांक मानों की संख्या $3$ है.

(D) दी गई असमिकाएँ हैं:
$1$) $x^2 - 3x - 10 < 0$
$(x - 5)(x + 2) < 0$
इसका अर्थ है $x \in (-2, 5)$.
$2$) $10x - x^2 - 16 > 0$
$-1$ से गुणा करने पर (असमिका का चिह्न बदल जाएगा):
$x^2 - 10x + 16 < 0$
$(x - 2)(x - 8) < 0$
इसका अर्थ है $x \in (2, 8)$.
उन $x$ के मानों को ज्ञात करने के लिए जो दोनों असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट करते हैं,हम दोनों समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (intersection) लेते हैं:
$x \in (-2, 5) \cap (2, 8) = (2, 5)$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.