पूर्णांकों के उन क्रमित युग्मों (a, b) की संख | vedclass

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Question

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 - ax + b = 0$ और $x^3 - ax^2 + bx + a - b = 0$ का उभयनिष्ठ वास्तविक मूल है।चूंकि $\alpha$ पहले समीकरण का मूल है,इसलिए

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$2018$

Vedclass · Answer

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 - ax + b = 0$ और $x^3 - ax^2 + bx + a - b = 0$ का उभयनिष्ठ वास्तविक मूल है।चूंकि $\alpha$ पहले समीकरण का मूल है,इसलिए $\alpha^2 - a\alpha + b = 0$ है।इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha(\alpha^2 - a\alpha + b) + a - b = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $\alpha^2 - a\alpha + b = 0$,इसलिए $a - b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = b$ है।$a = b$ को पहले समीकरण में रखने पर,$x^2 - ax + a = 0$ प्राप्त होता है।वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए,अतः $a^2 - 4a \geq 0$ है।यह $a(a - 4) \geq 0$ देता है,जिसका अर्थ है $a \leq 0$ या $a \geq 4$ है।चूंकि $1 \leq a, b \leq 2021$ और $a = b$ है,इसलिए $4 \leq a \leq 2021$ होना चाहिए।ऐसे पूर्णांकों $a$ की कुल संख्या $2021 - 4 + 1 = 2018$ है।

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