Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के विपरीत चिन्ह होने के लिए,मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} < 0$ है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 2$,और $c = p(p - 1)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{p(p - 1)}{3} < 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $3 > 0$ है,इसलिए $p(p - 1) < 0$ होगा।
असमिका $p(p - 1) < 0$ को हल करने पर,$p$ का मान $0$ और $1$ के बीच होना चाहिए।
अतः,$p \in (0, 1)$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $a^2x^2 + (a + b)x - b^2 = 0$ है।
इसे $Ax^2 + Bx + C = 0$ से तुलना करने पर,$A = a^2$,$B = (a + b)$,और $C = -b^2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = B^2 - 4AC$ है।
$D = (a + b)^2 - 4(a^2)(-b^2) = (a + b)^2 + 4a^2b^2$.
चूंकि $(a + b)^2 \ge 0$ और $4a^2b^2 \ge 0$ है,इसलिए $D = (a + b)^2 + 4a^2b^2 > 0$ होगा।
अतः,मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $(b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0$ है।
चूंकि मूल समान हैं,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
यहाँ,$A = (b - c)$,$B = (c - a)$,और $C = (a - b)$ है।
$D = B^2 - 4AC = (c - a)^2 - 4(b - c)(a - b) = 0$।
विस्तार करने पर: $(c^2 - 2ac + a^2) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$।
$c^2 - 2ac + a^2 - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$।
$a^2 + 4b^2 + c^2 + 2ac - 4ab - 4bc = 0$।
इसे $(a - 2b + c)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$a - 2b + c = 0$,जिसका अर्थ है $a + c = 2b$।
यह शर्त दर्शाती है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।

(B) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल विपरीत चिन्ह के हों,इसके लिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\frac{C}{A} < 0$।
दिए गए समीकरण $2x^2 - (a^3 + 8a - 1) x + (a^2 - 4a) = 0$ के लिए,$A = 2$ और $C = a^2 - 4a$ है।
विपरीत चिन्ह के लिए शर्त $\frac{a^2 - 4a}{2} < 0$ है।
इसका अर्थ है $a^2 - 4a < 0$।
गुणनखंड करने पर,$a(a - 4) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $0 < a < 4$ के लिए सत्य है।
चूंकि $AC < 0$ है,इसलिए विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ हमेशा धनात्मक होगा,जिससे मूल वास्तविक और भिन्न होंगे।
अतः,सही विकल्प $0 < a < 4$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - (p - 4)x + 2e^{2 \ln p} - 4 = 0$ है।
चूंकि $e^{2 \ln p} = p^2$,समीकरण $x^2 - (p - 4)x + 2p^2 - 4 = 0$ हो जाता है।
दोनों मूलों के ऋणात्मक होने के लिए शर्तें:
$1.$ विविक्तकर $D \ge 0$।
$2.$ मूलों का योग $< 0$: $p - 4 < 0 \implies p < 4$।
$3.$ मूलों का गुणनफल $> 0$: $2p^2 - 4 > 0 \implies p^2 > 2 \implies p > \sqrt{2}$ (क्योंकि $\ln p$ के लिए $p > 0$ होना आवश्यक है)।
अतः,$p \in (\sqrt{2}, 4)$।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ है।
इसे $(x - m)^2 - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(x - m)^2 = 1$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x - m = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x_1 = m - 1$ और $x_2 = m + 1$ हैं।
हमें दिया गया है कि दोनों मूल $-2$ से बड़े और $4$ से छोटे हैं,इसलिए $-2 < m - 1$ और $m + 1 < 4$।
$-2 < m - 1$ से,$m > -1$ प्राप्त होता है।
$m + 1 < 4$ से,$m < 3$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,$-1 < m < 3$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतराल $(-1, 3)$ है।

(C) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + ax + 1 = 0$ के मूल हैं।
तब,$\alpha + \beta = -a$ और $\alpha \beta = 1$ है।
मूलों के बीच का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $|\alpha - \beta| = \sqrt{a^2 - 4}$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,$|\alpha - \beta| < \sqrt{5}$ है।
अतः,$\sqrt{a^2 - 4} < \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 - 4 < 5$,जिसका अर्थ है $a^2 < 9$।
यह असमिका तब सत्य है जब $|a| < 3$,अर्थात $a \in (-3, 3)$।

(C) दिया गया है कि समीकरण $bx^2 + cx + a = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए विविक्तकर $D < 0$ है।
अतः,$c^2 - 4ab < 0$,जिसका अर्थ है $c^2 < 4ab$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-c^2 > -4ab$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $E = 3b^2x^2 + 6bcx + 2c^2$ पर विचार करें।
$E = 3(b^2x^2 + 2bcx + c^2) - c^2$।
$E = 3(bx + c)^2 - c^2$।
चूंकि $(bx + c)^2 \geq 0$,इसलिए $3(bx + c)^2 \geq 0$।
अतः,$E \geq -c^2$।
चूंकि $-c^2 > -4ab$,इसलिए $E > -4ab$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ है।
$(x + 1)$ से गुणा करने पर,$(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^3 + 1 = 0$,अतः $x^3 = -1$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण के मूल हैं,वे $x^3 = -1$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए $\alpha^3 = -1$ और $\beta^3 = -1$ है।
हमें $\alpha^{2009} + \beta^{2009}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha^{2009} = (\alpha^3)^{669} \cdot \alpha^2 = (-1)^{669} \cdot \alpha^2 = -\alpha^2$ है।
इसी प्रकार,$\beta^{2009} = -\beta^2$ है।
अतः,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(\alpha^2 + \beta^2)$ है।
समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ से,$\alpha + \beta = 1$ और $\alpha\beta = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ है।
इसलिए,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(-1) = 1$ है।

(C) $f(x)^{g(x)} = 1$ तब सत्य है यदि:
$1)$ $f(x) = 1 \Rightarrow x = 1, 4$.
$2)$ $f(x) = -1$ और $g(x)$ एक सम पूर्णांक हो $\Rightarrow x = 2$ (क्योंकि $x=3$ के लिए $g(x)$ विषम है).
$3)$ $g(x) = 0$ और $f(x) \neq 0 \Rightarrow x = -10, 6$.
अतः,$x$ के मान्य मान $1, 4, 2, -10, 6$ हैं।
उनका योग $1 + 4 + 2 - 10 + 6 = 3$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.
यह $nx^2 + n^2x + \frac{(n-1)n(n+1)}{3} = 10n$ में सरल हो जाता है।
$n$ से विभाजित करने पर: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.
माना दो क्रमागत पूर्णांक हल $\alpha$ और $\alpha + 1$ हैं।
मूलों का योग: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
मान रखने पर: $(\frac{-(n+1)}{2})(\frac{1-n}{2}) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$\frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124$ $\Rightarrow n^2 = 121$ $\Rightarrow n = 11$.

(D) दिया गया है $p(x) = f(x) - g(x) = (a - a_1)x^2 + (b - b_1)x + (c - c_1).$
चूंकि $p(x) = 0$ का केवल एक ही मूल $x = -1$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $p(x)$ को $p(x) = k(x + 1)^2$ के रूप में एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,जहाँ $k = a - a_1 \ne 0$ एक स्थिरांक है।
दिया गया है $p(-2) = 2,$
$k(-2 + 1)^2 = 2 \Rightarrow k(-1)^2 = 2 \Rightarrow k = 2.$
अतः,$p(x) = 2(x + 1)^2.$
अब,हमें $p(2)$ का मान ज्ञात करना है:
$p(2) = 2(2 + 1)^2 = 2(3)^2 = 2 \times 9 = 18.$

(C) दी गई रैखिक सर्वांगसमता $8x \equiv 6 \pmod{14}$ है।
इसे $8x - 6 = 14k$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
$2$ से भाग देने पर,$4x - 3 = 7k$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4x \equiv 3 \pmod{7}$।
$4$ का $7$ मॉड्यूलो में प्रतिलोम $2$ है $(4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7})$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $8x \equiv 6 \pmod{7} \implies x \equiv 6 \pmod{7}$।
अतः,$x = 7n + 6$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
हल $x \in \{ \dots, -1, 6, 13, 20, 27, \dots \}$ हैं।
इस समुच्चय को $14$ मॉड्यूलो के दो तुल्यता वर्गों के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है: $[6] = \{ \dots, -8, 6, 20, 34, \dots \}$ और $[13] = \{ \dots, -1, 13, 27, 41, \dots \}$।
इसलिए,हल समुच्चय $[6] \cup [13]$ है।

(B) माना $x = \sqrt {a + \sqrt {a + \sqrt {a + .....\infty } } } $
चूंकि यह एक अनंत व्यंजक है,हम लिख सकते हैं:
$x = \sqrt {a + x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 = a + x$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - x - a = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$
चूंकि $a > 0$ है,इसलिए $x$ का मान धनात्मक होना चाहिए। अतः,हम ऋणात्मक चिह्न को छोड़ देंगे:
$x = \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}$

(B) दिया गया समीकरण: $|{x^2} - x - 6| = x + 2$
स्थिति $I$: ${x^2} - x - 6 < 0$
$(x - 3)(x + 2) < 0 \Rightarrow -2 < x < 3$
इस स्थिति में,समीकरण बनता है: $-(x^2 - x - 6) = x + 2$
$-x^2 + x + 6 = x + 2$ $\Rightarrow x^2 = 4$ $\Rightarrow x = \pm 2$
चूंकि डोमेन $-2 < x < 3$ है,इसलिए केवल $x = 2$ एक वैध समाधान है।
स्थिति $II$: ${x^2} - x - 6 \ge 0$
$(x - 3)(x + 2) \ge 0 \Rightarrow x \le -2$ या $x \ge 3$
इस स्थिति में,समीकरण बनता है: $x^2 - x - 6 = x + 2$
$x^2 - 2x - 8 = 0$ $\Rightarrow (x - 4)(x + 2) = 0$ $\Rightarrow x = 4$ या $x = -2$
दोनों मान डोमेन $x \le -2$ या $x \ge 3$ को संतुष्ट करते हैं।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,समाधान $x = -2, 2, 4$ हैं।

(C) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल विपरीत चिह्न के होने के लिए,मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\frac{C}{A} < 0$।
यहाँ,$A = 3$ और $C = a^2 - 3a + 2$ है।
अतः,$\frac{a^2 - 3a + 2}{3} < 0$,जिसका अर्थ है $a^2 - 3a + 2 < 0$।
गुणनखंड करने पर,$(a - 1)(a - 2) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $1 < a < 2$ के लिए सत्य है।
चूंकि विविक्तकर $D$ का मान $a \in (1, 2)$ के लिए धनात्मक है,इसलिए मूल वास्तविक हैं।
अतः,$a$ का मान $(1, 2)$ में स्थित है।

(C) दिया गया है कि $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha\beta = q$ है।
दिया गया है कि $x^2 - xr + s = 0$ के मूल $\alpha^4$ और $\beta^4$ हैं,इसलिए $\alpha^4 + \beta^4 = r$ और $\alpha^4\beta^4 = s$ है।
समीकरण $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ के लिए विविक्तकर $D$ इस प्रकार है:
$D = (-4q)^2 - 4(1)(2q^2 - r) = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$.
$q = \alpha\beta$ और $r = \alpha^4 + \beta^4$ रखने पर:
$D = 8(\alpha\beta)^2 + 4(\alpha^4 + \beta^4) = 4(2\alpha^2\beta^2 + \alpha^4 + \beta^4) = 4(\alpha^2 + \beta^2)^2$.
चूंकि $(\alpha^2 + \beta^2)^2 \ge 0$,इसलिए $D \ge 0$ है।
अतः,समीकरण $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ के मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(C) दिया गया व्यंजक $f(x) = mx - 1 + \frac{1}{x} \ge 0$ है,जहाँ $x > 0$ है।
$x$ से गुणा करने पर ($x > 0$ होने के कारण),हमें $mx^2 - x + 1 \ge 0$ प्राप्त होता है।
एक द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c \ge 0$ के सभी $x > 0$ के लिए अ-ऋणात्मक होने हेतु,$a > 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = m$,$b = -1$,और $c = 1$ है।
शर्त $1$: $m > 0$।
शर्त $2$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(m)(1) = 1 - 4m \le 0$।
$1 - 4m \le 0$ को हल करने पर $4m \ge 1$,या $m \ge \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m \ge \frac{1}{4}$ शर्त $m > 0$ को संतुष्ट करता है,इसलिए $m$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{4}$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a - b) = 0$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ab + ac - bc = 0$ है,इसलिए समीकरण का एक मूल $1$ है।
चूंकि मूल समान हैं,इसलिए दोनों मूल $1$ होंगे।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{C}{A}$ होता है।
अतः,$1 \times 1 = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$.
$a(b - c) = c(a - b)$
$ab - ac = ac - bc$
$ab + bc = 2ac$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 + 3Hx + G = 0$ है,जहाँ $G$ और $H$ वास्तविक स्थिरांक हैं।
$x^3 + px + q = 0$ के रूप वाले त्रिघात समीकरण के लिए,विविक्तकर (discriminant) $\Delta = - (4p^3 + 27q^2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p = 3H$ और $q = G$ है।
अतः,$\Delta = - (4(3H)^3 + 27G^2) = - (108H^3 + 27G^2) = -27(4H^3 + G^2)$।
दिया गया है कि $G^2 + 4H^3 > 0$,इसलिए $\Delta = -27(G^2 + 4H^3) < 0$।
वास्तविक गुणांकों वाले त्रिघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $\Delta < 0$ है,तो समीकरण का एक वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र (काल्पनिक) मूल होते हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + (1 - p) = 0$ है।
चूंकि $(1 - p)$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(1 - p)^2 + p(1 - p) + (1 - p) = 0$
$(1 - p) [ (1 - p) + p + 1 ] = 0$
$(1 - p) [ 2 ] = 0$
इसका अर्थ है $1 - p = 0$,अर्थात $p = 1$।
मूल समीकरण में $p = 1$ रखने पर:
$x^2 + 1x + (1 - 1) = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
अतः,मूल $x = 0$ और $x = -1$ हैं।

(D) फलन $y = \sqrt{x(x - 3)}$ का डोमेन $x(x - 3) \ge 0$ है,जिसका अर्थ है $x \le 0$ या $x \ge 3$। $(i)$
दिया गया समीकरण $(3|x| - 3)^2 = |x| + 7$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $9|x|^2 - 18|x| + 9 = |x| + 7$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $9|x|^2 - 19|x| + 2 = 0$।
माना $t = |x|$,तो $9t^2 - 19t + 2 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(9t - 1)(t - 2) = 0$।
अतः,$|x| = 1/9$ या $|x| = 2$।
इससे $x = \pm 1/9$ या $x = \pm 2$ प्राप्त होता है।
शर्त $(i)$ ($x \le 0$ या $x \ge 3$) के अनुसार जाँच करने पर:
$x = 2$ डोमेन में नहीं है।
$x = -2$ डोमेन में है (मान्य)।
$x = 1/9$ डोमेन में नहीं है।
$x = -1/9$ डोमेन में है (मान्य)।
अतः,हल $-2$ और $-1/9$ हैं।

(C) दिया गया है कि ${x^2} + 2ax + {a^2} = {(x + a)^2}$ बहुपद $f(x) = {x^3} - 3px + 2q$ का एक गुणनखंड है।
चूंकि $(x+a)^2$ एक गुणनखंड है,इसलिए $x = -a$ को $f(x) = 0$ और $f'(x) = 0$ का मूल होना चाहिए।
पहले,$f(-a) = {(-a)^3} - 3p(-a) + 2q = 0$.
$-{a^3} + 3pa + 2q = 0$ ...$(i)$
अगला,$f'(x) = 3{x^2} - 3p$.
$f'(-a) = 0$ रखने पर,हमें $3{(-a)^2} - 3p = 0$ प्राप्त होता है।
$3{a^2} = 3p \Rightarrow p = {a^2}$ ...$(ii)$
समीकरण $(i)$ में $p = {a^2}$ का मान रखने पर:
$-{a^3} + 3({a^2})a + 2q = 0$
$-{a^3} + 3{a^3} + 2q = 0$
$2{a^3} + 2q = 0 \Rightarrow {a^3} = -q$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें ${a^6} = {q^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = {a^2}$,इसलिए ${p^3} = {({a^2})^3} = {a^6}$.
अतः,${p^3} = {q^2}$.

(A) सर्वांगसमता $8x \equiv 6 \pmod{14}$ को $8x - 6 = 14k$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $4x - 3 = 7k$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4x \equiv 3 \pmod{7}$।
$4x \equiv 3 \pmod{7}$ को हल करने के लिए,हम $4$ का $7$ के सापेक्ष प्रतिलोम ज्ञात करते हैं। चूँकि $4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ है,इसलिए प्रतिलोम $2$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $8x \equiv 6 \pmod{7}$,जिसे सरल करने पर $x \equiv 6 \pmod{7}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x$ को $x = 7n + 6$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$n = 0$ के लिए $x = 6$,$n = 1$ के लिए $x = 13$,$n = 2$ के लिए $x = 20$ इत्यादि।
अतः,हल समुच्चय उन पूर्णांकों से बना है जो $6 \pmod{7}$ या $13 \pmod{7}$ के सर्वांगसम हैं,जिन्हें $14$ के सापेक्ष $[6]$ और $[13]$ के संघ (union) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

(A) दिया गया समीकरण: $4^{(x^2 + 2)} - 9 \cdot 2^{(x^2 + 2)} + 8 = 0$
माना $y = 2^{(x^2 + 2)}$। तब समीकरण $y^2 - 9y + 8 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(y - 8)(y - 1) = 0$,अतः $y = 8$ या $y = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $y = 8$ $\Rightarrow 2^{(x^2 + 2)} = 2^3$ $\Rightarrow x^2 + 2 = 3$ $\Rightarrow x^2 = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$।
स्थिति $2$: $y = 1$ $\Rightarrow 2^{(x^2 + 2)} = 2^0$ $\Rightarrow x^2 + 2 = 0$ $\Rightarrow x^2 = -2$,जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,हल $x = 1$ और $x = -1$ हैं।

(A) दिया गया है $x = {(\sqrt 2 + 1)^{1/3}} - {(\sqrt 2 - 1)^{1/3}}$.
सर्वसमिका $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर:
${x^3} = (\sqrt 2 + 1) - (\sqrt 2 - 1) - 3{(\sqrt 2 + 1)^{1/3}}{(\sqrt 2 - 1)^{1/3}} \left[ {(\sqrt 2 + 1)^{1/3}} - {(\sqrt 2 - 1)^{1/3}} \right]$.
चूंकि ${(\sqrt 2 + 1)^{1/3}}{(\sqrt 2 - 1)^{1/3}} = {((\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 - 1))^{1/3}} = {(2 - 1)^{1/3}} = 1$,समीकरण इस प्रकार होगा:
${x^3} = 2 - 3(1)x$.
अतः,${x^3} + 3x = 2$.

(C) दिया है $x = 2^{1/3} - 2^{-1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर: $x^3 = (2^{1/3} - 2^{-1/3})^3$.
सर्वसमिका $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर:
$x^3 = (2^{1/3})^3 - (2^{-1/3})^3 - 3(2^{1/3})(2^{-1/3})(2^{1/3} - 2^{-1/3})$.
$x^3 = 2 - 2^{-1} - 3(1)(x)$.
$x^3 = 2 - 1/2 - 3x$.
$x^3 = 3/2 - 3x$.
$2$ से गुणा करने पर: $2x^3 = 3 - 6x$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2x^3 + 6x = 3$.

(B) माना $x = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \dots \infty}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = a + \sqrt{a + \sqrt{a + \dots \infty}}$.
चूंकि वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $x$ के समान है,हम लिख सकते हैं $x^2 = a + x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण $x^2 - x - a = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=1, b=-1, c=-a$,हमें $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}$।

(B) दिया गया है $x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ और $xy = 4$।
सबसे पहले,$y$ ज्ञात करें: $y = \frac{4}{x} = \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $y = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$।
अब,$x + y = (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{7}$।
हमें $x^4 + y^4$ ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (2\sqrt{7})^2 - 2(4) = 28 - 8 = 20$।
अतः,$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 = (20)^2 - 2(4)^2 = 400 - 2(16) = 400 - 32 = 368$।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x + 10} + \sqrt{x - 2} = 6$
माना $u = \sqrt{x + 10}$ और $v = \sqrt{x - 2}$ है।
तब $u^2 = x + 10$ और $v^2 = x - 2$ होगा।
दोनों को घटाने पर: $u^2 - v^2 = (x + 10) - (x - 2) = 12$।
हम जानते हैं कि $(u - v)(u + v) = 12$।
चूंकि $u + v = 6$,इसलिए $(u - v)(6) = 12$,जिसका अर्थ है $u - v = 2$।
अब हमारे पास समीकरण हैं:
$u + v = 6$
$u - v = 2$
दोनों को जोड़ने पर: $2u = 8 \implies u = 4$।
चूंकि $u = \sqrt{x + 10} = 4$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $x + 10 = 16$,इसलिए $x = 6$।
मान की जांच करने पर: $\sqrt{6 + 10} + \sqrt{6 - 2} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$।
हल $x = 6$ है।

(A) माना शेषफल $R(x) = ax^2 + bx + c$ है क्योंकि भाजक एक त्रिघात बहुपद है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार:
$f(-1) = 6 \implies a - b + c = 6$ $(i)$
$f(2) = 3 \implies 4a + 2b + c = 3$ (ii)
$f(-2) = 15 \implies 4a - 2b + c = 15$ (iii)
(ii) में से (iii) घटाने पर: $4b = -12 \implies b = -3$ प्राप्त होता है।
$(i)$ में $b = -3$ रखने पर: $a + c = 3 \implies c = 3 - a$ प्राप्त होता है।
(ii) में $b = -3$ और $c = 3 - a$ रखने पर: $3a - 3 = 3 \implies a = 2$ प्राप्त होता है।
अतः $c = 1$ है।
इस प्रकार,शेषफल $R(x) = 2x^2 - 3x + 1$ है।

(D) $x$-निर्देशांक के लिए: $x^2 - 3|x| + 2 = 0$.
माना $|x| = t$,तो $t^2 - 3t + 2 = 0$,जिससे $(t-1)(t-2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$|x| = 1$ या $|x| = 2$,जिसका अर्थ है $x \in \{1, -1, 2, -2\}$।
$y$-निर्देशांक के लिए: $y^2 - 3y + 2 = 0$।
यह $(y-1)(y-2) = 0$ देता है,इसलिए $y \in \{1, 2\}$।
वर्ग का क्षेत्रफल $1$ है,जिसका अर्थ है कि भुजा की लंबाई $1$ है।
$1$ भुजा वाले वर्ग बनाने वाले शीर्षों के संभावित सेट हैं:
$S_1 = \{(1, 1), (2, 1), (2, 2), (1, 2)\}$
$S_2 = \{(-1, 1), (-2, 1), (-2, 2), (-1, 2)\}$
दोनों सेट $1$ इकाई क्षेत्रफल वाले वर्ग का प्रतिनिधित्व करते हैं।
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(C) दिया गया बहुपद $P(x) = 2x^3 + x^2 + 3x - 2$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $P'(x) = 6x^2 + 2x + 3$ की जाँच करते हैं।
$P'(x)$ का विविक्तकर $D = (2)^2 - 4(6)(3) = 4 - 72 = -68 < 0$ है।
चूँकि अग्रणी गुणांक धनात्मक है और विविक्तकर ऋणात्मक है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $P'(x) > 0$ है।
इसका अर्थ है कि $P(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान त्रिघात बहुपद के रूप में,इसका ठीक एक वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल होने चाहिए।
अंत बिंदुओं पर मान: $P(0) = -2$ और $P(1) = 2(1)^3 + (1)^2 + 3(1) - 2 = 4$ है।
चूँकि $P(0) < 0$ और $P(1) > 0$ है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,अंतराल $(0, 1)$ में एक मूल मौजूद है।
चूँकि केवल एक वास्तविक मूल है और वह धनात्मक है,इसलिए कथन $(i)$ और $(iii)$ सत्य हैं।
कथन $(ii)$ गलत है क्योंकि कोई ऋणात्मक मूल नहीं है।
कथन $(iv)$ गलत है क्योंकि वास्तविक गुणांक वाले त्रिघात बहुपद के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं।
कथन $(v)$ गलत है क्योंकि एकमात्र वास्तविक मूल धनात्मक है।
कथन $(vi)$ गलत है क्योंकि एक वास्तविक मूल वाले त्रिघात बहुपद के दो सम्मिश्र मूल होते हैं।
अतः,केवल $(i)$ और $(iii)$ सत्य हैं।

(A) माना $x = \frac{p}{q}$ एक परिमेय मूल है,जहाँ $p, q \in \mathbb{Z}$,$q > 0$ और $\gcd(p, q) = 1$ है।
परिमेय मूल प्रमेय (Rational Root Theorem) के अनुसार,$p$ अचर पद $1$ का विभाजक है और $q$ मुख्य गुणांक $1$ का विभाजक है।
अतः,$p, q \in \{-1, 1\}$,जिसका अर्थ है कि $x \in \{-1, 1\}$।
अब,समीकरण $f(x) = x^{2016} - x^{2015} + x^{1008} + x^{1003} + 1 = 0$ में इन मानों की जाँच करने पर:
$x = 1$ के लिए: $f(1) = 1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$।
$x = -1$ के लिए: $f(-1) = 1 - (-1) + 1 - 1 + 1 = 3 \neq 0$।
चूँकि $1$ और $-1$ दोनों ही मूल नहीं हैं,इसलिए समीकरण का कोई परिमेय मूल नहीं है।
अतः,परिमेय मूलों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{P^2}{x} + \frac{Q^2}{x - 1} = 1$
हर को हटाने के लिए $x(x - 1)$ से गुणा करने पर:
$P^2(x - 1) + Q^2(x) = x(x - 1)$
$P^2x - P^2 + Q^2x = x^2 - x$
इसे द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - (P^2 + Q^2 + 1)x + P^2 = 0$
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ है:
$D = (P^2 + Q^2 + 1)^2 - 4P^2$
$D = ((P - 1)^2 + Q^2)((P + 1)^2 + Q^2)$
चूँकि $P$ और $Q$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए $D > 0$ होगा।
अतः,इस समीकरण के $2$ वास्तविक मूल हैं।

(D) दिया गया समीकरण $[x^2] = 2x - 1$ है।
चूंकि $[x^2]$ एक पूर्णांक है,इसलिए $2x - 1$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $2x$ एक पूर्णांक है।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$x^2 - 1 < [x^2] \le x^2$ होता है।
$[x^2] = 2x - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 - 1 < 2x - 1 \le x^2$ प्राप्त होता है।
$x^2 - 1 < 2x - 1$ से,$x^2 - 2x < 0$,अर्थात $x(x - 2) < 0$,जो $0 < x < 2$ देता है।
$2x - 1 \le x^2$ से,$x^2 - 2x + 1 \ge 0$,अर्थात $(x - 1)^2 \ge 0$,जो सभी $x$ के लिए सत्य है।
स्थिति $1$: $0 \le x^2 < 1 \Rightarrow 0 \le x < 1$। तो $[x^2] = 0$। समीकरण $0 - 2x + 1 = 0$ बनता है,इसलिए $x = 1/2$। यह एक हल है।
स्थिति $2$: $1 \le x^2 < 2 \Rightarrow 1 \le x < \sqrt{2}$। तो $[x^2] = 1$। समीकरण $1 - 2x + 1 = 0$ बनता है,इसलिए $x = 1$। यह एक हल है।
स्थिति $3$: $2 \le x^2 < 3 \Rightarrow \sqrt{2} \le x < \sqrt{3}$। तो $[x^2] = 2$। समीकरण $2 - 2x + 1 = 0$ बनता है,इसलिए $x = 3/2$। यह एक हल है।
स्थिति $4$: $3 \le x^2 < 4 \Rightarrow \sqrt{3} \le x < 2$। तो $[x^2] = 3$। समीकरण $3 - 2x + 1 = 0$ बनता है,इसलिए $x = 2$। लेकिन $x < 2$ होने के कारण यह हल नहीं है।
हल $x = 1/2, 1, 3/2$ हैं। योग $1/2 + 1 + 3/2 = 3$ है।

(C) दिया गया है कि संख्याएँ $a$ और $b$ अपने व्युत्क्रमों से $1$ का अंतर रखती हैं,अतः $|x - \frac{1}{x}| = 1$ है।
इसका अर्थ है $x - \frac{1}{x} = 1$ या $x - \frac{1}{x} = -1$ है।
$x - \frac{1}{x} = 1$ के लिए,हमें $x^2 - x - 1 = 0$ प्राप्त होता है। इसके मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूँकि $a, b > 0$ है,हम $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ लेते हैं।
$x - \frac{1}{x} = -1$ के लिए,हमें $x^2 + x - 1 = 0$ प्राप्त होता है। इसके मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूँकि $a, b > 0$ है,हम $b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ लेते हैं।
अतः,$a + b = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^4 + x^2 + 1 = 0$ के मूल हैं।
मान लीजिए $y = x^2$ है।
दिए गए समीकरण में $x^2 = y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 + y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल समीकरण के मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं,इसलिए नए समीकरण के मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ होंगे।
अतः,अभीष्ट समीकरण $(x^2 + x + 1)^2 = 0$ है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
यहाँ $c = 1$ है,इसलिए $b^2 - 4a \geq 0$ या $b^2 \geq 4a$ होगा।
$b \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए मानों की जाँच करने पर:
$1$. यदि $b = 1$,तो $1 \geq 4a$,जिसका कोई हल नहीं है।
$2$. यदि $b = 2$,तो $4 \geq 4a \Rightarrow a \leq 1$। अतः,$a = 1$ ($1$ हल)।
$3$. यदि $b = 3$,तो $9 \geq 4a \Rightarrow a \leq 2.25$। अतः,$a \in \{1, 2\}$ ($2$ हल)।
$4$. यदि $b = 4$,तो $16 \geq 4a \Rightarrow a \leq 4$। अतः,$a \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ हल)।
समीकरणों की कुल संख्या = $0 + 1 + 2 + 4 = 7$।

(D) दिया गया समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जहाँ $a < 0, b > 0, c > 0$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} < 0$ है,इसलिए मूल विपरीत चिह्न के हैं।
चूँकि $\alpha < \beta$,इसलिए $\alpha < 0 < \beta$ होगा।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} > 0$ है।
इसका अर्थ है कि धनात्मक मूल का परिमाण ऋणात्मक मूल के परिमाण से अधिक है,अर्थात $|\beta| > |\alpha|$।
अतः,$\alpha < 0 < |\alpha| < \beta$ सही संबंध है।

(B) दिया गया है $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{1}{x_1 + x_2 + x_3}$।
इसे सरल करने पर $(x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = x_1 x_2 x_3$ प्राप्त होता है।
माना $x_1, x_2, x_3$ समीकरण $t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \gamma = 0$ के मूल हैं।
इससे $\gamma = \alpha \beta$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(t + \alpha)(t^2 + \beta) = 0$ बन जाता है।
अतः मूल $x_1 = -\alpha, x_2 = k, x_3 = -k$ हैं।
जब $n$ एक विषम संख्या है,तब $x_2^n + x_3^n = k^n + (-k)^n = 0$ होता है।
अतः,यह समीकरण सभी विषम पूर्णांक $n$ के लिए सत्य है।

(A) माना समीकरण के मूल $x_1, x_2, x_3 > 0$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$x_1 + x_2 + x_3 = 2a$
$x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 3b$
$x_1x_2x_3 = 8$
$\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \frac{1}{x_3}$ पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_3}}$
$\frac{\frac{x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1}{x_1x_2x_3}}{3} \geq \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3}$
$\frac{\frac{3b}{8}}{3} \geq \frac{1}{2}$
$\frac{b}{8} \geq \frac{1}{2}$
$b \geq 4$
अतः,$b$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(C) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूल $r_1 = \alpha - \beta$ और $r_2 = \gamma - \delta$ हैं। मूलों का अंतर $|r_1 - r_2| = |(\alpha - \beta) - (\gamma - \delta)| = |\alpha - \beta - \gamma + \delta| = \frac{\sqrt{D_1}}{|a|}$ है।
समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूल $R_1 = \alpha + \delta$ और $R_2 = \beta + \gamma$ हैं। मूलों का अंतर $|R_1 - R_2| = |(\alpha + \delta) - (\beta + \gamma)| = |\alpha - \beta + \delta - \gamma| = \frac{\sqrt{D_2}}{|A|}$ है।
चूंकि $|\alpha - \beta - \gamma + \delta| = |\alpha - \beta + \delta - \gamma|$,इसलिए $\frac{\sqrt{D_1}}{|a|} = \frac{\sqrt{D_2}}{|A|}$ है।
अतः,$\left| \frac{a}{A} \right| = \sqrt{\frac{D_1}{D_2}}$।

(A) माना $f(x) = \frac{3}{x - a^3} + \frac{5}{x - a^5} + \frac{7}{x - a^7}$.
दिया है $a > 1$,इसलिए $a^3 < a^5 < a^7$.
जब $x \to (a^3)^+$,तब $f(x) \to \infty$ और जब $x \to (a^5)^-$,तब $f(x) \to -\infty$। अतः,$(a^3, a^5)$ के बीच एक मूल है।
जब $x \to (a^5)^+$,तब $f(x) \to \infty$ और जब $x \to (a^7)^-$,तब $f(x) \to -\infty$। अतः,$(a^5, a^7)$ के बीच एक मूल है।
चूँकि $a > 1$,अंतराल $(a^3, a^5)$ और $(a^5, a^7)$ दोनों धनात्मक मानों से बने हैं।
इसलिए,समीकरण के दो वास्तविक और धनात्मक मूल हैं।

(B) दिया गया है $P(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ पूर्णांक मूल हैं।
$x = 6$ रखने पर:
$P(6) = (6 - \alpha)(6 - \beta)(6 - \gamma) = 3$.
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ पूर्णांक हैं,$(6 - \alpha), (6 - \beta),$ और $(6 - \gamma)$ संख्या $3$ के गुणनखंड हैं।
संभावनाएं:
$1) \{1, 1, 3\} \implies \alpha = 5, \beta = 5, \gamma = 3 \implies a = 13$.
$2) \{1, -1, -3\} \implies \alpha = 5, \beta = 7, \gamma = 9 \implies a = 21$.
$3) \{-1, -1, 3\} \implies \alpha = 7, \beta = 7, \gamma = 3 \implies a = 17$.
अतः,$a$ का मान $13, 17,$ या $21$ हो सकता है,इसलिए $a$ का मान $15$ नहीं हो सकता है।

(B) माना $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 1$.
मूल किन अंतरालों में स्थित हैं,यह जानने के लिए हम विभिन्न बिंदुओं पर $f(x)$ के मानों की जाँच करते हैं:
$f(1) = 1 + 1 - 5 - 1 = -4 < 0$
$f(2) = 8 + 4 - 10 - 1 = 1 > 0$
चूँकि $f(1) < 0$ और $f(2) > 0$,एक मूल $\alpha$ अंतराल $(1, 2)$ में स्थित है। अतः,$[\alpha] = 1$.
$f(0) = -1 < 0$
$f(-1) = -1 + 1 + 5 - 1 = 4 > 0$
चूँकि $f(-1) > 0$ और $f(0) < 0$,एक मूल $\beta$ अंतराल $(-1, 0)$ में स्थित है। अतः,$[\beta] = -1$.
$f(-2) = -8 + 4 + 10 - 1 = 5 > 0$
$f(-3) = -27 + 9 + 15 - 1 = -4 < 0$
चूँकि $f(-3) < 0$ और $f(-2) > 0$,एक मूल $\gamma$ अंतराल $(-3, -2)$ में स्थित है। अतः,$[\gamma] = -3$.
इसलिए,$[\alpha] + [\beta] + [\gamma] = 1 + (-1) + (-3) = -3$.

(B) दिया गया सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ है।
इसे $\frac{1}{2}(a + b + c)[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $a, b, c$ भिन्न हैं,इसलिए $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \neq 0$ है।
अतः,$a + b + c = 0$ होना चाहिए।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,यदि हम $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं,तो हमें $a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a + b + c = 0$,इसलिए $x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हम जानते हैं कि $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ है।
चूंकि $\alpha = 1$,इसलिए दूसरा मूल $\beta = \frac{c}{a}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^4 + x^3 = 2(x^2 + 3ax + 2a^2)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^4 + x^3 - 2x^2 - 6ax - 4a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $(x^2 + 2x + 2a)(x^2 - x - 2a) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
समीकरण के चार वास्तविक हल होने के लिए,दोनों द्विघात गुणनखंडों के वास्तविक मूल होने चाहिए।
$x^2 + 2x + 2a = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_1 = 2^2 - 4(1)(2a) = 4 - 8a \geq 0$,जिसका अर्थ है $a \leq \frac{1}{2}$।
$x^2 - x - 2a = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_2 = (-1)^2 - 4(1)(-2a) = 1 + 8a \geq 0$,जिसका अर्थ है $a \geq -\frac{1}{8}$।
इन शर्तों को संयोजित करने पर,$a$ के मानों का समुच्चय $[-\frac{1}{8}, \frac{1}{2}]$ प्राप्त होता है।

(B) माना $2^x = t$ है। चूँकि $x > 0$,इसलिए $t = 2^x > 2^0 = 1$ होगा।
समीकरण में $t$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 - (k + 2)t + 2k = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(t - k)(t - 2) = 0$।
अतः,मूल $t_1 = k$ और $t_2 = 2$ हैं।
$x$ के लिए ठीक एक धनात्मक मूल होने हेतु,$t$ का ठीक एक मूल $1$ से बड़ा होना चाहिए।
हमारे पास पहले से ही एक मूल $t_2 = 2$ है,जो $1$ से बड़ा है।
अतः,दूसरे मूल $t_1 = k$ के लिए $k \le 1$ होना चाहिए।
यदि $k = 2$ है,तो मूल $t_1 = 2, t_2 = 2$ होंगे,जो केवल एक ही हल $t = 2 > 1$ देते हैं,जो मान्य है।
अतः,शर्त $k \le 1$ या $k = 2$ है।