Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac > 0$ होना चाहिए।
यहाँ $a \neq 0$ और $a, b, c$ भिन्न हैं।
कुल संभव समीकरणों की संख्या $8$ है।

(D) माना $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^4-x^3-8 x^2+2 x+12=0$ के मूल हैं। दिया है $\alpha+\beta=0$.
हम बहुपद को $(x^2+a)(x^2-x+b) = x^4-x^3+(a+b)x^2-ax+ab$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$-a=2 \implies a=-2$.
$ab=12 \implies -2b=12 \implies b=-6$.
अतः,$x^4-x^3-8x^2+2x+12 = (x^2-2)(x^2-x-6) = (x^2-2)(x-3)(x+2)$.
मूल $\pm\sqrt{2}, 3, -2$ हैं।
$\alpha+\beta=0$ होने के कारण,$\alpha=\sqrt{2}, \beta=-\sqrt{2}$ है।
अन्य मूल $\gamma=3, \delta=-2$ हैं (दिया है $\gamma > \delta$)।
इसलिए,$3\gamma+2\delta = 3(3)+2(-2) = 9-4 = 5$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ है।
गुणांकों का योग $= a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $0$ है,इसलिए $x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हम जानते हैं कि $\beta = 1$ है।
मूलों के गुणनफल के सूत्र से,$\alpha \times \beta = \frac{\text{अचर पद}}{\text{x}^2 \text{ का गुणांक}} = \frac{c(a-b)}{a(b-c)}$ है।
इसलिए,$\alpha \times 1 = \frac{c(a-b)}{a(b-c)}$ है।
अतः मूल $1$ और $\frac{c(a-b)}{a(b-c)}$ हैं।

(D) चूंकि द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया एक मूल $x_1 = 3+i$ है,अतः दूसरा मूल $x_2 = 3-i$ होगा।
द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के मूलों का योग $-a$ होता है।
इसलिए,$(3+i) + (3-i) = -a$.
$6 = -a$.
$a = -6$.

(B) मूलों को $-1$ द्वारा स्थानांतरित करने के लिए,हम $x$ को $(x+1)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
मूल समीकरण $f(x) = x^4+5x^3+6x^2+7x+9=0$ में $x$ के स्थान पर $(x+1)$ रखने पर:
$f(x+1) = (x+1)^4 + 5(x+1)^3 + 6(x+1)^2 + 7(x+1) + 9 = 0$
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$
$5(x+1)^3 = 5x^3 + 15x^2 + 15x + 5$
$6(x+1)^2 = 6x^2 + 12x + 6$
$7(x+1) = 7x + 7$
सभी पदों को जोड़ने पर:
$x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 38x + 28 = 0$

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 3ax + a^2 - 2a - 4 = 0$ है।
मूलों के परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (-3a)^2 - 4(1)(a^2 - 2a - 4) = 9a^2 - 4a^2 + 8a + 16 = 5a^2 + 8a + 16$.
चूंकि $5a^2 + 8a + 16$ '$a$' में एक द्विघात व्यंजक है जिसका विविक्तकर $D_a = 8^2 - 4(5)(16) = 64 - 320 = -256 < 0$ है,इसलिए $5a^2 + 8a + 16$ हमेशा धनात्मक रहता है।
हालाँकि,मूलों के परिमेय होने के लिए $D$ को एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
चूंकि $5a^2 + 8a + 16$ सभी परिमेय '$a$' के लिए पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं लेकिन आवश्यक रूप से परिमेय नहीं हैं।

(C) दिया गया है कि $x^2+x-6$,$P(x) = 2x^3+x^2+ax+b$ का एक गुणनखंड है।
भाजक का गुणनखंड करने पर: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$।
अतः,$P(-3) = 0$ और $P(2) = 0$।
$x = -3$ के लिए: $2(-3)^3 + (-3)^2 + a(-3) + b = 0$ $\Rightarrow -54 + 9 - 3a + b = 0$ $\Rightarrow -3a + b = 45$ ... $(i)$।
$x = 2$ के लिए: $2(2)^3 + (2)^2 + a(2) + b = 0$ $\Rightarrow 16 + 4 + 2a + b = 0$ $\Rightarrow 2a + b = -20$ ... $(ii)$।
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $-5a = 65 \Rightarrow a = -13$।
$a = -13$ को $(ii)$ में रखने पर: $b = 6$।
अंततः,$6a + 13b = 6(-13) + 13(6) = -78 + 78 = 0$।

(D) दिया गया समीकरण: $2^{6x} - 3(2^{3x+2}) + 32 = 0$
चूंकि $2^{3x+2} = 2^{3x} \times 2^2 = 4 \times 2^{3x}$,समीकरण बन जाता है:
$(2^{3x})^2 - 3(4 \times 2^{3x}) + 32 = 0$
$(2^{3x})^2 - 12(2^{3x}) + 32 = 0$
माना $y = 2^{3x}$। तो समीकरण $y^2 - 12y + 32 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(y - 4)(y - 8) = 0$।
अतः,$y = 4$ या $y = 8$।
स्थिति $1$: $2^{3x} = 4 = 2^2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$।
स्थिति $2$: $2^{3x} = 8 = 2^3 \implies 3x = 3 \implies x = 1$।
दिया है $\beta < 1$,इसलिए $\beta = \frac{2}{3}$ और $\alpha = 1$।
अतः,$2\alpha + 3\beta = 2(1) + 3(\frac{2}{3}) = 2 + 2 = 4$।

(A) माना समीकरण $x^3-6x^2+3x+10=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दिया गया है कि एक मूल अन्य दो का औसत है,अतः $\beta = \frac{\alpha+\gamma}{2} \Rightarrow \alpha+\gamma = 2\beta$।
मूलों के योग से,$\alpha+\beta+\gamma = 6$।
$\alpha+\gamma = 2\beta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\beta+\beta = 6$ $\Rightarrow 3\beta = 6$ $\Rightarrow \beta = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\beta=2$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(2)^3 - 6(2)^2 + 3(2) + 10 = 8 - 24 + 6 + 10 = 0$।
अब,बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर: $(x-2)(x^2-4x-5) = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2)(x-5)(x+1) = 0$।
मूल $2, 5, -1$ हैं।
मूलों की चौथी घातों का योग $2^4 + 5^4 + (-1)^4 = 16 + 625 + 1 = 642$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{k}{kx+3}+\frac{3}{3x-k}=\frac{12x+5}{(kx+3)(3x-k)}$
दोनों पक्षों को $(kx+3)(3x-k)$ से गुणा करने पर:
$k(3x-k) + 3(kx+3) = 12x+5$
$3kx - k^2 + 3kx + 9 = 12x + 5$
$6kx - k^2 + 9 = 12x + 5$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$6k = 12 \Rightarrow k = 2$
$k=2$ को द्विघात समीकरण $kx^2-7x+3=0$ में रखने पर:
$2x^2-7x+3=0$
$2x^2-6x-x+3=0$
$2x(x-3)-1(x-3)=0$
$(2x-1)(x-3)=0$
अतः,मूल $x = \frac{1}{2}$ और $x = 3$ हैं।
चूंकि $\frac{1}{2}$ और $3$ दोनों परिमेय संख्याएँ हैं,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $(x+a)(x+1991)+1 = (x+b)(x+c)$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 + (a+1991)x + 1991a + 1 = x^2 + (b+c)x + bc$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$b+c = a+1991$ और $bc = 1991a+1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $b$ और $c$ द्विघात समीकरण $x^2 - (b+c)x + bc = 0$ के मूल हैं,इसलिए विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,मान लीजिए $m^2$.
$D = (b+c)^2 - 4bc = (a+1991)^2 - 4(1991a+1) = m^2$.
$(a-1991)^2 - 4 = m^2$.
$(a-1991)^2 - m^2 = 4$.
$(a-1991-m)(a-1991+m) = 4$.
मान लीजिए $X = a-1991-m$ और $Y = a-1991+m$. तब $XY = 4$.
चूँकि $Y-X = 2m$,$X$ और $Y$ की समता समान होनी चाहिए। चूँकि उनका गुणनफल $4$ (सम) है,दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए।
संभावित जोड़े $(X, Y)$ $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ हैं।
स्थिति $1$: $a-1991 = 2 \Rightarrow a = 1993$.
स्थिति $2$: $a-1991 = -2 \Rightarrow a = 1989$.
अतः,$a \in \{1989, 1993\}$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0$ है।
मूलों के भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac > 0$
$[-2(1 + 3m)]^2 - 4(1)(7(3 + 2m)) > 0$
$4(1 + 9m^2 + 6m) - 28(3 + 2m) > 0$
$4 + 36m^2 + 24m - 84 - 56m > 0$
$36m^2 - 32m - 80 > 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$9m^2 - 8m - 20 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(9m + 10)(m - 2) > 0$
समीकरण $9m^2 - 8m - 20 = 0$ के मूल $m = 2$ और $m = -\frac{10}{9}$ हैं।
अतः,असमिका $m \in (-\infty, -\frac{10}{9}) \cup (2, \infty)$ के लिए सत्य है।
चूंकि $S$,वास्तविक संख्याओं $\mathbb{R}$ के समुच्चय का एक उपसमुच्चय है और अंतराल $(-\infty, -\frac{10}{9}) \cup (2, \infty)$ में अनंत वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए $S$ में अवयवों की संख्या अनंत है।

(B) द्विघात समीकरण $x^2+(2m+1)x+m=0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D=0$ होना चाहिए।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a=1$,$b=(2m+1)$,और $c=m$ है।
$D=0$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2m+1)^2 - 4(1)(m) = 0$
$4m^2 + 4m + 1 - 4m = 0$
$4m^2 + 1 = 0$
$4m^2 = -1$
$m^2 = -\frac{1}{4}$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या $m$ का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक $(m^2 \ge 0)$ होना चाहिए,इसलिए $m$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$m$ के वास्तविक मानों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $7x^2 - 13x + a = 0$ है।
मूलों के परिमेय होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
यहाँ,$D = (-13)^2 - 4(7)(a) = 169 - 28a$ है।
$D$ के पूर्ण वर्ग होने के लिए,$169 - 28a = k^2$ होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
यदि $a = 5$,$D = 169 - 140 = 29$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
यदि $a = 6$,$D = 169 - 168 = 1 = 1^2$ (एक पूर्ण वर्ग है)।
अतः,$a$ का न्यूनतम संभव मान $6$ है।

(C) हम जानते हैं कि परिमेय गुणांकों वाले त्रिघात समीकरण में यदि एक अपरिमेय मूल $\alpha+\sqrt{\beta}$ है,तो उसका संयुग्मी मूल $\alpha-\sqrt{\beta}$ भी होता है।
अतः,मूल $1, 2+\sqrt{5}$ और $2-\sqrt{5}$ हैं।
त्रिघात समीकरण का सूत्र: $x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-(\alpha\beta\gamma)=0$ है।
यहाँ $\alpha=1, \beta=2+\sqrt{5}, \gamma=2-\sqrt{5}$ है।
मूलों का योग: $1+2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5} = 5$ है।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $1(2+\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})+1(2-\sqrt{5}) = 2+\sqrt{5}+4-5+2-\sqrt{5} = 3$ है।
मूलों का गुणनफल: $1(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 1(4-5) = -1$ है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3-5x^2+3x+1=0$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^2-5|x|-14=0$.
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$|x|^2-5|x|-14=0$.
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$. समीकरण $t^2-5t-14=0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t-7)(t+2)=0$.
इससे $t=7$ या $t=-2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = |x| \geq 0$,हम $t=-2$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$|x|=7$,जिसका अर्थ है $x=7$ या $x=-7$ है।
दोनों मूल वास्तविक हैं। इसलिए,कुल दो वास्तविक मूल हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $\frac{1}{4}x^2 + bx + c = 0$ है।
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 4bx + 4c = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A=1, B=4b, C=4c$:
$x = \frac{-4b \pm \sqrt{(4b)^2 - 4(1)(4c)}}{2(1)}$
$x = \frac{-4b \pm \sqrt{16b^2 - 16c}}{2}$
$x = \frac{-4b \pm 4\sqrt{b^2 - c}}{2}$
$x = -2b \pm 2\sqrt{b^2 - c}$।
$x$ के पूर्णांक होने के लिए,$b$ का पूर्णांक होना आवश्यक है और $b^2 - c$ को एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग होना चाहिए।

(B) द्विघात समीकरण $x^2+mx+n=0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = m^2 - 4n \geq 0$,जिसका अर्थ है $m^2 \geq 4n$।
दिया गया है कि $0 \leq m, n \leq 10$,हम $n \leq \frac{m^2}{4}$ को संतुष्ट करने वाले युग्मों $(m, n)$ की गणना करते हैं:
- यदि $m=10$,$n \leq 25$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ मान)।
- यदि $m=9$,$n \leq 20.25$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ मान)।
- यदि $m=8$,$n \leq 16$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ मान)।
- यदि $m=7$,$n \leq 12.25$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ मान)।
- यदि $m=6$,$n \leq 9$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 9\}$ ($10$ मान)।
- यदि $m=5$,$n \leq 6.25$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 6\}$ ($7$ मान)।
- यदि $m=4$,$n \leq 4$,तो $n \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ मान)।
- यदि $m=3$,$n \leq 2.25$,तो $n \in \{0, 1, 2\}$ ($3$ मान)।
- यदि $m=2$,$n \leq 1$,तो $n \in \{0, 1\}$ ($2$ मान)।
- यदि $m=1$,$n \leq 0.25$,तो $n \in \{0\}$ ($1$ मान)।
- यदि $m=0$,$n \leq 0$,तो $n \in \{0\}$ ($1$ मान)।
कुल युग्मों की संख्या $= 11+11+11+11+10+7+5+3+2+1+1 = 73$।

(D) दिया गया है,$|x^2-x-6|=x+2$.
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
स्थिति $1$: $x^2-x-6 = x+2$
$\Rightarrow x^2-2x-8 = 0$
$\Rightarrow (x-4)(x+2) = 0$
$\Rightarrow x = 4, -2$.
स्थिति $2$: $x^2-x-6 = -(x+2)$
$\Rightarrow x^2-x-6 = -x-2$
$\Rightarrow x^2-4 = 0$
$\Rightarrow x^2 = 4$
$\Rightarrow x = 2, -2$.
दोनों स्थितियों के परिणामों को मिलाने पर,मूलों का समुच्चय $\{-2, 2, 4\}$ है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
द्विघात समीकरण $ax^2 - 2bx + c = 0$ में मान रखने पर:
$ax^2 - (a + c)x + c = 0$
$ax^2 - ax - cx + c = 0$
$ax(x - 1) - c(x - 1) = 0$
$(x - 1)(ax - c) = 0$
अतः,मूल $x = 1$ और $x = \frac{c}{a}$ हैं।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $(\cos p-1) x^2+(\cos p) x+\sin p=0$.
चूंकि मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $\Delta \geq 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac = (\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$.
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$.
द्विघात समीकरण के अस्तित्व के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए: $\cos p - 1 \neq 0 \Rightarrow \cos p \neq 1$.
सभी $p \neq 2n\pi$ के लिए $\cos^2 p \geq 0$ और $(\cos p - 1) < 0$ होने के कारण,$\Delta \geq 0$ की शर्त तब पूरी होती है जब $\sin p > 0$ हो।
अतः,$p \in (0, \pi)$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है.

(A) दिया गया समीकरण: $x^2-5|x|+6=0$
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$|x|^2-5|x|+6=0$
माना $|x| = t$,तो समीकरण $t^2-5t+6=0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t-3)(t-2)=0$
अतः,$|x|=3$ या $|x|=2$
यदि $|x|=3$,तो $x = 3$ या $x = -3$
यदि $|x|=2$,तो $x = 2$ या $x = -2$
इस प्रकार,हल $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$ हैं।
अतः,कुल $4$ हल हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + 5x + k = 0$ है।
द्विघात समीकरण के मूल परिमेय होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
यहाँ,$a = 2$,$b = 5$,और $c = k$ है।
$D = (5)^2 - 4(2)(k) = 25 - 8k$.
$D$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
यदि $k = \frac{25}{8}$ है,तो $D = 25 - 8(\frac{25}{8}) = 25 - 25 = 0$.
चूँकि $0$ एक पूर्ण वर्ग है $(0^2 = 0)$,इसलिए मूल परिमेय हैं।
अतः,$k = \frac{25}{8}$ सही मान है।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया समीकरण $f(x)=x^4+2x^3-16x^2-22x+7=0$ है।
चूंकि गुणांक परिमेय हैं,यदि $2+\sqrt{3}$ एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $2-\sqrt{3}$ भी एक मूल होगा।
माना चार मूल $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, \alpha, \beta$ हैं।
मूलों का योग: $(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})+\alpha+\beta = -2 \implies 4+\alpha+\beta = -2 \implies \alpha+\beta = -6$.
मूलों का गुणनफल: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \alpha \beta = 7 \implies (4-3) \alpha \beta = 7 \implies \alpha \beta = 7$.
$\alpha$ और $\beta$ के लिए द्विघात समीकरण: $t^2+6t+7=0$ है।
हल करने पर: $t = -3 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, -3+\sqrt{2}, -3-\sqrt{2}$ हैं।
विकल्पों की तुलना करने पर,$3-\sqrt{2}$ मूल नहीं है।

(A) चूँकि दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ के मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$ होगा।
$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)(3\lambda(ab+bc+ca)) \geq 0$
$4(a+b+c)^2 - 12\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$
$(a+b+c)^2 \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$
$\lambda \leq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}$
एक विषमबाहु त्रिभुज के लिए,हम जानते हैं कि $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,$2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) > 0$,अतः $a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ca$।
दोनों पक्षों में $2(ab+bc+ca)$ जोड़ने पर,हमें $(a+b+c)^2 > 3(ab+bc+ca)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} > 1$।
साथ ही,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$(a+b+c)^2 < 4(ab+bc+ca)$,जो यह दर्शाता है कि $\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} < \frac{4}{3}$।
इसलिए $\lambda$ का अंतराल $\left(-\infty, \frac{4}{3}\right)$ है।

(D) दिया गया है कि $4$ घात वाले बहुपद के गुणांक वास्तविक हैं। चूँकि सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं,यदि $1+2i$ एक मूल है,तो $1-2i$ भी एक मूल होगा। मूल $2+\sqrt{3}$,$2-\sqrt{3}$,$1+2i$ और $1-2i$ हैं।
$2 \pm \sqrt{3}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण:
$(x-(2+\sqrt{3}))(x-(2-\sqrt{3})) = x^2-4x+1$.
$1 \pm 2i$ मूलों वाला द्विघात समीकरण:
$(x-(1+2i))(x-(1-2i)) = x^2-2x+5$.
इन दोनों गुणनखंडों का गुणनफल करने पर:
$(x^2-4x+1)(x^2-2x+5) = x^4-6x^3+14x^2-22x+5 = 0$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $\sin \alpha = p$। हम जानते हैं कि $\sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = p$।
माना $t = \tan \frac{\alpha}{2}$। तब $\frac{2t}{1 + t^2} = p$,जिसका अर्थ है $2t = p + pt^2$,या $pt^2 - 2t + p = 0$।
$p$ से भाग देने पर,हमें $t^2 - \frac{2}{p} t + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण के मूल $t_1 = \tan \frac{\alpha}{2}$ और $t_2 = \frac{1}{\tan \frac{\alpha}{2}} = \cot \frac{\alpha}{2}$ हैं।
मूलों का योग $\tan \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{p}$ है और मूलों का गुणनफल $\tan \frac{\alpha}{2} \times \cot \frac{\alpha}{2} = 1$ है।
अपेक्षित द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - \frac{2}{p} x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $px^2 - 2x + p = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{\frac{x}{2x+1}} + \sqrt{\frac{2x+1}{x}} = 2$
माना $y = \sqrt{\frac{x}{2x+1}}$। तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = 2$ हो जाता है।
$y$ से गुणा करने पर,$y^2 - 2y + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(y-1)^2 = 0$ है।
अतः,$y = 1$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{x}{2x+1}} = 1 \implies \frac{x}{2x+1} = 1 \implies x = 2x + 1 \implies x = -1$।
चूंकि $\alpha$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $\alpha = -1$।
अब,$\alpha = -1$ को $\alpha^2 x^2 + 4\alpha x + 3 = 0$ में रखने पर:
$(-1)^2 x^2 + 4(-1)x + 3 = 0
\implies x^2 - 4x + 3 = 0
\implies (x-1)(x-3) = 0$।
अतः,मूल $x = 1, 3$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $(p^2+p-3)(p^2+p-2)-12=0$ है।
मान लीजिए $y = p^2+p-2$ है।
तब समीकरण $(y-1)y - 12 = 0$ हो जाता है।
$y^2 - y - 12 = 0$.
$(y-4)(y+3) = 0$.
अतः,$y = 4$ या $y = -3$ है।
स्थिति $1$: $p^2+p-2 = 4 \Rightarrow p^2+p-6 = 0$.
$(p+3)(p-2) = 0$,इसलिए $p = -3, 2$ (ये वास्तविक मूल हैं)।
स्थिति $2$: $p^2+p-2 = -3 \Rightarrow p^2+p+1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ है।
अतः,मूल अवास्तविक हैं।
$p^2+p+1=0$ के मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$ है।

(C) द्विघात समीकरण $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)(3\lambda(ab+bc+ca)) \geq 0$
$4(a+b+c)^2 - 12\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$
$(a+b+c)^2 \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$
$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$
$(ab+bc+ca)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 2 \geq 3\lambda$
चूँकि $a, b, c$ एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं,$a+b > c$,$b+c > a$,और $c+a > b$।
असमिका $a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)$ ज्ञात है।
अतः,$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} < 2$।
इस मान को असमिका में रखने पर:
$3\lambda \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 2 < 2 + 2 = 4$
$3\lambda < 4 \Rightarrow \lambda < \frac{4}{3}$.

(A) माना $t = x + \frac{1}{x}$. तब $t^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$,अर्थात $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
समीकरण में मान रखने पर: $2(t^2 - 2) - 7t + 9 = 0$.
$2t^2 - 4 - 7t + 9 = 0 \implies 2t^2 - 7t + 5 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2t - 5)(t - 1) = 0$.
अतः,$t = 1$ या $t = \frac{5}{2}$.
स्थिति $1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2x - 1)(x - 2) = 0$,अतः $x = \frac{1}{2}$ या $x = 2$.
चूंकि प्रश्न में पूर्णांक हलों की संख्या पूछी गई है,हम $x = 2$ (जो एक पूर्णांक है) और $x = \frac{1}{2}$ (जो पूर्णांक नहीं है) की जांच करते हैं।
अतः,केवल $1$ पूर्णांक हल है,जो $x = 2$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $|x|^2 - 5|x| - 24 = 0$.
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$.
समीकरण $t^2 - 5t - 24 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t - 8)(t + 3) = 0$.
इससे $t = 8$ या $t = -3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|x| \ge 0$,इसलिए $t = -3$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$|x| = 8$,जिसका अर्थ है $x = 8$ या $x = -8$.
समीकरण के मूल $8$ और $-8$ हैं।
मूलों का गुणनफल: $8 \times (-8) = -64$.
मूलों का योगफल: $8 + (-8) = 0$.
अतः,गुणनफल और योगफल क्रमशः $-64$ और $0$ हैं।

(A) दिया गया है कि द्विघात समीकरण $(b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0$ के मूल समान हैं,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$D = (c-a)^2 - 4(b-c)(a-b) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(c^2 + a^2 - 2ac) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$
$c^2 + a^2 - 2ac - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$
$c^2 + a^2 + 2ac + 4b^2 - 4ab - 4bc = 0$
$(c+a)^2 - 4b(a+c) + (2b)^2 = 0$
यह $X^2 - 2XY + Y^2 = 0$ के रूप में है,जहाँ $X = (c+a)$ और $Y = 2b$ है।
$(c+a - 2b)^2 = 0$
$c+a - 2b = 0$
$2b = a+c$
चूँकि $2b = a+c$ है,इसलिए $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $(x-a)(x-a-1)+(x-a-1)(x-a-2)+(x-a)(x-a-2)=0$. \\ मान लीजिए $t = x-a$. तब समीकरण इस प्रकार हो जाता है: \\ $t(t-1) + (t-1)(t-2) + t(t-2) = 0$ \\ $t^2 - t + t^2 - 3t + 2 + t^2 - 2t = 0$ \\ $3t^2 - 6t + 2 = 0$ \\ विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$. \\ चूँकि $D > 0$,$t$ के मूल वास्तविक और भिन्न हैं। \\ परिणामस्वरूप,$x = a + t$ के मूल भी वास्तविक और भिन्न होंगे।

(B) दिया गया है कि $f(x) = x^2 + ax + b$ के मूल काल्पनिक हैं।
अतः,विविक्तकर $D < 0$,जिसका अर्थ है $a^2 - 4b < 0$।
अब,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 2x + a$
$f''(x) = 2$
इन मानों को समीकरण $f(x) + f'(x) + f''(x) = 0$ में रखने पर:
$(x^2 + ax + b) + (2x + a) + 2 = 0$
$x^2 + (a + 2)x + (b + a + 2) = 0$
इस नए द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D'$ है:
$D' = (a + 2)^2 - 4(1)(b + a + 2)$
$D' = a^2 + 4a + 4 - 4b - 4a - 8$
$D' = a^2 - 4b - 4$
चूंकि $a^2 - 4b < 0$,इसलिए $a^2 - 4b - 4 < -4$।
अतः,$D' < 0$।
विविक्तकर ऋणात्मक होने के कारण,समीकरण $f(x) + f'(x) + f''(x) = 0$ के मूल काल्पनिक हैं।

(A) दिया गया समीकरण $x^4+7x^3+18x^2+20x+8=0$ है।
हम छोटे पूर्णांक मूलों का परीक्षण करके बहुपद का गुणनखंड कर सकते हैं।
$x = -2$ के लिए: $(-2)^4 + 7(-2)^3 + 18(-2)^2 + 20(-2) + 8 = 16 - 56 + 72 - 40 + 8 = 0$।
अतः,$(x+2)$ एक गुणनखंड है।
$x^4+7x^3+18x^2+20x+8$ को $(x+2)$ से विभाजित करने पर $x^3+5x^2+8x+4$ प्राप्त होता है।
$x^3+5x^2+8x+4$ के लिए पुनः $x = -2$ का परीक्षण करने पर: $(-2)^3 + 5(-2)^2 + 8(-2) + 4 = -8 + 20 - 16 + 4 = 0$।
अतः,$(x+2)$ पुनः एक गुणनखंड है।
$x^3+5x^2+8x+4$ को $(x+2)$ से विभाजित करने पर $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,समीकरण $(x+2)^3(x+1) = 0$ है।
पुनरावृत्त मूल $-2$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $2x^3 + 5x^2 - 4x - 12 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2x^3 + 4x^2 + x^2 + 2x - 6x - 12 = 0$
$2x^2(x + 2) + x(x + 2) - 6(x + 2) = 0$
$(2x^2 + x - 6)(x + 2) = 0$
$(2x - 3)(x + 2)(x + 2) = 0$
मूल $x = -2, -2, \frac{3}{2}$ हैं।
भिन्न मूल $-2$ और $\frac{3}{2}$ हैं।
इन मूलों वाला द्विघात समीकरण:
$(x + 2)(x - \frac{3}{2}) = 0$
$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$
$2x^2 + x - 6 = 0$
अचर पद $-6$ है।

(D) चूंकि $(x-2)$,व्यंजकों $x^2+ax+b$ और $x^2+cx+d$ का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,इसलिए $x=2$ पर इन व्यंजकों का मान $0$ होना चाहिए।
$x^2+ax+b$ के लिए: $(2)^2+a(2)+b=0 \Rightarrow 4+2a+b=0 \dots(i)$
$x^2+cx+d$ के लिए: $(2)^2+c(2)+d=0 \Rightarrow 4+2c+d=0 \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(4+2a+b) - (4+2c+d) = 0 - 0$
$2a+b-2c-d = 0$
$b-d = 2c-2a$
$b-d = 2(c-a)$
दोनों पक्षों को $(c-a)$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $c \neq a$):
$\frac{b-d}{c-a} = 2$

(B) द्विघात समीकरण $x^2+3(a+3)x-9a=0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए।
$D = [3(a+3)]^2 - 4(1)(-9a) = 0$
$9(a^2+6a+9) + 36a = 0$
$9a^2 + 90a + 81 = 0 \Rightarrow a^2 + 10a + 9 = 0$
$(a+9)(a+1) = 0 \Rightarrow a = -9, -1$.
$a = -9$ के लिए,$x^2 - 18x + 81 = 0 \Rightarrow x = 9$. अतः $\alpha = 9$.
$a = -1$ के लिए,$x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3$. अतः $\beta = -3$.
व्यंजक $f(x) = x^2 + 9x + 3$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(x) = (x + \frac{9}{2})^2 - \frac{69}{4}$.
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{69}{4}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $|x^2+2x-8| = 2-x$ है।
स्थिति $1$: $x^2+2x-8 \ge 0$.
$(x+4)(x-2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
अतः $x^2+2x-8 = 2-x \implies x^2+3x-10 = 0 \implies (x+5)(x-2) = 0$.
अतः $x = -5$ और $x = 2$। दोनों शर्त को संतुष्ट करते हैं।
स्थिति $2$: $x^2+2x-8 < 0$.
$(x+4)(x-2) < 0 \implies x \in (-4, 2)$.
अतः $-(x^2+2x-8) = 2-x \implies -x^2-2x+8 = 2-x \implies x^2+x-6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0$.
अतः $x = -3$ और $x = 2$।
चूंकि $x=2$ अंतराल $(-4, 2)$ में नहीं है,इसलिए हम केवल $x = -3$ लेंगे।
भिन्न वास्तविक हल $\{-5, 2, -3\}$ हैं।
अतः,$3$ भिन्न वास्तविक हल हैं।

(B) असमिका $x^2 - 4x - 21 \leq 0$ को हल करने के लिए,हम पहले द्विघात समीकरण $x^2 - 4x - 21 = 0$ के मूल ज्ञात करते हैं।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1, b = -4, c = -21$ है:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-21)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2}$
अतः,$x_1 = \frac{14}{2} = 7$ और $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$ प्राप्त होते हैं।
असमिका को $(x - 7)(x + 3) \leq 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणनफल के शून्य या उससे कम होने के लिए,$x$ को दोनों मूलों के बीच स्थित होना चाहिए।
अतः,$x \in [-3, 7]$।

(A) माना $y = \sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\ldots}}}$
$\Rightarrow y = \sqrt{42+y}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^2 = 42 + y$
$\Rightarrow y^2 - y - 42 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(y - 7)(y + 6) = 0$
$\Rightarrow y = 7$ या $y = -6$
चूंकि वर्गमूल का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $y = -6$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,अभीष्ट हल $y = 7$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^2 + 4kx + 3 = 0$ है।
मूलों के वास्तविक न होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac < 0$
$(4k)^2 - 4(3)(3) < 0$
$16k^2 - 36 < 0$
$16k^2 < 36$
$k^2 < 9/4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|k| < 3/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$-3/2 < k < 3/2$।
इस प्रकार,$k$ अंतराल $(-3/2, 3/2)$ में स्थित है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $16x^2-10x+1=0$
गुणनखंड करने पर: $16x^2-8x-2x+1=0$
$\Rightarrow 8x(2x-1)-1(2x-1)=0$
$\Rightarrow (8x-1)(2x-1)=0$
मूल $x_1 = \frac{1}{8}$ और $x_2 = \frac{1}{2}$ हैं।
मूलों की चतुर्थ घात का योग:
$(\frac{1}{8})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{4096} + \frac{1}{16}$
$= \frac{1 + 256}{4096} = \frac{257}{4096}$

(B) दिया गया समीकरण: $|x-2|^2+|x-2|-2=0$
माना $y = |x-2|$। चूँकि $|x-2| \geq 0$,इसलिए $y \geq 0$ होना चाहिए।
समीकरण $y^2 + y - 2 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(y+2)(y-1) = 0$।
इससे $y = -2$ या $y = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y \geq 0$,इसलिए हम $y = -2$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$|x-2| = 1$।
इसका अर्थ है $x-2 = 1$ या $x-2 = -1$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 3$ या $x = 1$।
वास्तविक मूलों का योग $3 + 1 = 4$ है।