ઉપવલય $9x^2 + 4y^2 = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી છે?

જો $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (જ્યાં $a > b$) પર પ્રથમ ચરણમાં આવેલું હોય,અને $P$ આગળ દોરેલ સ્પર્શક અને અભિલંબ મુખ્ય અક્ષને અનુક્રમે $T$ અને $N$ બિંદુઓમાં મળે,તો $\frac{(\left| F_2N \right| + \left| F_1N \right|)(\left| F_2T \right| - \left| F_1T \right|)}{(\left| F_2N \right| - \left| F_1N \right|)(\left| F_2T \right| + \left| F_1T \right|)}$ ની કિંમત કેટલી થાય? (જ્યાં $F_1$ અને $F_2$ એ નાભિઓ $(ae, 0)$ અને $(-ae, 0)$ છે).

વક્ર $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ ને સ્પર્શકનું સમીકરણ જે યામ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે તે છે:

ઉપવલયો $E_{k}: kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k = 1, 2, \ldots, 20$. ધારો કે $C_{k}$ એ વર્તુળ છે જે ઉપવલય $E_{k}$ ના અંતિમ બિંદુઓને (એક ગૌણ અક્ષ પર અને બીજું મુખ્ય અક્ષ પર) જોડતી ચાર જીવાઓને સ્પર્શે છે. જો $r_{k}$ એ વર્તુળ $C_{k}$ ની ત્રિજ્યા હોય,તો $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}}$ નું મૂલ્ય $.......$ છે.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના કોઈ બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષોને અનુક્રમે $G$ અને $g$ માં મળે,તો $PG:Pg = $

ઉગમબિંદુને નાભિ તરીકે અને $x = 4$ ને અનુરૂપ નિયામિકા તરીકે લઈને ઉપવલયોનું એક કુળ દોરવામાં આવે છે. તો લઘુ અક્ષના અંત્યબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?