એક ઉપવલય (ellipse) ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ તેની નાભિઓ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે. તો તે ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ ને $- \frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષોને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ .................. $sq. \text{ units}$ થાય ($O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે).

ગ્રહ $M$ તેના સૂર્ય $S$ ની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે,જેમાં સૂર્ય એક નાભિ પર છે. જ્યારે $M$ એ $S$ ની સૌથી નજીક હોય છે,ત્યારે તે $2$ એકમ દૂર હોય છે. જ્યારે $M$ એ $S$ થી સૌથી દૂર હોય છે,ત્યારે તે $18$ એકમ દૂર હોય છે. જો $S$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર હોય અને બીજી નાભિ ઋણ $y$-અક્ષ પર હોય,તો ગ્રહ $M$ ની લંબગોળ કક્ષાનું સમીકરણ શોધો.

ઉપવલય $36 x^{2}+4 y^{2}=144$ માટે નાભિના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

$c$ ના કયા મૂલ્ય માટે રેખા $y = 4x + c$ એ વક્ર $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ ને સ્પર્શે છે? $c$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો.

સમીકરણ $\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} + \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 4$ શું દર્શાવે છે?