Tangent and normal to a circle Questions in Hindi

(C) रेखा का समीकरण $3x + y + k = 0$ है।
वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} = 10$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है।
यदि रेखा $Ax + By + C = 0$ वृत्त की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\left| \frac{Ax_{1} + By_{1} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right| = r$
मान रखने पर:
$\left| \frac{3(0) + 1(0) + k}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} \right| = \sqrt{10}$
$\left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right| = \sqrt{10}$
$|k| = 10$
अतः,$k = \pm 10$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर अभिलंब हमेशा केंद्र $C(-g, -f)$ से होकर गुजरता है।
अभिलंब की प्रवणता रेखाखंड $CP$ की प्रवणता है।
प्रवणता $m = \frac{y_1 - (-f)}{x_1 - (-g)} = \frac{y_1+f}{x_1+g}$ है।
अतः,अभिलंब की प्रवणता $\frac{y_1+f}{x_1+g}$ है।

(B) दिया गया है $h^2 + hk + k^2 = 37$ ... $(i)$
त्रिज्या $r = \sqrt{10}$।
वृत्त $S$ का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 10$ है ... $(ii)$
चूंकि $(1, 2)$ वृत्त पर स्थित है,$(1 - h)^2 + (2 - k)^2 = 10$।
विस्तार करने पर,$1 - 2h + h^2 + 4 - 4k + k^2 = 10$,जो $h^2 + k^2 - 2h - 4k = 5$ में सरल होता है।
$(i)$ से $h^2 + k^2 = 37 - hk$ को इस समीकरण में रखने पर:
$37 - hk - 2h - 4k = 5 \Rightarrow hk + 2h + 4k = 32$ ... $(iii)$
केंद्र $(h, k)$ से स्पर्श रेखा $3x + y - 5 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{10}$ के बराबर है:
$\frac{|3h + k - 5|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \sqrt{10} \Rightarrow |3h + k - 5| = 10$।
मान लीजिए $3h + k - 5 = 10$,तो $3h + k = 15 \Rightarrow k = 15 - 3h$।
$k = 15 - 3h$ को $(iii)$ में रखने पर:
$h(15 - 3h) + 2h + 4(15 - 3h) = 32$
$15h - 3h^2 + 2h + 60 - 12h = 32$
$-3h^2 + 5h + 28 = 0 \Rightarrow 3h^2 - 5h - 28 = 0$।
द्विघात समीकरण $(3h + 7)(h - 4) = 0$ को हल करने पर,$h = 4$ या $h = -7/3$ प्राप्त होता है।
यदि $h = 4$ है,तो $k = 15 - 3(4) = 3$।
अतः,$k = 3$।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ है। इसका केंद्र $C(2, 4)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
स्पर्श बिंदु $P(2+\sqrt{3}, 3)$ है।
त्रिज्या $CP$ की प्रवणता $m_{CP} = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ है।
स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_t = \sqrt{3}$ है,जो $\tan 60^{\circ}$ को दर्शाता है।
नया केंद्र $C'(2+2\cos 60^{\circ}, 4+2\sin 60^{\circ}) = (3, 4+\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।
नए वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y-(4+\sqrt{3}))^2 = 2^2$ होगा।
इसे हल करने पर $x^2+y^2-6x-2(4+\sqrt{3})y + (24+8\sqrt{3}) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त के अभिलंब हमेशा उसके केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। दिए गए अभिलंबों $(x-1)(y-2)=0$ से,वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है।
चूँकि $3x+4y=6$ वृत्त की एक स्पर्शरेखा है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र $(1, 2)$ से रेखा $3x+4y-6=0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(1) + 4(2) - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{5} = 1$.
केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = 1$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1^2$,जो सरल होकर $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$ है। केंद्र $C(3, -4)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{25 - k}$ है।
स्पर्श रेखा की केंद्र से दूरी त्रिज्या के बराबर होती है,इसलिए $r = 10$ और $k = -75$ प्राप्त होता है।
बिंदु $Q$,$CP$ को $-1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,जिससे $CQ = r$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $Q$ की पावर $CQ^2 - r^2$ होती है,जो $r^2 - r^2 = 0$ होगी।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ है। केंद्र $(3, -2)$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_1 = \frac{4}{3}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_2 = \frac{\beta + 2}{\alpha - 3}$ है।
$m_1 \times m_2 = -1$ होने के कारण,$3\alpha + 4\beta = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ रेखा $4\alpha - 3\beta + 7 = 0$ पर स्थित है।
समीकरणों को हल करने पर $\alpha = -1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta = -1 + 2(1) = 1$.

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2x-12y-132=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x+1)^2+(y-6)^2 = 169 = 13^2$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(-1, 6)$ और त्रिज्या $r = 13$ है।
रेखा $12x+5y+k=0$ की ढाल $m_1 = -\frac{12}{5}$ है।
इस रेखा के लंबवत स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{5}{12}$ होगी।
स्पर्श रेखा का समीकरण $5x-12y+c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
केंद्र $(-1, 6)$ से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $13$ के बराबर है:
$\frac{|5(-1)-12(6)+c|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}} = 13$
$\frac{|-5-72+c|}{13} = 13$
$|c-77| = 169$
$c-77 = 169 \Rightarrow c = 246$ या $c-77 = -169 \Rightarrow c = -92$.
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $5x-12y+246=0$ और $5x-12y-92=0$ हैं।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + d = 0$ है।
इसका केंद्र $(-g, -f)$ है।
वृत्त का अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
रेखा का दिया गया समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
यदि रेखा अभिलंब है,तो इसे केंद्र $(-g, -f)$ से गुजरना चाहिए।
केंद्र $(-g, -f)$ को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$a(-g) + b(-f) + c = 0$
$-ag - bf + c = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ag + bf - c = 0$

(C) माना स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है। बिंदु $(3, 4)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 4 = m(x - 3)$ है,जिसे $mx - y + (4 - 3m) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ (केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$) की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करते हुए,$3 = \frac{|m(0) - 1(0) + 4 - 3m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$.
$3\sqrt{m^2 + 1} = |4 - 3m|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9(m^2 + 1) = (4 - 3m)^2$.
$9m^2 + 9 = 16 - 24m + 9m^2$.
$9 = 16 - 24m$.
$24m = 7$.
$m = \frac{7}{24}$.

(C) माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{16}\right)$ है।
अतः $\cos(2\theta) = \frac{7}{16}$ है।
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2\theta - 1 = \frac{7}{16}$,जिसका अर्थ है $2\cos^2\theta = \frac{23}{16}$,इसलिए $\cos^2\theta = \frac{23}{32}$ है।
इस प्रकार,$\sin^2\theta = 1 - \frac{23}{32} = \frac{9}{32}$,और $\tan^2\theta = \frac{9/32}{23/32} = \frac{9}{23}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 4x + 4y + c = 0$ के लिए,केंद्र $O(-2, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{8 - c}$ है।
बिंदु $P(2, 2)$ से केंद्र $O(-2, -2)$ तक की दूरी $d = \sqrt{32}$ है।
$\tan^2\theta = \frac{r^2}{d^2 - r^2} = \frac{8 - c}{24 + c}$ है।
$\frac{8 - c}{24 + c} = \frac{9}{23}$ को हल करने पर $c = -1$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-4=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2$ और $f=3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, -3)$ है।
वृत्त पर किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
अतः,अभिलंब वह रेखा है जो $(1, 1)$ और $(2, -3)$ से होकर गुजरती है।
इस रेखा की ढाल $m = \frac{-3-1}{2-1} = \frac{-4}{1} = -4$ है।
रेखा का समीकरण $(y-1) = -4(x-1)$ है।
$y-1 = -4x+4$.
$4x+y = 5$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = r^2$ होता है।
यहाँ $r^2 = 1$ है,इसलिए स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = 1$ है।
हमें दिया गया है कि रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ वृत्त की स्पर्श रेखा है।
इसकी तुलना $x x_1 + y y_1 = 1$ से करने पर,हमें $x_1 = \frac{1}{a}$ और $y_1 = \frac{1}{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x_1, y_1)$ स्पर्श बिंदु है,इसलिए यह वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर स्थित होगा।
अतः,बिंदु $\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right)$ वृत्त पर स्थित है।

(C) वृत्त का समीकरण $S: x^2+y^2+6x+6y-2=0$ है।
बिंदु $Q$,$Y$-अक्ष पर स्थित है और रेखा $5x-2y+6=0$ पर भी स्थित है।
रेखा के समीकरण में $x=0$ रखने पर: $5(0)-2y+6=0$ $\Rightarrow -2y=-6$ $\Rightarrow y=3$।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(0, 3)$ हैं।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1}$ होती है।
वृत्त के समीकरण $S(x, y) = x^2+y^2+6x+6y-2$ में $Q(0, 3)$ रखने पर:
$S_1 = 0^2 + 3^2 + 6(0) + 6(3) - 2 = 0 + 9 + 0 + 18 - 2 = 25$।
इसलिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $PQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{25} = 5$।

(A) केंद्र $C(1, 2)$ और बिंदु $P(16, 7)$ के बीच की दूरी $PC = \sqrt{(16-1)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{250}$ है।
चतुर्भुज $PACB$ का क्षेत्रफल $AP \times r = 75$ है।
माना $AP = x$,तो $x = \frac{75}{r}$।
त्रिभुज $\triangle PAC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^2 + r^2 = PC^2 \Rightarrow (\frac{75}{r})^2 + r^2 = 250$
$r^4 - 250r^2 + 5625 = 0$
$(r^2 - 225)(r^2 - 25) = 0$
अतः $r^2 = 225$ या $r^2 = 25$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$r = 15$ या $r = 5$ है। विकल्प के अनुसार सही उत्तर $5$ है।

(B) चूंकि $(\alpha, \beta)$ रेखा $3x - 4y = 1$ पर स्थित है,इसलिए $3\alpha - 4\beta = 1$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{3\alpha - 1}{4}$।
चूंकि $(\alpha, \beta)$ वृत्त $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ पर भी स्थित है,हम $\beta$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\alpha - 1)^2 + (\frac{3\alpha - 1}{4} + 2)^2 = 4$
$(\alpha - 1)^2 + (\frac{3\alpha + 7}{4})^2 = 4$
$16(\alpha - 1)^2 + (3\alpha + 7)^2 = 64$
$16(\alpha^2 - 2\alpha + 1) + (9\alpha^2 + 42\alpha + 49) = 64$
$16\alpha^2 - 32\alpha + 16 + 9\alpha^2 + 42\alpha + 49 = 64$
$25\alpha^2 + 10\alpha + 1 = 0$
$(5\alpha + 1)^2 = 0$
$\alpha = -\frac{1}{5}$।
$\alpha$ का मान रेखा के समीकरण में रखने पर: $\beta = \frac{3(-\frac{1}{5}) - 1}{4} = \frac{-\frac{3}{5} - 1}{4} = \frac{-\frac{8}{5}}{4} = -\frac{2}{5}$।
अतः,$(\alpha, \beta) = (-\frac{1}{5}, -\frac{2}{5})$।

(A) रेखा $y=mx+1$ के लंबवत रेखा का समीकरण $x+my+k=0$ के रूप में होता है,या $y=-\frac{1}{m}x+c$।
वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के लिए,रेखा $y=m_1x+c$ के स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2=r^2(1+m_1^2)$ है।
यहाँ,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{1}{m}$ और $r=1$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $c^2 = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{m})^2) = 1 + \frac{1}{m^2} = \frac{m^2+1}{m^2}$।
अतः,$c = \pm \frac{\sqrt{m^2+1}}{m}$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{m}x \pm \frac{\sqrt{m^2+1}}{m}$ है।
$m$ से गुणा करने पर,हमें $my = -x \pm \sqrt{m^2+1}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x+my \pm \sqrt{1+m^2}=0$ मिलता है।

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm a\sqrt{1+m^2}$ होता है।
यहाँ,त्रिज्या $a = \sqrt{9} = 3$ है।
मान रखने पर,$y = \sqrt{3}x \pm 3\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}$ प्राप्त होता है।
$y = \sqrt{3}x \pm 3\sqrt{1+3}$
$y = \sqrt{3}x \pm 3(2)$
$y = \sqrt{3}x \pm 6$
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{3}x - y \pm 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदु $(4,0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = m(x - 4)$ अर्थात $mx - y - 4m = 0$ है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r = 2$) की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{|m(0) - (0) - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$ प्राप्त होता है।
$| -4m | = 2\sqrt{m^2 + 1}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16m^2 = 4(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 4m^2 = m^2 + 1$ $\Rightarrow 3m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 4)$ है।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+4x+8y-38=0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x+2)^2+(y+4)^2=58$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-2,-4)$ है।
माना $Q(x_1, y_1)$ बिंदु $P(-9,-1)$ से गुजरने वाले व्यास का दूसरा सिरा है।
चूंकि $C$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{x_1-9}{2}=-2 \Rightarrow x_1=5$ और $\frac{y_1-1}{2}=-4 \Rightarrow y_1=-7$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q$ बिंदु $(5,-7)$ है।
$Q$ पर स्पर्श रेखा $P$ पर स्पर्श रेखा के समानांतर होती है।
त्रिज्या $CP$ की ढाल $m_{CP} = \frac{-1-(-4)}{-9-(-2)} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7}$ है।
$P$ (और $Q$) पर स्पर्श रेखा की ढाल त्रिज्या की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,अर्थात $m = -\frac{1}{-3/7} = \frac{7}{3}$।
$Q(5,-7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (-7) = \frac{7}{3}(x - 5)$ है।
$3(y+7) = 7(x-5)$ $\Rightarrow 3y+21 = 7x-35$ $\Rightarrow 7x-3y=56$।

(B) दिया गया वृत्त का समीकरण $5x^2 + 5y^2 = 1$ है।
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 = \frac{1}{5} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(0, 0)$ है और त्रिज्या $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
दी गई रेखा $3x + 4y = 1$ है,जिसका ढाल $m = -\frac{3}{4}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$ होता है।
$m = -\frac{3}{4}$ और $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ रखने पर:
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{1 + \frac{9}{16}}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{\frac{25}{16}}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{4}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$
$4$ से गुणा करने पर:
$4y = -3x \pm \sqrt{5}$
$3x + 4y = \pm \sqrt{5}$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - x - 3y - 4 = 0$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2x + 2yy' - 1 - 3y' = 0$
$y'(2y - 3) = 1 - 2x$
$y' = \frac{1 - 2x}{2y - 3}$
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T$ है:
$m_T = \frac{1 - 2(1)}{2(1) - 3} = \frac{-1}{-1} = 1$।
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{1} = -1$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
$y - 1 = -1(x - 1)$
$y - 1 = -x + 1$
$x + y - 2 = 0$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 10$ है,इसलिए इसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है।
चूंकि रेखा $3x + y + k = 0$ वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
केंद्र $(0, 0)$ से $3x + y + k = 0$ की लंबवत दूरी $\left| \frac{3(0) + 1(0) + k}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right|$ है।
इसे त्रिज्या के बराबर रखने पर: $\left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right| = \sqrt{10}$।
$\Rightarrow |k| = \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10$।
अतः,$k = \pm 10$।

(C) माना बिंदु $(4, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - (-2) = m(x - 4)$ है,जिसे $mx - y - (4m + 2) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 10$ की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{10} = \frac{|m(0) - 1(0) - (4m + 2)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$।
$\sqrt{10} = \frac{|4m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $10(m^2 + 1) = (4m + 2)^2$।
$10m^2 + 10 = 16m^2 + 16m + 4$।
$6m^2 + 16m - 6 = 0$,जिसे सरल करने पर $3m^2 + 8m - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$(3m - 1)(m + 3) = 0$,अतः $m = \frac{1}{3}$ या $m = -3$।
$m = \frac{1}{3}$ के लिए,रेखा $y + 2 = \frac{1}{3}(x - 4) \implies 3y + 6 = x - 4 \implies x - 3y = 10$ है।
$m = -3$ के लिए,रेखा $y + 2 = -3(x - 4) \implies y + 2 = -3x + 12 \implies 3x + y = 10$ है।
अतः,समीकरण $3x + y = 10$ और $x - 3y = 10$ हैं।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=16$ है,जिसका केंद्र $C(0,0)$ है।
वृत्त का कोई भी अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
इसलिए,बिंदु $P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ पर अभिलंब वह रेखा है जो $C(0,0)$ और $P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ से गुजरती है।
रेखा $CP$ की ढाल $m = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - 0}{\frac{1}{\sqrt{3}} - 0} = 1$ है।
$(0,0)$ से गुजरने वाली और $m=1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = 1(x - 0)$ है,जो $x - y = 0$ के रूप में सरल होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दो समांतर रेखाओं $y=mx+k_1$ और $y=mx+k_2$ के बीच की दूरी $d = \frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{1+m^2}}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि ये रेखाएँ $r=2$ त्रिज्या वाले वृत्त की समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए उनके बीच की दूरी वृत्त के व्यास के बराबर यानी $2r = 2 \times 2 = 4$ होनी चाहिए।
यहाँ,$m = \sqrt{3}$,इसलिए $m^2 = 3$ है।
इन मानों को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$\frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{1+3}} = 4$
$\frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{4}} = 4$
$\frac{|k_1-k_2|}{2} = 4$
$|k_1-k_2| = 8$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) मूलबिंदु $(0, 0)$ और बिंदु $(4, -4)$ को जोड़ने वाली रेखा का मध्य-बिंदु $P = (\frac{0+4}{2}, \frac{0-4}{2}) = (2, -2)$ है।
वृत्त का समीकरण $2x^2 + 2y^2 - y = 0$ है। $2$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ होती है।
$x_1 = 2, y_1 = -2, g = 0, f = -\frac{1}{4}, c = 0$ रखने पर:
लंबाई $= \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 - \frac{1}{2}(-2)} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \text{ इकाई।}$

(C) माना बिंदु $P = (6, 8)$ है और वृत्त का समीकरण $S: x^2 + y^2 - 4 = 0$ है।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - 4}$ द्वारा दी जाती है।
निर्देशांक $(6, 8)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{लंबाई} = \sqrt{6^2 + 8^2 - 4} = \sqrt{36 + 64 - 4} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96}$.
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4 \sqrt{6}$ को सरल करने पर।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2+y^2=r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1+yy_1=r^2$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2=25$ के लिए,$r^2=25$ है।
स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1) = (-3, 4)$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(-3) + y(4) = 25$
$-3x + 4y = 25$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x - 4y + 25 = 0$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y=0$ है।
सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-1$ और $f=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (1, -2)$ है।
माना $A(3, -1)$ व्यास का एक सिरा है और $B(x_1, y_1)$ दूसरा सिरा है।
चूंकि केंद्र $C$ व्यास $AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $(1, -2) = (\frac{3+x_1}{2}, \frac{-1+y_1}{2})$।
$B$ के लिए हल करने पर,$x_1=-1$ और $y_1=-3$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यास का दूसरा सिरा $B(-1, -3)$ है।
$B(-1, -3)$ पर स्पर्श रेखा त्रिज्या $CB$ के लंबवत होती है।
त्रिज्या $CB$ की ढाल $m_{CB} = \frac{-3-(-2)}{-1-1} = \frac{1}{2}$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = -2$ होगी।
$B(-1, -3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y+3 = -2(x+1)$ अर्थात $2x+y+5=0$ प्राप्त होता है।

(C) $(1,1)$ पर रेखा का समीकरण $x+y-2=0$ है। इस रेखा की ढाल $-1$ है।
चूंकि अभिलंब स्पर्श रेखा के लंबवत होता है,इसलिए अभिलंब की ढाल $1$ है।
अतः,$\tan \theta = 1$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। केंद्र के निर्देशांक $h = 1 \pm r \cos \theta$ और $k = 1 \pm r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
$r = \sqrt{2}$ और $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिए जाने पर:
$h = 1 \pm \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} = 1 \pm 1 = 2, 0$.
$k = 1 \pm \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} = 1 \pm 1 = 2, 0$.
अतः,संभावित केंद्र $(2, 2)$ या $(0, 0)$ हैं।
वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 = 2$ या $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$ हैं।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2 = 0$ के लिए,$(1, 2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{1^2 + 2^2 - 2} = \sqrt{3}$ है।
वृत्त $(x-2)^2 + (y-2)^2 - 2 = 0$ के लिए,$(1, 2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 - 2} = \sqrt{-1}$ प्राप्त होती है,जो संभव नहीं है।
अतः,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{3}$ है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-2x-2y-3=0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$ और $f=-1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $O(-g, -f) = (1, 1)$ है।
चूंकि वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए रेखाखंड $PQ$ वृत्त का व्यास है।
अतः,केंद्र $O(1, 1)$ व्यास $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
मान लीजिए $Q$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{-1+x}{2} = 1 \implies -1+x = 2 \implies x = 3$
$\frac{2+y}{2} = 1 \implies 2+y = 2 \implies y = 0$
इस प्रकार,$Q$ के निर्देशांक $(3, 0)$ हैं।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+6x+4y-3=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=3$ और $f=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-3, -2)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
अभिलंब केंद्र $(-3, -2)$ और बिंदु $(1, -2)$ से गुजरने वाली एक रेखा है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान $(-2)$ हैं,इसलिए यह रेखा $y = -2$ है।
अतः,अभिलंब का समीकरण $y+2=0$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y+12=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y+2)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $O(3,-2)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
बिंदु $A(2,3)$ से केंद्र $O(3,-2)$ की दूरी $d = \sqrt{(3-2)^2+(-2-3)^2} = \sqrt{26}$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का आधा कोण $\alpha$ है। समकोण त्रिभुज $AOP$ में,$\sin(\alpha) = \frac{r}{d} = \frac{1}{\sqrt{26}}$.
अतः $\cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{26}}$ और $\tan(\alpha) = \frac{1}{5}$.
स्पर्श रेखाओं के बीच का कुल कोण $\theta = 2\alpha$ है।
$\tan(\theta) = \frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)} = \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} = \frac{5}{12}$.
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.

(A) वृत्त की परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बिंदुपथ को निर्देशक वृत्त (director circle) कहा जाता है।
वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के लिए,निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2a^2$ है।
चूंकि बिंदु $(10,4)$ निर्देशक वृत्त पर स्थित है,इसलिए हमारे पास है:
$10^2+4^2 = 2a^2$
$100+16 = 2a^2$
$116 = 2a^2$
$a^2 = 58$
$a = \sqrt{58}$

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $S = x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ और बिंदु $(1, 1)$ है।
$S_1 = 1^2 + 1^2 + 2(1) + 2(1) + 1 = 7$.
$T = x(1) + y(1) + (x + 1) + (y + 1) + 1 = 2x + 2y + 3$.
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$7(x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1) = (2x + 2y + 3)^2$.
$7x^2 + 7y^2 + 14x + 14y + 7 = 4x^2 + 4y^2 + 9 + 8xy + 12x + 12y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 - 8xy + 3y^2 + 2x + 2y - 2 = 0$.

(C) वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2-4x-8y+4=0$ है। केंद्र $(2, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+4^2-4} = \sqrt{16} = 4$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से केंद्र $(2,4)$ तक की दूरी $d = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ है। अतः,मूल बिंदु और केंद्र को जोड़ने वाली रेखा और एक स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\alpha/2$ है।
समकोण त्रिभुज में,$\sin(\alpha/2) = r/d = 4/(2\sqrt{5}) = 2/\sqrt{5}$।
अतः,$\cos(\alpha/2) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha/2)} = \sqrt{1 - 4/5} = 1/\sqrt{5}$।
इस प्रकार,$\tan(\alpha/2) = \sin(\alpha/2) / \cos(\alpha/2) = (2/\sqrt{5}) / (1/\sqrt{5}) = 2$।
सूत्र $\tan \alpha = \frac{2 \tan(\alpha/2)}{1 - \tan^2(\alpha/2)}$ का उपयोग करने पर,$\tan \alpha = \frac{2(2)}{1 - 2^2} = \frac{4}{-3} = -4/3$।
चूंकि $\alpha$ एक न्यून कोण है,हम इसका परिमाण लेते हैं,इसलिए $\tan \alpha = 4/3$।

(A) वृत्त का समीकरण $(x+\lambda)^2+(y+1)^2=\lambda^2$ है।
यहाँ,केंद्र $C$ $(-\lambda, -1)$ है और त्रिज्या $r$ $|\lambda|$ है।
मान लीजिए $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है और $P$ $O$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए कोण $\angle COP = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = 45^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OCP$ में,$\tan(\angle COP) = \frac{CP}{OP} = \frac{r}{OP}$ है।
चूंकि $\angle COP = 45^{\circ}$ है,$\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $OP = CP = |\lambda|$ है।
साथ ही,दूरी $OC = \sqrt{(-\lambda-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{\lambda^2+1}$ है।
$\triangle OCP$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OC^2 = OP^2 + CP^2$ है।
मान रखने पर,$(\sqrt{\lambda^2+1})^2 = |\lambda|^2 + |\lambda|^2$ प्राप्त होता है।
$\lambda^2 + 1 = 2\lambda^2$ है।
अतः,$\lambda^2 = 1$ है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2+y^2=50$ और रेखा $x+7=0$ है।
$x = -7$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-7)^2 + y^2 = 50$
$49 + y^2 = 50$
$y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P_1(-7, 1)$ और $P_2(-7, -1)$ हैं।
वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
बिंदु $(-7, 1)$ के लिए: $-7x + y = 50 \Rightarrow 7x - y + 50 = 0$.
बिंदु $(-7, -1)$ के लिए: $-7x - y = 50 \Rightarrow 7x + y + 50 = 0$.
इसलिए,अभीष्ट समीकरण $7x+y+50=0$ और $7x-y+50=0$ हैं।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+4x+4y-1=0$ है।
वृत्त का केंद्र $O(-2, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{4+4-(-1)} = 3$ है।
बिंदु $C(1, 1)$ से केंद्र $O$ तक की दूरी $OC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAC$ में,$\sin \alpha = \frac{OA}{OC} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
स्पर्श रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-14x+2y+25=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x^2-14x+49) + (y^2+2y+1) - 49 - 1 + 25 = 0$,जो $(x-7)^2 + (y+1)^2 = 25 = 5^2$ में सरल होता है।
अतः,त्रिज्या $r = 5$ और केंद्र $P = (7, -1)$ है।
मूलबिंदु $O(0,0)$ से केंद्र $P(7,-1)$ के बीच की दूरी $OP = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
मान लीजिए कि मूलबिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएं वृत्त को $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,$\sin \theta = \frac{AP}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$\theta = 45^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\triangle OBP$ के लिए,$\sin \alpha = \frac{BP}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,अतः $\alpha = 45^{\circ}$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कुल कोण $\theta + \alpha = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{(-1)^2+2^2-(-11)} = 4$ है।
बिंदु $(1,3)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_T = \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11} = 3$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\theta$ है।
$\tan\theta = \frac{r}{L_T} = \frac{4}{3}$ है।
$\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{2(4/3)}{1+(4/3)^2} = \frac{24}{25}$ है।
अतः,$2\theta = \sin^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)$।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ ... $(i)$ है।
केंद्र $A$ $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2+2^2+20} = \sqrt{25} = 5$ है।
बिंदु $B(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(1) + y(7) - (x+1) - 2(y+7) - 20 = 0$ है,जो $5y = 35$ या $y = 7$ ... $(ii)$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $D(4, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(4) + y(-2) - (x+4) - 2(y-2) - 20 = 0$ है,जो $3x - 4y = 20$ ... $(iii)$ में सरल हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $C$ के लिए $(ii)$ और $(iii)$ को हल करने पर: $y=7$ को $(iii)$ में रखने पर,$3x - 4(7) = 20$ $\Rightarrow 3x = 48$ $\Rightarrow x = 16$। अतः,$C = (16, 7)$।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $2 \times \text{Area}(\triangle ABC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times r \times L)$ है,जहाँ $L$ बिंदु $C$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई है।
$L = \sqrt{S_1} = \sqrt{16^2 + 7^2 - 2(16) - 4(7) - 20} = \sqrt{256 + 49 - 32 - 28 - 20} = \sqrt{225} = 15$।
क्षेत्रफल $= r \times L = 5 \times 15 = 75$ वर्ग इकाइयाँ।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-1$,$f=-2$,और $c=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2-0} = \sqrt{5}$ है।
बिंदु $P(4,3)$ से केंद्र $C(1,2)$ की दूरी $d = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2} = \sqrt{10}$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\alpha = \frac{\theta}{2}$ है।
त्रिभुज के गुणधर्म से,$\sin(\alpha) = \frac{r}{d} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2+4x-6y+4=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=2, f=-3, c=4$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O = (-g, -f) = (-2, 3)$।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9-4} = \sqrt{9} = 3$।
मूल बिंदु $P(0,0)$ से केंद्र $O(-2,3)$ की दूरी $d = \sqrt{(-2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ है।
माना $\alpha$ स्पर्श रेखा और मूल बिंदु को केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
त्रिभुज के गुणधर्म से,$\sin \alpha = \frac{r}{d} = \frac{3}{\sqrt{13}}$।
तब $\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \sqrt{1-\frac{9}{13}} = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$।
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/\sqrt{13}}{2/\sqrt{13}} = \frac{3}{2}$।
दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\alpha = 2 \tan^{-1} \left(\frac{3}{2}\right)$ है।

(C) वृत्त $C_1: x^2+y^2-4x+12y-216=0$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(2, -6)$ है और त्रिज्या $r_1 = 16$ है।
वृत्त $C_2: x^2+y^2+6x-12y+36=0$ के लिए,केंद्र $C_2$ $(-3, 6)$ है और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 13$ है।
चूंकि $r_1 - r_2 = d$,वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की ढाल केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल के लंबवत होती है।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_{C_1C_2} = -\frac{12}{5}$ है।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{5}{12}$ है।

(D) माना $S_1: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ है। केंद्र $C_1 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
माना $S_2: x^2+y^2-2x+2y+1=0$ है। केंद्र $C_2 = (1, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं जो केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $2:1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक $(3, -3)$ प्राप्त होते हैं।
$P(3, -3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $mx - y - 3m - 3 = 0$ है।
केंद्र $C_2(1, -1)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r_2=1$ के बराबर होनी चाहिए।
$\left| \frac{-2m - 2}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = 1 \Rightarrow 3m^2 + 8m + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{3}{3} = 1$ है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $(x-2) \cos \theta + (y-2) \sin \theta = 1$ है।
यह रेखा सभी $\theta$ के मानों के लिए वृत्त की स्पर्श रेखा है।
वृत्त के केंद्र $(h, k)$ से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
रेखा को $(x-2) \cos \theta + (y-2) \sin \theta - 1 = 0$ के रूप में लिखने पर,$(h, k)$ से दूरी $\frac{|(h-2) \cos \theta + (k-2) \sin \theta - 1|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = r$ होगी।
चूंकि यह सभी $\theta$ के लिए सत्य है,इसलिए $h-2 = 0$ और $k-2 = 0$ होना चाहिए,जिससे केंद्र $(2, 2)$ प्राप्त होता है।
तब,दूरी $|-1| = r$ हो जाती है,इसलिए $r = 1$।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 1^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0$।