Tangent and normal to a circle Questions in Gujarati

(A) આપેલ વક્ર $x^2 + y - 7 = 4x$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 10)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રૂપાંતરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $x^2 \to x x_1$,$y \to \frac{y + y_1}{2}$ અને $x \to \frac{x + x_1}{2}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$x(1) + \frac{y + 10}{2} - 7 = 4 \left( \frac{x + 1}{2} \right)$
$x + \frac{y + 10}{2} - 7 = 2(x + 1)$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$2x + y + 10 - 14 = 4x + 4$
$2x + y - 4 = 4x + 4$
$y = 4x - 2x + 4 + 4$
$y = 2x + 8$

(A) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $2y^2 = x + 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$4y \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{1}{4y}$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -4y$ છે.
હવે,આપણે દરેક આપેલ બિંદુ પર અભિલંબનો ઢાળ શોધીએ:
$A. (7, 2): m_n = -4(2) = -8$ ($2$ સાથે મેળ ખાય છે).
$B. (0, 1/\sqrt{2}): m_n = -4(1/\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$ ($5$ સાથે મેળ ખાય છે).
$C. (1, -1): m_n = -4(-1) = 4$ ($3$ સાથે મેળ ખાય છે).
$D. (3, \sqrt{2}): m_n = -4(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$ ($1$ સાથે મેળ ખાય છે).
આમ,સાચી જોડ $A-2, B-5, C-3, D-1$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $x^2+y^2=16a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2x + 2yy' = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y' = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{2\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}a} = -1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2\sqrt{2}a = -1(x - 2\sqrt{2}a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 4\sqrt{2}a$ થાય છે.
સ્પર્શકનો $X$-અંતઃખંડ $y=0$ મૂકતા $x = 4\sqrt{2}a$ મળે છે. ધારો કે આ બિંદુ $B(4\sqrt{2}a, 0)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2\sqrt{2}a = 1(x - 2\sqrt{2}a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય છે.
અભિલંબ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ અને બિંદુ $A(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિકોણ બિંદુઓ $O(0,0)$,$A(2\sqrt{2}a, 2\sqrt{2}a)$ અને $B(4\sqrt{2}a, 0)$ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(2\sqrt{2}a-0) + 2\sqrt{2}a(0-0) + 4\sqrt{2}a(0-2\sqrt{2}a)| = \frac{1}{2} |4\sqrt{2}a(-2\sqrt{2}a)| = \frac{1}{2} |-16a^2| = 8a^2$.

(B) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x=2 \sin t$ અને $y=2 \cos t$.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$x^2+y^2=4 \sin^2 t + 4 \cos^2 t = 4$.
આ $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = -\frac{x}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{y}{x}$ થાય.
$t = \frac{\pi}{2}$ આગળ,બિંદુ $x = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ અને $y = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ છે.
આ બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ $m_N = \frac{0}{2} = 0$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_N(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 0 = 0(x - 2)$,જેનું સાદું રૂપ $y = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = a(1 + \cos \theta)$ અને $y = a \sin \theta$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$ અને $\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
બિંદુ $\theta$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{\cot \theta} = \tan \theta$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$.
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$.
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$.
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$.
$y \cos \theta = (x - a) \sin \theta$.
જો આપણે બિંદુ $(a, 0)$ ચકાસીએ,તો સમીકરણમાં $x = a$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 \cdot \cos \theta = (a - a) \sin \theta \Rightarrow 0 = 0$.
આ સમીકરણ તમામ $\theta$ માટે સાચું હોવાથી,અભિલંબ હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=4$ અને $y^2=3x$ છે. પ્રથમ સમીકરણમાં $y^2=3x$ મૂકતા:
$x^2+3x-4=0$
$(x+4)(x-1)=0$
$y^2=3x$ માટે $x$ અઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $x=1$.
$x=1$ માટે,$y^2=3$,તેથી $y=\sqrt{3}$ (પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ ધ્યાનમાં લેતા).
હવે,બંને વક્રોનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^2+y^2=4$ માટે,$2x+2y\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. બિંદુ $(1, \sqrt{3})$ પર,$m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$y^2=3x$ માટે,$2y\frac{dy}{dx}=3 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2y}$. બિંદુ $(1, \sqrt{3})$ પર,$m_2 = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left|\frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + (-\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{\sqrt{3}}{2})}\right| = \left|\frac{-\frac{2+3}{2\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{5}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}}\right| = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $OA = 2$ અને કેન્દ્ર $O$ એ $(0,0)$ છે.
$MA$ સ્પર્શક હોવાથી,$\angle OAM = 90^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAM$ માં,કર્ણ $OM = 4$ અને બાજુ $OA = 2$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$MA = \sqrt{OM^{2} - OA^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
ચતુષ્કોણ $MAOB$ એ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણો,$\triangle OAM$ અને $\triangle OBM$ નો બનેલો છે.
તેથી,ચતુષ્કોણ $MAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle OAM)$.
Area $(\triangle OAM) = \frac{1}{2} \times OA \times MA = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
આમ,ચતુષ્કોણ $MAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ છે,$y=[|\sin x|+|\cos x|]$ અને $x^{2}+y^{2}=10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(|\sin x|+|\cos x|) \in [1, \sqrt{2}]$.
અહીં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,$y = 1$ થાય.
આપેલ વક્રોના છેદબિંદુ માટે $y=1$ ને $x^{2}+y^{2}=10$ માં મૂકતા:
$x^{2}+1^{2}=10$ $\Rightarrow x^{2}=9$ $\Rightarrow x=\pm 3$.
છેદબિંદુઓ $(3, 1)$ અને $(-3, 1)$ છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=10$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(-3, 1)$ આગળ,ઢાળ $m_{1} = -(-3)/1 = 3$.
રેખા $y=1$ એ સમક્ષિતિજ રેખા છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_{2} = 0$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{3-0}{1+3(0)}| = 3$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 9$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
$3x + 4y = 0$ ને સમાંતર કોઈપણ રેખા $3x + 4y = k$ સ્વરૂપની હોય.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $3x + 4y - k = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
બિંદુથી રેખાના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|3(0) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 3$.
$\frac{|-k|}{\sqrt{9 + 16}} = 3$ $\Rightarrow \frac{|k|}{5} = 3$ $\Rightarrow |k| = 15$.
તેથી,$k = 15$ અથવા $k = -15$.
રેખાઓ $3x + 4y = 15$ અને $3x + 4y = -15$ છે.
રેખા પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળને સ્પર્શે તે માટે,અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{5} + \frac{y}{3.75} = 1$ ($k=15$ માટે) દર્શાવે છે કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે.
આમ,જરૂરી સમીકરણ $3x + 4y = 15$ છે.

(C) ધારો કે બીજા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx$ છે,જેને $mx - y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2, -1)$ છે. ત્રિજ્યા $r$ એ $C$ થી સ્પર્શક $3x + y = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(2) + 1(-1)|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$.
બીજો સ્પર્શક $mx - y = 0$ પણ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી $C(2, -1)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર પણ $r$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(2) - 1(-1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$
$\frac{|2m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(2m + 1)^2}{m^2 + 1} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
$2(4m^2 + 4m + 1) = 5(m^2 + 1)$
$8m^2 + 8m + 2 = 5m^2 + 5$
$3m^2 + 8m - 3 = 0$
$(3m - 1)(m + 3) = 0$
તેથી,$m = \frac{1}{3}$ અથવા $m = -3$.
આપેલ સ્પર્શક $3x + y = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m = -3$ છે.
તેથી,બીજા સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{1}{3}$ છે.
સમીકરણ $y = \frac{1}{3}x$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 3y = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2x-4y-20=0$ છે.
કેન્દ્ર $A(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$B(1, 7)$ આગળનો સ્પર્શક $y=7$ છે.
$D(4, -2)$ આગળનો સ્પર્શક $3x-4y-20=0$ છે.
બંને સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $C(16, 7)$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\Delta ABC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 15 \times 5) = 75 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-5=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$ અને $f=2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $(-g, -f) = (1, -2)$ છે.
વર્તુળના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,અભિલંબ એ કેન્દ્ર $C(1, -2)$ અને આપેલ બિંદુ $A(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
$(1, -2)$ અને $(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{1 - (-2)}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$ છે.
બિંદુ $(2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m=3$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - 1) = 3(x - 2)$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$y - 1 = 3x - 6$,એટલે કે $y = 3x - 5$ મળે છે.