System of circles Questions in Hindi

(B) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2=3$ और $C_2: x^2+y^2-2x+4y+4=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3}$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{1^2+(-2)^2-4} = \sqrt{1+4-4} = 1$ है।
बाह्य समानता केंद्र केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
माना बाह्य केंद्र $(\alpha, \beta) = \left( \frac{r_1 x_2 - r_2 x_1}{r_1 - r_2}, \frac{r_1 y_2 - r_2 y_1}{r_1 - r_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $\alpha = \frac{\sqrt{3}(1) - 1(0)}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ और $\beta = \frac{\sqrt{3}(-2) - 1(0)}{\sqrt{3}-1} = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$।
अतः,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \div \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = -2$।

(C) प्रथम वृत्त $S_1: x^2+y^2-8x-8y+28=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (4, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{4^2+4^2-28} = 2$ है।
दूसरे वृत्त $S_2: x^2+y^2-8x-6y+25-\alpha^2=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4^2+3^2-(25-\alpha^2)} = |\alpha|$ है।
दो वृत्तों की केवल एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा तब होती है जब वे एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = \sqrt{(4-4)^2 + (4-3)^2} = 1$ है।
आंतरिक स्पर्श के लिए,$|r_1 - r_2| = C_1 C_2 \Rightarrow |2 - |\alpha|| = 1$।
इससे $|\alpha| = 1$ या $|\alpha| = 3$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\alpha = 1$ सही उत्तर है।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2-2x+4y+c=0$ ...$(i)$
$x^2+y^2+2x-4y+c=0$ ...(ii)
वृत्त $(i)$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5-c}$ है।
वृत्त (ii) के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{5-c}$ है।
दो वृत्तों की चार उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ तब होती हैं जब वे अलग-अलग हों,जिसका अर्थ है कि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग से अधिक होनी चाहिए: $d(C_1, C_2) > r_1 + r_2$।
केंद्रों $C_1(1, -2)$ और $C_2(-1, 2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
अतः,$2\sqrt{5} > 2\sqrt{5-c}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$5 > 5-c$,जिसका अर्थ है $c > 0$।
साथ ही,त्रिज्या को परिभाषित करने के लिए,$5-c > 0$,इसलिए $c < 5$।
इस प्रकार,$0 < c < 5$।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ है।
मानक रूप में लिखने पर: $(x-1)^2+(y-2)^2=25$।
केंद्र $C_1(1,2)$ और त्रिज्या $r_1=5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2(h,k)$ और त्रिज्या $r_2=5$ है।
चूंकि वृत्त $P(5,5)$ पर स्पर्श करते हैं,बिंदु $P$ रेखाखंड $C_1C_2$ पर स्थित है।
$r_1=r_2=5$ होने के कारण,$P$,$C_1C_2$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1+h}{2}=5 \Rightarrow h=9$ और $\frac{2+k}{2}=5 \Rightarrow k=8$।
अतः,केंद्र $C_2(9,8)$ है।
दूसरे वृत्त का समीकरण $(x-9)^2+(y-8)^2=5^2$ होगा।
विस्तार करने पर: $x^2-18x+81+y^2-16y+64=25$।
सरल करने पर: $x^2+y^2-18x-16y+120=0$।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2+4x-6y-12=0$
$S_2: x^2+y^2-8x+10y+5=0$
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = 5$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, -5)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4^2 + (-5)^2 - 5} = 6$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी:
$C_1C_2 = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10$ है।
यहाँ,$|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ अर्थात $1 < 10 < 11$ है।
अतः,दोनों वृत्त एक-दूसरे को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
इसलिए,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) रेखा $x-2=0$ और वृत्त $x^2+y^2-8x-2y+8=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार है:
$(x^2+y^2-8x-2y+8) + \lambda(x-2) = 0$
$x^2+y^2+(\lambda-8)x-2y+(8-2\lambda) = 0$ ... $(i)$
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda-8}{2}, 1)$ है।
न्यूनतम त्रिज्या के लिए,जीवा $AB$ को वृत्त का व्यास होना चाहिए। इसका अर्थ है कि वृत्त का केंद्र रेखा $x-2=0$ पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र के x-निर्देशांक को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$-\frac{\lambda-8}{2} = 2$
$-\lambda+8 = 4$
$\lambda = 4$
$\lambda=4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x^2+y^2+(4-8)x-2y+(8-2(4)) = 0$
$x^2+y^2-4x-2y=0$

(D) वृत्त $S: x^2+y^2-a^2=0$ और रेखा $L: x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $S+\lambda L=0$ द्वारा दिया जाता है,जो $x^2+y^2-a^2+\lambda(x \cos \alpha+y \sin \alpha-p)=0$ है।
इसे $x^2+\lambda x \cos \alpha+y^2+\lambda y \sin \alpha-(a^2+\lambda p)=0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ है।
एक वृत्त और एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाला सबसे छोटा वृत्त वह होता है जिसका प्रतिच्छेदन जीवा व्यास के रूप में होता है।
रेखा $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ प्रतिच्छेदन जीवा है।
वृत्त का केंद्र इस रेखा पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha = p$.
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$.
$-\frac{\lambda}{2} = p$.
$\lambda = -2p$.

(D) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + kS_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2-2x+2y-2) + k(x^2+y^2+2x-2y+1) = 0$
$(1+k)x^2 + (1+k)y^2 + (2k-2)x + (2-2k)y + (k-2) = 0$
$(1+k)$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $x^2 + y^2 + \frac{2(k-1)}{k+1}x + \frac{2(1-k)}{k+1}y + \frac{k-2}{k+1} = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{k-1}{k+1}, -\frac{1-k}{k+1}\right) = \left(\frac{1-k}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $x-y+6=0$ पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1-k}{k+1} - \frac{k-1}{k+1} + 6 = 0$
$\frac{1-k-k+1}{k+1} = -6 \Rightarrow 2-2k = -6k-6$
$4k = -8 \Rightarrow k = -2$.
$k=-2$ रखने पर: $x^2+y^2+6x-6y+4=0$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+(-3)^2-4} = \sqrt{14}$.

(C) $S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 - 2x + y^2 - 4y - 4 + \lambda(x^2 + 2x + y^2 + 4y - 4) = 0$.
$(1 + \lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 + 2(\lambda - 1)x + 4(\lambda - 1)y - 4(1 + \lambda) = 0$.
$(1 + \lambda)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 + \frac{2(\lambda - 1)}{1 + \lambda}x + \frac{4(\lambda - 1)}{1 + \lambda}y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(3, 3)$ से गुजरता है,$x = 3, y = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$9 + 9 + \frac{6(\lambda - 1)}{1 + \lambda} + \frac{12(\lambda - 1)}{1 + \lambda} - 4 = 0$.
$14 + \frac{18(\lambda - 1)}{1 + \lambda} = 0 \Rightarrow 14(1 + \lambda) + 18(\lambda - 1) = 0$.
$14 + 14\lambda + 18\lambda - 18 = 0$ $\Rightarrow 32\lambda = 4$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{8}$.
अब,$\alpha = \frac{2(\frac{1}{8} - 1)}{1 + \frac{1}{8}} = -\frac{14}{9}$.
$\beta = \frac{4(\frac{1}{8} - 1)}{1 + \frac{1}{8}} = -\frac{28}{9}$.
$\gamma = -4$.
$3(\alpha + \beta + \gamma) = 3(-\frac{14}{9} - \frac{28}{9} - 4) = -26$.

(A) $S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda(S_2 - S_1) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_1: x^2+y^2+kx-ky+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-kx+ky-2=0$।
$S_2 - S_1 = -2kx + 2ky - 3 = 0$।
अतः,समीकरण $x^2+y^2+kx-ky+1 + \lambda(-2kx+2ky-3) = 0$ है।
$x^2+y^2 + k(1-2\lambda)x - k(1-2\lambda)y + (1-3\lambda) = 0$।
इसकी तुलना दिए गए वृत्त $S: x^2+y^2-4x+4y-\frac{7}{2} = 0$ से करने पर:
$k(1-2\lambda) = -4$ और $1-3\lambda = -\frac{7}{2}$।
$1-3\lambda = -\frac{7}{2}$ से,हमें $3\lambda = \frac{9}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{3}{2}$ को $k(1-2\lambda) = -4$ में रखने पर:
$k(1-2(\frac{3}{2})) = -4$ $\Rightarrow k(1-3) = -4$ $\Rightarrow -2k = -4$ $\Rightarrow k = 2$।
बिंदु $(k, k) = (2, 2)$ है।
वृत्त $S$ है $x^2+y^2-4x+4y-\frac{7}{2} = 0$। केंद्र $C$ $(2, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+(-2)^2 - (-\frac{7}{2})} = \sqrt{4+4+\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{23}{2}}$ है।
$(2, 2)$ से $S$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(2, 2)} = \sqrt{2^2+2^2-4(2)+4(2)-\frac{7}{2}} = \sqrt{4+4-8+8-\frac{7}{2}} = \sqrt{8-\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।

(B) रेखा $x+y+2=0$ और वृत्त $x^2+y^2+4x-4y-4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x-4y-4+\lambda(x+y+2)=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2+y^2+(4+\lambda)x+(\lambda-4)y+(2\lambda-4)=0$ प्राप्त होता है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$2g = 4+\lambda$,$2f = \lambda-4$,और $c = 2\lambda-4$ मिलता है।
वृत्त $S$ का केंद्र $(-g, -f) = \left(-\frac{4+\lambda}{2}, -\frac{\lambda-4}{2}\right)$ है।
केंद्र $(-g, -f)$ की रेखा $x+y+2=0$ से दूरी $\sqrt{2}$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\left|\frac{-g-f+2}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|-g-f+2| = 2$,अतः $-g-f+2 = 2$ या $-g-f+2 = -2$।
स्थिति $1$: $g+f = 0$। $g$ और $f$ का मान रखने पर,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 0 \Rightarrow \lambda = 0$।
यदि $\lambda=0$ है,तो यह मूल वृत्त ही रहता है,लेकिन प्रश्न में $S$ एक अलग वृत्त है।
स्थिति $2$: $g+f = 4$। $g$ और $f$ का मान रखने पर,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 4 \Rightarrow \lambda = 4$।
$\lambda=4$ के लिए,$g = 4$,$f = 0$,और $c = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$g+f+c = 4+0+4 = 8$।

(A) माना अभीष्ट वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 \dots(1)$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
इस शर्त को वृत्त $(1)$ और दिए गए वृत्तों पर लागू करने पर:
वृत्त $x^2+y^2-2x+3y-7=0$ के लिए: $2g(-1)+2f(3/2)=c-7 \Rightarrow -2g+3f-c=-7 \dots(2)$.
वृत्त $x^2+y^2+5x-5y+9=0$ के लिए: $2g(5/2)+2f(-5/2)=c+9 \Rightarrow 5g-5f-c=9 \dots(3)$.
वृत्त $x^2+y^2+7x-9y+29=0$ के लिए: $2g(7/2)+2f(-9/2)=c+29 \Rightarrow 7g-9f-c=29 \dots(4)$.
समीकरण $(3)$ में से $(2)$ घटाने पर: $(5g-5f-c) - (-2g+3f-c) = 9 - (-7) \Rightarrow 7g-8f=16 \dots(5)$.
समीकरण $(4)$ में से $(3)$ घटाने पर: $(7g-9f-c) - (5g-5f-c) = 29 - 9$ $\Rightarrow 2g-4f=20$ $\Rightarrow g-2f=10$ $\Rightarrow g=2f+10$.
$g$ का मान $(5)$ में रखने पर: $7(2f+10)-8f=16$ $\Rightarrow 14f+70-8f=16$ $\Rightarrow 6f=-54$ $\Rightarrow f=-9$.
अतः $g=2(-9)+10=-8$.
$(2)$ से: $-2(-8)+3(-9)-c=-7$ $\Rightarrow 16-27-c=-7$ $\Rightarrow -11-c=-7$ $\Rightarrow c=-4$.
$g, f, c$ का मान $(1)$ में रखने पर: $x^2+y^2-16x-18y-4=0$.

(C) वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^2+y^2-2x-8-\lambda(2y)=0$ है।
यह $S+\lambda L=0$ के रूप में है,जहाँ $S=x^2+y^2-2x-8=0$ और $L=2y=0$ है।
निश्चित बिंदु $A$ और $B$,वृत्त $S=0$ और रेखा $L=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
$x^2+y^2-2x-8=0$ में $y=0$ रखने पर,हमें $x^2-2x-8=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-4)(x+2)=0$,जिससे $x=4$ और $x=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $A(4, 0)$ और $B(-2, 0)$ हैं।
$A$ और $B$ के बीच की दूरी $|4 - (-2)| = |6| = 6$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) वृत्तों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+4x+6y-12) + \lambda(x^2+y^2-6x-4y-12) = 0$
लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करने पर,हमें $\lambda$ का मान प्राप्त होता है।
अंतिम समीकरण $x^2+y^2+6x+8y-12=0$ है।

(A) दिया गया वृत्त $S: x^2+y^2+y-1=0$ और रेखा $L: x-y+1=0$ है।
$S$ और $L$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S+\lambda L=0$ है।
$(x^2+y^2+y-1)+\lambda(x-y+1)=0$
$x^2+y^2+\lambda x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)=0$.
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda-1}{2})$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,केंद्र को रेखा $x-y+1=0$ पर स्थित होना चाहिए।
$-\frac{\lambda}{2} - (\frac{\lambda-1}{2}) + 1 = 0$.
$-\lambda + 1 + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda=3$ रखने पर:
$(x^2+y^2+y-1)+3(x-y+1)=0$.
$x^2+y^2+3x-2y+2=0$.

(A) वृत्तों की समाक्षीय प्रणाली का समीकरण $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S_1 = x^2+y^2-4x-2y+5$ और $S_2 = x^2+y^2-6x-4y-3$ है।
सबसे पहले,रेडिकल अक्ष ज्ञात करें: $S_1 - S_2 = 2x + 2y + 8 = 0$,जो $x + y + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्तों का परिवार $x^2+y^2-4x-2y+5 + \lambda(x+y+4) = 0$ है।
इन वृत्तों का केंद्र $(-\frac{\lambda-4}{2}, -\frac{\lambda-2}{2})$ है।
बिंदु वृत्त के लिए त्रिज्या $r = 0$ होती है,इसलिए $g^2 + f^2 - c = 0$।
$\lambda = 14$ के लिए,केंद्र $(-5, -6)$ प्राप्त होता है।

(D) सबसे पहले,वृत्तों के समीकरणों को $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप में मानकीकृत करते हैं:
$S \equiv x^2+y^2+4x+7=0$
$S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$
$S^{\prime \prime} \equiv x^2+y^2+y=0$
$S$ और $S^{\prime \prime}$ की रेडिकल अक्ष $S-S^{\prime \prime}=0$ है,जो $4x-y+7=0$ देती है (समीकरण $1$)।
$S^{\prime \prime}$ और $S^{\prime}$ की रेडिकल अक्ष $S^{\prime \prime}-S^{\prime}=0$ है,जो $-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}=0$ या $x+y+3=0$ देती है (समीकरण $2$)।
$4x-y+7=0$ और $x+y+3=0$ को हल करने पर:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $5x+10=0 \implies x=-2$।
$x=-2$ को $x+y+3=0$ में रखने पर: $-2+y+3=0 \implies y=-1$।
अतः,रेडिकल केंद्र $P$ $(-2, -1)$ है।
$P(\alpha, \beta)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{\alpha^2+\beta^2+2g\alpha+2f\beta+c}$ होती है।
$S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$ के लिए,लंबाई $\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+\frac{3}{2}(-2)+\frac{5}{2}(-1)+\frac{9}{2}} = \sqrt{4+1-3-2.5+4.5} = \sqrt{4} = 2$।

(A) प्रथम वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दूसरे वृत्त का समीकरण $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ है,जिसे $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर मूल अक्ष $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ प्राप्त होती है।
यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है।
तीसरा वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ है,जो $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ है। इसका केंद्र $(-1,-1)$ और त्रिज्या $1$ है।
रेखा $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ इस वृत्त को स्पर्श करती है यदि $(-1,-1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ हो।
$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(-2g+\frac{3}{2}-2f+4)^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
मान लें $A = 2g-\frac{3}{2}$ और $B = 2f-4$. तो $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,जिसका अर्थ है $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,इसलिए $2AB=0$.
अतः,$A=0$ या $B=0$.
$2g-\frac{3}{2}=0 \implies g=\frac{3}{4}$ या $2f-4=0 \implies f=2$.

(C) दिए गए दो वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2+4x-5=0 \Rightarrow (x+2)^2+y^2=3^2$
$x^2+y^2-6y+8=0 \Rightarrow x^2+(y-3)^2=1$
अतः,$C_1=(-2, 0), r_1=3$ और $C_2=(0, 3), r_2=1$.
आंतरिक समानता केंद्र $\left(\frac{r_2x_1+r_1x_2}{r_1+r_2}, \frac{r_2y_1+r_1y_2}{r_1+r_2}\right)$ द्वारा दिया जाता है:
$(a, b) = \left(\frac{1(-2)+3(0)}{3+1}, \frac{1(0)+3(3)}{3+1}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$.
बाह्य समानता केंद्र $\left(\frac{r_1x_2-r_2x_1}{r_1-r_2}, \frac{r_1y_2-r_2y_1}{r_1-r_2}\right)$ द्वारा दिया जाता है:
$(c, d) = \left(\frac{3(0)-1(-2)}{3-1}, \frac{3(3)-1(0)}{3-1}\right) = \left(1, \frac{9}{2}\right)$.
अब,$(a+d)(b+c) = \left(-\frac{1}{2} + \frac{9}{2}\right) \left(\frac{9}{4} + 1\right) = 4 \times \frac{13}{4} = 13$.

(C) मान लीजिए वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$
$S_2: x^2+y^2+x-y+3=0$
$S_3: x^2+y^2-3x+2y+5=0$
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+x-y+3) = 0$
$x + 4y - 2 = 0 \quad \dots (i)$
$S_2$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2+x-y+3) - (x^2+y^2-3x+2y+5) = 0$
$4x - 3y - 2 = 0 \quad \dots (ii)$
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(i)$ से,$x = 2 - 4y$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(2 - 4y) - 3y - 2 = 0$
$8 - 16y - 3y - 2 = 0$
$6 - 19y = 0 \Rightarrow y = \frac{6}{19}$
$y = \frac{6}{19}$ को $x = 2 - 4y$ में रखने पर:
$x = 2 - 4\left(\frac{6}{19}\right) = 2 - \frac{24}{19} = \frac{14}{19}$
अतः,रेडिकल केंद्र $\left(\frac{14}{19}, \frac{6}{19}\right)$ है।

(D) पहले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दूसरे वृत्त के समीकरण $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ प्राप्त होता है।
मूल अक्ष दोनों समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होती है: $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$.
यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है।
वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका केंद्र $(-1,-1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
रेखा $Ax+By=0$ के इस वृत्त को स्पर्श करने के लिए,केंद्र $(-1,-1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ होनी चाहिए।
$\frac{|(2g-\frac{3}{2})(-1) + (2f-4)(-1)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(-(2g-\frac{3}{2}) - (2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2$.
माना $A = 2g-\frac{3}{2}$ और $B = 2f-4$. तब $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,जो $2AB = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$A=0$ या $B=0$.
यदि $A=0$,तो $2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$.
यदि $B=0$,तो $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

(B) माना पहले वृत्त का समीकरण $S_1 \equiv x^2+y^2-36=0$ है।
माना दूसरे वृत्त का समीकरण $S_2 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की रेडिकल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$(x^2+y^2-36) - (x^2+y^2+2gx+2fy+c) = 0$,जो सरल होकर $-2gx-2fy-36-c=0$ हो जाता है।
दी गई रेडिकल अक्ष $x-4=0$ है,जिसे $x+0y-4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$\frac{-2g}{1} = \frac{-2f}{0} = \frac{-36-c}{-4} = k$ प्राप्त होता है।
इससे $f=0$ और $2g = -k$ मिलता है,अतः $g = -k/2$। साथ ही $36+c = 4k$,अतः $c = 4k-36$।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय हैं,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है।
यहाँ $g_1=0, f_1=0, c_1=-36$ और $g_2=g, f_2=f, c_2=c$ है।
इन मानों को रखने पर,$2(0)(g) + 2(0)(f) = -36 + c$।
अतः,$0 = -36 + c$,जिसका अर्थ है $c = 36$।
$c = 4k-36$ से,$36 = 4k-36$,अतः $4k = 72$,जिससे $k = 18$ प्राप्त होता है।
तब $g = -k/2 = -18/2 = -9$।
दूसरे वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (9, 0)$ है।

(A) माना वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2+y^2-1=0$ ...$(i)$
$S_2: x^2+y^2-8x+15=0$ ...(ii)
$S_3: x^2+y^2+10y+24=0$ ...(iii)
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-8x+15) = 0$
$8x - 16 = 0 \Rightarrow x = 2$
$S_1$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2+10y+24) = 0$
$-10y - 25 = 0$ $\Rightarrow 10y = -25$ $\Rightarrow y = -\frac{5}{2}$
अतः,रेडिकल केंद्र $\left(2, -\frac{5}{2}\right)$ है।

(A) मान लीजिए वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2+y^2+3x+2y+1=0$
$S_2: x^2+y^2-x+6y+5=0$
$S_3: x^2+y^2+5x-8y+15=0$
रेडिकल केंद्र वृत्तों के जोड़ों के रेडिकल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
$S_1$ और $S_2$ का रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2+3x+2y+1) - (x^2+y^2-x+6y+5) = 0$
$4x - 4y - 4 = 0$ $\Rightarrow x - y - 1 = 0$ $\Rightarrow x = y + 1$ (समीकरण $1$)
$S_2$ और $S_3$ का रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-x+6y+5) - (x^2+y^2+5x-8y+15) = 0$
$-6x + 14y - 10 = 0 \Rightarrow 3x - 7y + 5 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से $x = y + 1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$3(y + 1) - 7y + 5 = 0$
$3y + 3 - 7y + 5 = 0$
$-4y + 8 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ का मान $x = y + 1$ में रखने पर:
$x = 2 + 1 = 3$
अतः,रेडिकल केंद्र $(3,2)$ है।

(B) तीन वृत्तों के सापेक्ष समान पावर वाला बिंदु उनका रेडिकल केंद्र होता है।
रेडिकल केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम वृत्त के समीकरणों को घटाकर रेडिकल अक्षों के समीकरण प्राप्त करते हैं।
माना $S_1: x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2: x^2+y^2-5x+16=0$
$S_3: x^2+y^2-8x+16y+160=0$
रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$:
$(-8x+5x) + (40-16) = 0 \implies -3x + 24 = 0 \implies x = 8$.
रेडिकल अक्ष $S_1 - S_3 = 0$:
$(-8x+8x) - 16y + (40-160) = 0 \implies -16y - 120 = 0 \implies 16y = -120 \implies y = -\frac{120}{16} = -\frac{15}{2}$.
रेडिकल केंद्र इन अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ है।

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+4x+6y+7=0$ और $S_2: 4x^2+4y^2+8x+12y-9=0$ हैं।
मूलाक्ष ज्ञात करने के लिए,हम $S_2$ को $4$ से विभाजित करके सामान्यीकृत करते हैं:
$S_2: x^2+y^2+2x+3y-\frac{9}{4}=0$.
मूलाक्ष का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+4x+6y+7) - (x^2+y^2+2x+3y-\frac{9}{4}) = 0$.
$(4x-2x) + (6y-3y) + (7 + \frac{9}{4}) = 0$.
$2x + 3y + \frac{37}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,हमें $8x + 12y + 37 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$ (x^2+y^2-4x+6y-10) - (x^2+y^2+2x-6y+2) = 0 $
$ -6x + 12y - 12 = 0 $
$ x - 2y + 2 = 0 $
यह मूलाक्ष का समीकरण है।
$S_1$ के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए,हम $x = 2y - 2$ को $S_1$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$ (2y-2)^2 + y^2 - 4(2y-2) + 6y - 10 = 0 $
$ 4y^2 - 8y + 4 + y^2 - 8y + 8 + 6y - 10 = 0 $
$ 5y^2 - 10y + 2 = 0 $
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(5)(2) = 100 - 40 = 60$.
चूंकि $D > 0$,द्विघात समीकरण के $y$ के लिए दो वास्तविक और भिन्न मूल हैं,जिसका अर्थ है कि मूलाक्ष वृत्त $S_1$ को दो वास्तविक और भिन्न बिंदुओं पर काटती है।

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
$L_1$ के लिए: $(x^2+y^2-4x-6y+5) - (x^2+y^2-2x-4y-1) = 0$।
सरल करने पर,हमें $-2x-2y+6=0$ प्राप्त होता है,जो $x+y-3=0$ है।
$L_2$ के लिए: $(x^2+y^2+2x+2y-7) - (x^2+y^2+x+y+9) = 0$।
सरल करने पर,हमें $x+y-16=0$ प्राप्त होता है।
$L_1$ और $L_2$ की ढाल (slope) दोनों $m = -1$ हैं।
चूंकि ढाल समान हैं,इसलिए $L_1$,$L_2$ के समांतर है।

(B) $S$ और $S'$ की रेडिकल अक्ष $S - S' = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 + 2x + 17y + 4) - (x^2 + y^2 + 7x + 6y + 11) = 0$
$-5x + 11y - 7 = 0 \implies 5x - 11y + 7 = 0$ ...$(i)$
$S'$ और $S''$ की रेडिकल अक्ष $S' - S'' = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 + 7x + 6y + 11) - (x^2 + y^2 - x + 22y + 3) = 0$
$8x - 16y + 8 = 0 \implies x - 2y + 1 = 0$ ...(ii)
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
(ii) से,$x = 2y - 1$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(2y - 1) - 11y + 7 = 0
10y - 5 - 11y + 7 = 0
-y + 2 = 0 \implies y = 2$.
अतः $x = 2(2) - 1 = 3$.
रेडिकल केंद्र $(3, 2)$ है।
$(3, 2)$ से $S = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(3, 2)}$ है:
$\sqrt{3^2 + 2^2 + 2(3) + 17(2) + 4} = \sqrt{9 + 4 + 6 + 34 + 4} = \sqrt{57}$.

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2-4x-6y+5=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-4y-1=0$
$S_3: x^2+y^2-6x-2y=0$
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$-2x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow x+y=3$ ... $(i)$
$S_2$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$4x - 2y - 1 = 0$ ... (ii)
रेडिकल केंद्र ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करें:
समीकरण $(i)$ से,$y = 3 - x$. इसे (ii) में रखने पर:
$4x - 2(3 - x) - 1 = 0$
$6x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{6}$
$x = \frac{7}{6}$ को $(i)$ में रखने पर:
$y = 3 - \frac{7}{6} = \frac{11}{6}$
अतः,रेडिकल केंद्र $\left(\frac{7}{6}, \frac{11}{6}\right)$ है।

(B) माना $(a, 0)$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ है,जिसे $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $(b, 0)$ केंद्र और $R$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x-b)^2 + y^2 = R^2$ है,जिसे $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दो वृत्तों की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होती है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2) - (x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $2(b-a)x + a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$ है।
चूंकि रेडिकल अक्ष $y$-अक्ष है,इसलिए इसका समीकरण $x = 0$ होना चाहिए।
समीकरण $2(b-a)x + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$ के $x = 0$ को दर्शाने के लिए,अचर पद शून्य होना चाहिए।
अतः,$a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$।
$R$ के लिए हल करने पर,$R^2 = r^2 + b^2 - a^2$,जिसका अर्थ है $R = (r^2 + b^2 - a^2)^{1/2}$।

(B) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ का मूलाक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_1: x^2+y^2+5x+4y-5=0$ और $S_2: x^2+y^2-3x+5y-6=0$।
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर:
$(x^2+y^2+5x+4y-5) - (x^2+y^2-3x+5y-6) = 0$
$(x^2-x^2) + (y^2-y^2) + (5x - (-3x)) + (4y - 5y) + (-5 - (-6)) = 0$
$8x - y + 1 = 0$।
अतः,मूलाक्ष $8x-y+1=0$ है।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2+\alpha_1(x-y)+c=0$ और $x^2+y^2+\alpha_2(x-y)+c=0$ हैं।
केंद्र $C_1 = (-\frac{\alpha_1}{2}, \frac{\alpha_1}{2})$ और $C_2 = (-\frac{\alpha_2}{2}, \frac{\alpha_2}{2})$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{\frac{\alpha_1^2}{2} - c}$ और $r_2 = \sqrt{\frac{\alpha_2^2}{2} - c}$ हैं।
एक वृत्त के दूसरे के भीतर स्थित होने के लिए शर्त $d(C_1, C_2) < |r_1 - r_2|$ है।
इस शर्त को हल करने पर हमें $c > 0$ प्राप्त होता है।

(D) सीमित बिंदुओं $A(1, 2)$ और $B(-2, 1)$ वाले वृत्तों के सह-अक्षीय निकाय की मूल अक्ष,रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक होती है।
रेखाखंड $AB$ की ढाल: $m_{AB} = \frac{1 - 2}{-2 - 1} = \frac{1}{3}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = -3$ होगी।
$AB$ का मध्य-बिंदु $M = \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है।
मूल अक्ष का समीकरण: $y - \frac{3}{2} = -3(x + \frac{1}{2})$
$y - \frac{3}{2} = -3x - \frac{3}{2}$
$3x + y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) किन्हीं दो वृत्तों की मूलाक्ष उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती है।
माना दो वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ हैं।
मूलाक्ष का समीकरण $2(g_1-g_2)x + 2(f_1-f_2)y + (c_1-c_2) = 0$ है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{g_1-g_2}{f_1-f_2}$ है।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{f_1-f_2}{g_1-g_2}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$ है,इसलिए मूलाक्ष केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-8x-10y-8=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (4, 5)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{16+25+8} = 7$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{1+1+2} = 2$ है।
बाह्य समानता केंद्र $Q$,$C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$Q = \left( \frac{7(-1) - 2(4)}{7-2}, \frac{7(1) - 2(5)}{7-2} \right) = \left( -3, -\frac{3}{5} \right)$।
मूल बिंदु $(0,0)$ से $Q$ की दूरी $D = \sqrt{(-3)^2 + (-3/5)^2} = \sqrt{9 + 9/25} = \frac{3\sqrt{26}}{5}$ है।

(B) वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ द्वारा वृत्त $S_2 \equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ की परिधि को समद्विभाजित करने की शर्त यह है कि दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा उस वृत्त के केंद्र से गुजरनी चाहिए जिसे समद्विभाजित किया जा रहा है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
दिया गया है $S_1 \equiv x^2+y^2+2gx+4y+1=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2-2x-3=0$।
उभयनिष्ठ जीवा $(2g+2)x + 4y + 4 = 0$ है।
वृत्त $S_2$ का केंद्र $(1, 0)$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $(1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $x=1$ और $y=0$ रखने पर: $(2g+2)(1) + 4(0) + 4 = 0$।
$2g + 6 = 0 \implies g = -3$।
वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y+1=0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2 - 1} = \sqrt{9 + 4 - 1} = \sqrt{12}$।

(C) वृत्त $S \equiv x^2+y^2=16$ का केंद्र $C_1(0,0)$ और त्रिज्या $r_1=4$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई अधिकतम होने के लिए,इसे वृत्त $S$ का व्यास होना चाहिए। अतः,उभयनिष्ठ जीवा $(0,0)$ से गुजरती है।
जीवा की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है। जीवा वाली रेखा का समीकरण $3x - 4y = 0$ है।
वृत्त $S^{\prime}$ का केंद्र $C_2(h, k)$ उस रेखा पर स्थित होना चाहिए जो उभयनिष्ठ जीवा के लंबवत हो और $S$ के केंद्र से गुजरती हो।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_{\perp} = -\frac{4}{3}$ है। रेखा का समीकरण $4x + 3y = 0$ है।
$C_2$ से जीवा की दूरी $d = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ है।
$|3h - 4k| = 15$ और $k = -\frac{4}{3}h$ का उपयोग करने पर,$|h| = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$ है।

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
सबसे पहले,समीकरणों को मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ में लिखें।
पहले वृत्त के लिए: $x^2+y^2-2\lambda x-2y-7=0$,हमारे पास $g_1=-\lambda, f_1=-1, c_1=-7$ है।
दूसरे वृत्त के लिए: $3(x^2+y^2)-8x+29y=0$,$3$ से भाग देने पर $x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$ प्राप्त होता है। अतः,$g_2=-\frac{4}{3}, f_2=\frac{29}{6}, c_2=0$ है।
शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ लागू करने पर:
$2(-\lambda)(-\frac{4}{3}) + 2(-1)(\frac{29}{6}) = -7 + 0$
$\frac{8\lambda}{3} - \frac{29}{3} = -7$
$3$ से गुणा करने पर: $8\lambda - 29 = -21$
$8\lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(C) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2-2\lambda)x + (4-4\lambda)y + (1-4\lambda) = 0$.
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2+y^2 + \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}x + \frac{4(1-\lambda)}{1+\lambda}y + \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} = 0$.
यह वृत्त $x^2+y^2-6=0$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है।
यहाँ $g_1 = \frac{1-\lambda}{1+\lambda}, f_1 = \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}, c_1 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda}$ और $g_2=0, f_2=0, c_2=-6$.
मान रखने पर,$0 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} - 6 \implies 1-4\lambda-6-6\lambda = 0 \implies \lambda = -1/2$.
$\lambda = -1/2$ रखने पर,$x^2+y^2+6x+12y+6=0$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+6^2-6} = \sqrt{9+36-6} = \sqrt{39}$.

(D) माना अभीष्ट वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
दिए गए वृत्त हैं:
$C_1: x^2+y^2-2x-2y+\frac{7}{4}=0$
$C_2: x^2+y^2+2x-2y+\frac{7}{4}=0$
$C_3: x^2+y^2+2x+2y+\frac{7}{4}=0$
$C_1$ के लिए लंबकोणीयता की शर्त लागू करने पर: $2g(-1)+2f(-1)=c+\frac{7}{4} \implies -2g-2f=c+\frac{7}{4}$
$C_2$ के लिए: $2g(1)+2f(-1)=c+\frac{7}{4} \implies 2g-2f=c+\frac{7}{4}$
$C_3$ के लिए: $2g(1)+2f(1)=c+\frac{7}{4} \implies 2g+2f=c+\frac{7}{4}$
इन्हें हल करने पर,हमें $g=0, f=0$ और $c=-\frac{7}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2+y^2-\frac{7}{4}=0$ है,जो सरल होकर $4x^2+4y^2=7$ हो जाता है।

(C) दिया गया वृत्त समीकरण $z\bar{z}+az+\bar{a}\bar{z}-4=0$ है। चूँकि $z\bar{z}=|z|^2=x^2+y^2$ और $a=1+i$, हमारे पास $az=(1+i)(x+iy)=(x-y)+i(x+y)$ है।
अतः, $az+\bar{a}\bar{z}=2\operatorname{Re}(az)=2(x-y)$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2(x-y)-4=0$ हो जाता है, जो $S: x^2+y^2+2x-2y-4=0$ है।
रेखा का समीकरण $(z+\bar{z})-i(z-\bar{z})+2=0$ है। चूँकि $z+\bar{z}=2x$ और $z-\bar{z}=2iy$, हमारे पास $2x-i(2iy)+2=0$ है, जो सरल होकर $2x+2y+2=0$ या $L: x+y+1=0$ बन जाता है।
$S$ और $L$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S+\lambda L=0$ है, अर्थात $(x^2+y^2+2x-2y-4)+\lambda(x+y+1)=0$ है।
चूँकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है, हम समीकरण में $x=0, y=0$ प्रतिस्थापित करते हैं: $-4+\lambda(1)=0$, जिससे $\lambda=4$ प्राप्त होता है।
$\lambda=4$ को परिवार के समीकरण में वापस रखने पर: $x^2+y^2+2x-2y-4+4(x+y+1)=0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर, हमें $x^2+y^2+6x+2y=0$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x+4y+1=0$ के लिए,केंद्र $O_1 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $S_2: x^2+y^2+4x-6y+12=0$ के लिए,केंद्र $O_2 = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
बाह्य समानता केंद्र $C_1$,$O_1O_2$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$C_1 = (-5, 8)$.
आंतरिक समानता केंद्र $C_2$,$O_1O_2$ को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक विभाजित करता है।
$C_2 = (-1, 4/3)$.
व्यास $C_1C_2 = \sqrt{(-4)^2 + (20/3)^2} = \frac{4\sqrt{34}}{3}$ है।
चूंकि $2r = \frac{4\sqrt{34}}{3}$,इसलिए $r = \frac{2\sqrt{34}}{3}$ है।
अतः,$\frac{9}{2}r = 3\sqrt{34}$।

(D) वृत्तों $S_1: x^2+y^2-2x-3=0$ और $S_2: x^2+y^2-2y=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2x - 2\lambda y - 3 = 0$.
केंद्र $C = (\frac{1}{1+\lambda}, \frac{\lambda}{1+\lambda})$ और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{1+\lambda^2+3+3\lambda}{(1+\lambda)^2}}$ है।
चूंकि $x+y+1=0$ स्पर्शरेखा है,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $r$ के बराबर है।
हल करने पर $\lambda=1$ या $\lambda=-2$ प्राप्त होता है।
$\lambda=1$ के लिए,$2x^2+2y^2-2x-2y-3=0$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त $x^2+y^2+2kx+4y-4=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-k, -2)$ और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{k^2+8}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+6x-2y+6=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-3, 1)$ और त्रिज्या $R_2 = 2$ है।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए $C_1C_2 = R_1 + R_2$।
$\sqrt{(-3+k)^2 + (1+2)^2} = \sqrt{k^2+8} + 2$.
$\sqrt{k^2-6k+18} = \sqrt{k^2+8} + 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $k^2-6k+18 = k^2+8 + 4 + 4\sqrt{k^2+8}$.
$6-6k = 4\sqrt{k^2+8} \Rightarrow 3(1-k) = 2\sqrt{k^2+8}$.
पुनः वर्ग करने पर: $9(1-2k+k^2) = 4(k^2+8) \Rightarrow 5k^2-18k-23 = 0$.
$(k+1)(5k-23) = 0$,अतः $k = -1$ या $k = \frac{23}{5}$।
केंद्र $(-k, -2)$ $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में है,इसलिए $-k > 0$ अर्थात $k < 0$।
अतः,$k = -1$।

(B) दिया गया वृत्तों का निकाय $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda x+2fy+\lambda k=0$ प्राप्त होता है।
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+2\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)x+2\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)y+\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ प्राप्त होता है।
बिंदु वृत्त के लिए,त्रिज्या $r=0$ होनी चाहिए,इसलिए $g'^2+f'^2-c'=0$।
मान रखने पर,हमें $\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)^2+\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)^2-\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ प्राप्त होता है।
$(1+\lambda)^2$ से गुणा करने पर,हमें $g^2\lambda^2+f^2-\lambda k(1+\lambda)=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(g^2-k)\lambda^2-k\lambda+f^2=0$ हो जाता है।
मान लीजिए मूल $\lambda_1$ और $\lambda_2$ हैं। बिंदु वृत्तों के केंद्र $A\left(\frac{-g\lambda_1}{1+\lambda_1}, \frac{-f}{1+\lambda_1}\right)$ और $B\left(\frac{-g\lambda_2}{1+\lambda_2}, \frac{-f}{1+\lambda_2}\right)$ हैं।
चूंकि $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$,ढाल का गुणनफल $m_1 m_2 = -1$ है।
$m_1 = \frac{-f/(1+\lambda_1)}{-g\lambda_1/(1+\lambda_1)} = \frac{f}{g\lambda_1}$।
अतः,$\left(\frac{f}{g\lambda_1}\right)\left(\frac{f}{g\lambda_2}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{f^2}{g^2\lambda_1\lambda_2} = -1$।
द्विघात समीकरण से,$\lambda_1\lambda_2 = \frac{f^2}{g^2-k}$।
यह मान रखने पर,$\frac{f^2}{g^2(f^2/(g^2-k))} = -1 \Rightarrow \frac{g^2-k}{g^2} = -1$।
$g^2-k = -g^2$ $\Rightarrow 2g^2 = k$ $\Rightarrow g^2 = \frac{k}{2}$।