System of circles Questions in Hindi

(B) वृत्त $x^2+y^2=9$ और रेखा $x+y=1$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $(x^2+y^2-9) + \lambda(x+y-1) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यह $x^2+y^2+\lambda x+\lambda y - (\lambda+9) = 0$ में सरल हो जाता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2})$ है।
सबसे छोटे वृत्त के लिए,रेखा $x+y=1$ को वृत्त का व्यास होना चाहिए।
केंद्र को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} = 1$,जिससे $-\lambda = 1$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = -1$।
$\lambda = -1$ को परिवार के समीकरण में रखने पर,हमें $(x^2+y^2-9) - (x+y-1) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x-1=0 \Rightarrow 2x+1=0$.
$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) + \lambda(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2+4\lambda)x + (3+3\lambda)y + (1+2\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर:
$x^2+y^2 + \left(\frac{2+4\lambda}{1+\lambda}\right)x + \left(\frac{3+3\lambda}{1+\lambda}\right)y + \frac{1+2\lambda}{1+\lambda} = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}, -\frac{3}{2}\right)$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $2x+1=0$ एक व्यास है,केंद्र इस पर स्थित होना चाहिए।
$2\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}\right) + 1 = 0$
$-2-4\lambda+1+\lambda = 0$ $\Rightarrow -3\lambda-1=0$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - \frac{1}{3}(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$3x^2+3y^2+6x+9y+3 - x^2-y^2-4x-3y-2 = 0$
$2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$.

(A) दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda \neq -1$ है।
$(x^2+y^2-4x-6y-12) + \lambda(x^2+y^2+6x+4y-12) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6\lambda-4)x + (4\lambda-6)y - 12(1+\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2+y^2 + \frac{6\lambda-4}{1+\lambda}x + \frac{4\lambda-6}{1+\lambda}y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$g = \frac{3\lambda-2}{1+\lambda}$,$f = \frac{2\lambda-3}{1+\lambda}$,और $c = -12$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{13}$ है।
$g^2+f^2-c = 13 \implies \frac{(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2}{(1+\lambda)^2} + 12 = 13$.
$(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2 = (1+\lambda)^2$.
$9\lambda^2 - 12\lambda + 4 + 4\lambda^2 - 12\lambda + 9 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$.
$12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \implies 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$.
$(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,अतः $\lambda = \frac{3}{2}$ या $\lambda = \frac{2}{3}$ है।
$\lambda = \frac{2}{3}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2-2x-12=0$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2+2x-12=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त $S=0$ दिए गए वृत्तों को उनके व्यासों के सिरों पर काटता है,इसलिए $S=0$ और प्रत्येक वृत्त $S_i=0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_i=0$ के केंद्र से होकर गुजरती है।
$S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$ के लिए,केंद्र $(0,0)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $S-S_1=0$ है,जो $2gx+2fy+c+4=0$ है। चूंकि यह $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए $c+4=0$,अर्थात $c=-4$।
$S_2 \equiv x^2+y^2-6x-8y+10=0$ के लिए,केंद्र $(3,4)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $S-S_2=0$ है,जो $(2g+6)x+(2f+8)y+c-10=0$ है। $c=-4$ और केंद्र $(3,4)$ रखने पर,$(2g+6)(3)+(2f+8)(4)-14=0$,जो $6g+8f+36=0$ अर्थात $3g+4f+18=0$ $(i)$ में सरल होता है।
$S_3 \equiv x^2+y^2+2x-4y-2=0$ के लिए,केंद्र $(-1,2)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $S-S_3=0$ है,जो $(2g-2)x+(2f+4)y+c+2=0$ है। $c=-4$ और केंद्र $(-1,2)$ रखने पर,$(2g-2)(-1)+(2f+4)(2)-2=0$,जो $-2g+4f+8=0$ (ii) में सरल होता है।
$(i)$ और (ii) को हल करने पर: (ii) से,$g=2f+4$। $(i)$ में रखने पर,$3(2f+4)+4f+18=0$ $\Rightarrow 10f+30=0$ $\Rightarrow f=-3$। अतः $g=-2$।
इस प्रकार,अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-6y-4=0$ है।

(D) वृत्त $S$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसकी त्रिज्या $r_1 = 2$ है। अतः,इसका केंद्र $C_1 = (2, 2)$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2 = (6, 5)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है:
$C_1C_2 = r_1 + r$
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,$5 = 2 + r$,जिससे $r = 3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(6, 5)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्त का समीकरण है:
$(x-6)^2 + (y-5)^2 = 3^2$
$x^2 - 12x + 36 + y^2 - 10y + 25 = 9$
$x^2 + y^2 - 12x - 10y + 61 - 9 = 0$
$x^2 + y^2 - 12x - 10y + 52 = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x+3y-7=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x-7y+5=0$ हैं।
$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है:
$(x^2+y^2+2x+3y-7) - (x^2+y^2+4x-7y+5) = 0 \implies -2x+10y-12 = 0 \implies x-5y+6 = 0$.
$\overline{AB}$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ के रूप में प्राप्त होता है।
गणना करने पर,सही समीकरण $26x^2+26y^2+77x-47y-32=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त $x^2+y^2+6x-8y+16=0$ और $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ हैं।
मानक रूप में बदलने पर $(x+3)^2+(y-4)^2=3^2$ और $(x-1)^2+(y-1)^2=1^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_1=(-3,4), r_1=3$ और $C_2=(1,1), r_2=1$ है।
आंतरिक समानता केंद्र $P$,$C_1C_2$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$P = \left(0, \frac{7}{4}\right)$।
बाह्य समानता केंद्र $Q$,$C_1C_2$ को $3:1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है:
$Q = \left(3, -\frac{1}{2}\right)$।
दूरी $PQ = \sqrt{(3-0)^2 + (-\frac{1}{2} - \frac{7}{4})^2} = \sqrt{9 + \frac{81}{16}} = \frac{15}{4}$।

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+2kx-2y-1=0$ हैं।
$x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर:
$g_1=1, f_1=2, c_1=-3$ और $g_2=k, f_2=-1, c_2=-1$.
केंद्र $C_1(-1, -2)$ और $C_2(-k, 1)$ हैं,और त्रिज्याएँ $r_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ और $r_2=\sqrt{k^2+2}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = (k-1)^2 + 9 = k^2-2k+10$.
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$.
$\frac{k^2-2k+10-8-(k^2+2)}{2(2\sqrt{2})\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \implies \frac{-2k}{4\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
$\frac{-k}{\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{k^2}{2(k^2+2)} = \frac{1}{3} \implies 3k^2 = 2k^2+4 \implies k^2=4$.

(A) दिए गए वृत्त $C_1 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c_1=0$ और $C_2 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c_2=0$ हैं।
चूंकि दोनों वृत्तों का केंद्र $(-g, -f)$ समान है,इसलिए वे संकेंद्रित हैं।
मान लीजिए $A$,$C_1$ पर एक बिंदु है और $T$,$C_2$ पर स्पर्श बिंदु है। $O$ सामान्य केंद्र है।
$C_1$ की त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c_1}$ और $C_2$ की त्रिज्या $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c_2}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OTA$ में,स्पर्श रेखा की लंबाई $AT$ इस प्रकार है:
$AT = \sqrt{OA^2 - OT^2} = \sqrt{r_1^2 - r_2^2}$
$AT = \sqrt{(g^2+f^2-c_1) - (g^2+f^2-c_2)} = \sqrt{c_2-c_1}$.

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। बिंदु $(h, k)$ से वृत्त $S=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(h, k)}$ होती है।
चूंकि स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,इसलिए तीनों वृत्तों के सापेक्ष बिंदु $P$ की शक्ति समान है।
$S_1(h, k) = S_2(h, k) = S_3(h, k)$.
$S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-2x+3y=0$
$S_3 \equiv x^2+y^2+7y-18=0$
$S_1 = S_2$ को बराबर करने पर:
$x^2+y^2-4 = x^2+y^2-2x+3y$
$2x-3y-4=0$ $(i)$
$S_1 = S_3$ को बराबर करने पर:
$x^2+y^2-4 = x^2+y^2+7y-18$
$-7y+14=0$
$y=2$
$y=2$ को $(i)$ में रखने पर:
$2x-3(2)-4=0$
$2x-6-4=0$
$2x=10$
$x=5$
अतः,$P$ के निर्देशांक $(5, 2)$ हैं।

(C) माना $P(x_1, y_1)$ वह बिंदु है जहाँ से वृत्तों पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं:
$S_1 \equiv x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-5x+16=0$ ($5$ से भाग देने पर)
$S_3 \equiv x^2+y^2-8x+16y+160=0$
चूँकि स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,$\sqrt{S_1} = \sqrt{S_2} = \sqrt{S_3}$,जिसका अर्थ है $S_1 = S_2 = S_3$.
$S_1 = S_3$ की तुलना करने पर:
$x_1^2+y_1^2-8x_1+40 = x_1^2+y_1^2-8x_1+16y_1+160$
$40 = 16y_1+160$ $\Rightarrow 16y_1 = -120$ $\Rightarrow y_1 = -\frac{15}{2}$.
$S_1 = S_2$ की तुलना करने पर:
$x_1^2+y_1^2-8x_1+40 = x_1^2+y_1^2-5x_1+16$
$-8x_1+40 = -5x_1+16$ $\Rightarrow 3x_1 = 24$ $\Rightarrow x_1 = 8$.
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ हैं।

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है। पहले,दूसरे वृत्त को सामान्यीकृत करें: $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x^2+y^2+2gx+2fy+c) - (x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c) = 0$.
यह सरल होकर $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ हो जाता है।
वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए इसका केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $1$ है।
मूल अक्ष इस वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $1$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
मान लीजिए $A = (2g-\frac{3}{2})$ और $B = (2f-4)$. तब $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,जिसका अर्थ है $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,अर्थात $2AB=0$.
अतः,$A=0$ या $B=0$.
$2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$ या $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

(A) वृत्त $S: x^2+y^2+2kx+4y-3=0$ और $S': x^2+y^2-4x+2ky+9=0$ हैं।
केंद्र $C_1 = (-k, -2)$ और $C_2 = (2, -k)$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{k^2+7}$ और $r_2 = \sqrt{k^2-5}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = 2k^2+8$ है।
$\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2} = \frac{3}{8}$ का उपयोग करने पर,$k^2=9$ प्राप्त होता है।
$S'=0$ का केंद्र $(2, -k)$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $k=-3$ है।
मूल अक्ष $S-S'=0$ है,जिसका समीकरण $(2k+4)x + (4-2k)y - 12 = 0$ है।
$k=-3$ रखने पर,$x-5y+6=0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2-4x+4y-1=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-4y+1=0$
वृत्तों के उभयनिष्ठ बिंदु रेडिकल अक्ष पर स्थित होते हैं,जो $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2-4x+4y-1) - (x^2+y^2+2x-4y+1) = 0$
$-6x + 8y - 2 = 0$
$3x - 4y + 1 = 0 \implies x = \frac{4y-1}{3}$
$x$ का मान $S_2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{4y-1}{3})^2 + y^2 + 2(\frac{4y-1}{3}) - 4y + 1 = 0$
$25y^2 - 20y + 4 = 0$
$(5y-2)^2 = 0 \implies y = 2/5$
अतः $x = 1/5$
इस प्रकार,$(a, b) = (1/5, 2/5)$.
$a^2+b^2 = (1/5)^2 + (2/5)^2 = 1/25 + 4/25 = 5/25 = 1/5$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2hy+c=0$ है।
चूंकि यह $(3,5), (5,5)$ और $(3,-3)$ से गुजरता है, हमारे पास है:
$9+25+6g+10h+c=0 \implies 6g+10h+c=-34$
$25+25+10g+10h+c=0 \implies 10g+10h+c=-50$
$9+9+6g-6h+c=0 \implies 6g-6h+c=-18$
पहले को दूसरे से घटाने पर: $4g=-16 \implies g=-4$.
तीसरे को पहले से घटाने पर: $16h=-16 \implies h=-1$.
$g$ और $h$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $6(-4)+10(-1)+c=-34 \implies -24-10+c=-34 \implies c=0$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x-2y=0$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय होते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
यहाँ, $g_1=-4, f_1=-1, c_1=0$ और $g_2=1, f_2=f, c_2=0$.
$2(-4)(1)+2(-1)(f)=0+0 \implies -8-2f=0 \implies 2f=-8 \implies f=-4$.

(B) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूँकि $S$ दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं।
$S_1: x^2+y^2-2x+6y=0$ के लिए,$g_1=-1, f_1=3, c_1=0$. अतः,$2g(-1) + 2f(3) = c + 0 \Rightarrow -2g + 6f = c$ $(i)$.
$S_2: x^2+y^2-4x-2y+6=0$ के लिए,$g_2=-2, f_2=-1, c_2=6$. अतः,$2g(-2) + 2f(-1) = c + 6 \Rightarrow -4g - 2f = c + 6$ $(ii)$.
$S_3: x^2+y^2-12x+2y+3=0$ के लिए,$g_3=-6, f_3=1, c_3=3$. अतः,$2g(-6) + 2f(1) = c + 3 \Rightarrow -12g + 2f = c + 3$ $(iii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $2g + 8f = -6 \Rightarrow g + 4f = -3$ $(iv)$.
$(ii)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $8g - 4f = 3$ $(v)$.
$(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर: $9g = 0 \Rightarrow g = 0$. अतः $4f = -3 \Rightarrow f = -3/4$.
$(i)$ में मान रखने पर: $c = -2(0) + 6(-3/4) = -18/4 = -9/2$.
अतः वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2 - \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0$ है।
बिंदु $(0,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ है।
$(0,3)$ रखने पर: $x(0) + y(3) + 0(x+0) - \frac{3}{4}(y+3) - \frac{9}{2} = 0$.
$3y - \frac{3}{4}y - \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = 0 \Rightarrow \frac{9}{4}y - \frac{27}{4} = 0 \Rightarrow 9y = 27 \Rightarrow y = 3$.

(A) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करने पर:
$x^2+y^2-4x-4y+7=0$ के लिए: $4g+4f+c=-7$ $(i)$.
$x^2+y^2+4x-4y+6=0$ के लिए: $4g-4f-c=6$ $(ii)$.
$x^2+y^2+4x+4y+5=0$ के लिए: $4g+4f-c=5$ $(iii)$.
$(i)$ और $(iii)$ को हल करने पर,$2c = -12 \Rightarrow c = -6$.
$g = -\frac{1}{8}$ और $f = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\frac{1}{64} + \frac{1}{64} + 6} = \frac{\sqrt{193}}{4\sqrt{2}}$.

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2 \alpha x+2 y-8=0$ और $S_2: x^2+y^2-2 x+\alpha y-14=0$ हैं।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$(g_1, f_1, c_1) = (\alpha, 1, -8)$ और $(g_2, f_2, c_2) = (-1, \frac{\alpha}{2}, -14)$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
मान रखने पर: $2(\alpha)(-1) + 2(1)(\frac{\alpha}{2}) = -8 - 14$।
$-2\alpha + \alpha = -22$,जिससे $\alpha = 22$ प्राप्त होता है।
$S_1$ का केंद्र $C_1 = (-g_1, -f_1) = (-22, -1)$ है।
$S_2$ का केंद्र $C_2 = (-g_2, -f_2) = (1, -\frac{22}{2}) = (1, -11)$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - (-22))^2 + (-11 - (-1))^2} = \sqrt{(23)^2 + (-10)^2} = \sqrt{529 + 100} = \sqrt{629}$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2-4x+8y+4=0$ का केंद्र $P(2, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2x=0$ का केंद्र $Q(-1, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए स्पर्श बिंदु $O(a, b)$ रेखाखंड $PQ$ को $r_1 : r_2 = 4 : 1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$O(a, b) = \left( \frac{4(-1)+1(2)}{4+1}, \frac{4(0)+1(-4)}{4+1} \right)$.
$O(a, b) = \left( -\frac{2}{5}, -\frac{4}{5} \right)$.
अतः,$a = -\frac{2}{5}$ और $b = -\frac{4}{5}$.
इसलिए,$a+2b = -\frac{2}{5} + 2\left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{10}{5} = -2$.

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है जिसका केंद्र $(-g, -f)$ है।
दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
पहले वृत्त $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ के लिए,$g_2=-1, f_2=1, c_2=-2$ है। शर्त लागू करने पर: $2g(-1)+2f(1)=c-2 \Rightarrow -2g+2f=c-2$ (समीकरण $1$)।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ के लिए,$g_3=2, f_3=-3, c_3=9$ है। शर्त लागू करने पर: $2g(2)+2f(-3)=c+9 \Rightarrow 4g-6f=c+9$ (समीकरण $2$)।
केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $2x+3y-2=0$ पर स्थित है,अतः $2(-g)+3(-f)-2=0 \Rightarrow -2g-3f=2$ (समीकरण $3$)।
समीकरणों को हल करने पर,हमें $f=-1, g=1/2, c=-1$ प्राप्त होता है।
अतः $2g+f = 2(1/2)+(-1) = 0$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $c-f = -1-(-1) = 0$ है। अतः,$2g+f = c-f$।

(A) मान लीजिए $C_1 = A(1, 2)$ और $r_1 = 3$ है। मान लीजिए $C_2 = B(-1, -1)$ और $r_2 = r$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है,जहाँ $d^2 = (1 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2 r_1 r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\theta = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{13 - 3^2 - r^2}{2 \times 3 \times r}$।
$\frac{1}{2} = \frac{13 - 9 - r^2}{6r} = \frac{4 - r^2}{6r}$।
$3r = 4 - r^2 \Rightarrow r^2 + 3r - 4 = 0$।
$(r + 4)(r - 1) = 0$।
चूँकि त्रिज्या $r > 0$ होती है,इसलिए $r = 1$ है।
अतः,$r$ के लिए केवल $1$ संभावित मान है।

(C) वृत्त $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ के लिए,$g_1=1, f_1=-2, c_1=1$ है।
वृत्त $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ के लिए,$g_2=-2, f_2=-1, c_2=c$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos(\theta) = \frac{c_1+c_2-2(g_1g_2+f_1f_2)}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$ है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+c-2((1)(-2)+(-2)(-1))}{2\sqrt{1^2+(-2)^2-1}\sqrt{(-2)^2+(-1)^2-c}}$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+c-2(-2+2)}{2\sqrt{4}\sqrt{5-c}} = \frac{1+c}{4\sqrt{5-c}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{(1+c)^2}{16(5-c)}$।
$8(5-c) = (1+c)^2 \Rightarrow 40-8c = 1+2c+c^2$।
$c^2+10c-39=0$।
$(c+13)(c-3)=0$।
अतः,$c=3$ या $c=-13$।

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x+2fy+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+2gx-4y-1=0$ हैं।
$x^2+y^2+2g_ix+2f_iy+c_i=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g_1=-2, f_1=f, c_1=1$
$g_2=g, f_2=-2, c_2=-1$
चूंकि वृत्त लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,शर्त $2(g_1g_2+f_1f_2)=c_1+c_2$ है।
$2((-2)(g) + (f)(-2)) = 1 + (-1)$
$2(-2g-2f) = 0 \implies g+f=0 \implies f=-g$.
त्रिज्याओं के वर्ग $r_1^2 = g_1^2+f_1^2-c_1 = (-2)^2+f^2-1 = 3+f^2$ और $r_2^2 = g_2^2+f_2^2-c_2 = g^2+(-2)^2-(-1) = g^2+5$ हैं।
$r_1^2+r_2^2 = 3+f^2+g^2+5 = 8+f^2+g^2$.
चूंकि $f=-g$,इसलिए $f^2=g^2$,अतः $r_1^2+r_2^2 = 8+2g^2$.
इसलिए,$r_1^2+r_2^2-8 = 2g^2$.

(A) माना $(0,0)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है ...$(i)$।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2+6x-15=0$ ...$(ii)$ और $x^2+y^2-8y-10=0$ ...$(iii)$ हैं।
चूंकि वृत्त $(i)$ वृत्त $(ii)$ को लंबकोणीय काटता है,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हुए:
$2(g)(3) + 2(f)(0) = 0 + (-15)$ $\Rightarrow 6g = -15$ $\Rightarrow g = -\frac{5}{2}$।
चूंकि वृत्त $(i)$ वृत्त $(iii)$ को लंबकोणीय काटता है:
$2(g)(0) + 2(f)(-4) = 0 + (-10)$ $\Rightarrow -8f = -10$ $\Rightarrow f = \frac{5}{4}$।
$g$ और $f$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x^2+y^2+2(-\frac{5}{2})x+2(\frac{5}{4})y = 0$।
$x^2+y^2-5x+\frac{5}{2}y = 0$।
$2$ से गुणा करने पर,$2(x^2+y^2)-10x+5y=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वृत्त $(x-1)^2+(y-1)^2=1$,$(x+1)^2+(y-1)^2=1$,$(x-1)^2+(y+1)^2=1$,और $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ हैं। इन वृत्तों की त्रिज्या $1$ है और केंद्र $(\pm 1, \pm 1)$ पर हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ से केंद्रों की दूरी $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ है।
सबसे छोटा वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित है और इन चार वृत्तों को स्पर्श करता है। इसकी त्रिज्या $r$,मूल बिंदु से दिए गए वृत्तों के केंद्र तक की दूरी में से उन वृत्तों की त्रिज्या घटाने पर प्राप्त होती है: $r = \sqrt{2} - 1$.
सबसे बड़ा वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित है और इन चार वृत्तों को घेरता है। इसकी त्रिज्या $R$,मूल बिंदु से दिए गए वृत्तों के केंद्र तक की दूरी में उन वृत्तों की त्रिज्या जोड़ने पर प्राप्त होती है: $R = \sqrt{2} + 1$.
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \frac{2+1+2\sqrt{2}}{2+1-2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$ है।

(B) मान लीजिए $C_1$ और $C_2$ दो वृत्तों के केंद्र हैं। चूंकि $BP$ और $BQ$ व्यास हैं,$C_1$,$BP$ का मध्यबिंदु है और $C_2$,$BQ$ का मध्यबिंदु है।
$\triangle BPQ$ में,$C_1$ और $C_2$ क्रमशः भुजाओं $BP$ और $BQ$ के मध्यबिंदु हैं। मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel C_1C_2$ है।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $C_1C_2$ रेडिकल अक्ष $AB$ के लंबवत होती है।
इसलिए,$PQ$ रेडिकल अक्ष $AB$ के लंबवत है।
यदि रेडिकल अक्ष की ढाल $m_1 = 3/4$ है और $PQ$ की ढाल $m_2 = a/b$ है,तो $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
$\frac{3}{4} \times \frac{a}{b} = -1$
$\frac{3a}{4b} = -1$
$3a = -4b$
$3a + 4b = 0$.

(A) माना अभीष्ट वृत्त $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2g_i x+2f_i y+c_i=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2gg_i+2ff_i=c+c_i$ है।
दिए गए वृत्त:
$S_1: x^2+y^2-4=0 \Rightarrow g_1=0, f_1=0, c_1=-4$
$S_2: x^2+y^2-2x-3=0 \Rightarrow g_2=-1, f_2=0, c_2=-3$
$S_3: x^2+y^2-2y-3=0 \Rightarrow g_3=0, f_3=-1, c_3=-3$
शर्त लागू करने पर:
$1$) $S_1$ के लिए: $2g(0)+2f(0)=c-4 \Rightarrow c=4$.
$2$) $S_2$ के लिए: $2g(-1)+2f(0)=c-3$ $\Rightarrow -2g=4-3=1$ $\Rightarrow g=-1/2$.
$3$) $S_3$ के लिए: $2g(0)+2f(-1)=c-3$ $\Rightarrow -2f=4-3=1$ $\Rightarrow f=-1/2$.
अब,वृत्त $S$ की त्रिज्या $r$ की जाँच करने पर:
$r^2 = g^2+f^2-c = (-1/2)^2+(-1/2)^2-4 = 1/4+1/4-4 = 1/2-4 = -7/2$.
चूँकि $r^2 < 0$,कोई वास्तविक वृत्त संभव नहीं है।
अतः,ऐसे वृत्तों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 16y - 30 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = 4$,$2f = 16$ और $c = -30$ प्राप्त होता है।
अतः,$g = 2$,$f = 8$ और $c = -30$ है।
इस वृत्त का केंद्र $C_1 = (-g, -f) = (-2, -8)$ है।
इस वृत्त की त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2^2 + 8^2 - (-30)} = \sqrt{4 + 64 + 30} = \sqrt{98}$ है।
माना दूसरे वृत्त का केंद्र $C_2 = (1, 2)$ और त्रिज्या $r_2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d$ के लिए $d^2 = (1 - (-2))^2 + (2 - (-8))^2 = 3^2 + 10^2 = 9 + 100 = 109$ है।
चूंकि दोनों वृत्त लंबकोणीय हैं,वे शर्त $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ को संतुष्ट करते हैं।
मान रखने पर,$109 = 98 + r_2^2$।
$r_2^2 = 109 - 98 = 11$।
अतः,$r_2 = \sqrt{11}$।

(A) माना दिया गया वृत्त $S_1: x^2+y^2-8x-6y+23=0$ है। $S_1$ का केंद्र $(4, 3)$ है।
यदि वृत्त $S_2$,$S_1$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो $S_1$ और $S_2$ की मूल अक्ष (radical axis) $S_1$ के केंद्र से गुजरनी चाहिए।
मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
विकल्प $A$ के लिए,$S_2: x^2+y^2-6x-4y+9=0$ है।
मूल अक्ष $(x^2+y^2-8x-6y+23) - (x^2+y^2-6x-4y+9) = 0$ है।
यह सरल होकर $-2x - 2y + 14 = 0$ या $x + y - 7 = 0$ हो जाता है।
केंद्र $(4, 3)$ को मूल अक्ष के समीकरण में रखने पर: $4 + 3 - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि केंद्र समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए वृत्त $x^2+y^2-6x-4y+9=0$,$S_1$ की परिधि को समद्विभाजित करता है।

(B) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ है। चूँकि यह $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |h|$ है। अतः,समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=h^2$ है,जो सरल होकर $x^2+y^2-2hx-2ky+k^2=0$ हो जाता है।
चूँकि यह $(3,0)$ से गुजरता है,हमारे पास $(3-h)^2+(0-k)^2=h^2$ है,जो सरल होकर $9-6h+k^2=0$ या $k^2=6h-9$ ... $(i)$ देता है।
वृत्त $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ के लिए $g_2=-3, f_2=2, c_2=-3$ है। अभीष्ट वृत्त के लिए $g_1=-h, f_1=-k, c_1=k^2$ है।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,$2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$।
मान रखने पर: $2((-h)(-3)+(-k)(2)) = k^2-3$,जो $6h-4k = k^2-3$ देता है।
समीकरण $(i)$ से $k^2=6h-9$ को इस समीकरण में रखने पर: $6h-4k = (6h-9)-3$,जो सरल होकर $-4k = -12$ हो जाता है,इसलिए $k=3$।
$k=3$ को $(i)$ में रखने पर: $9-6h+9=0$,इसलिए $6h=18$,$h=3$।
केंद्र $(3,3)$ है और त्रिज्या $3$ है।
समीकरण $(x-3)^2+(y-3)^2=3^2$ है,जो सरल होकर $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ हो जाता है।

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_1: x^2+y^2-6x-8y-12=0$
$C_2: x^2+y^2-4x+6y+k=0$
इन्हें सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$C_1$ के लिए: $g_1 = -3, f_1 = -4, c_1 = -12$
$C_2$ के लिए: $g_2 = -2, f_2 = 3, c_2 = k$
दो वृत्त लंबकोणीय होते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
मान रखने पर:
$2(-3)(-2) + 2(-4)(3) = -12 + k$
$12 - 24 = -12 + k$
$-12 = -12 + k$
$k = 0$

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ और $C_2: x^2+y^2-2x+6y-3=0$ हैं।
सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$C_1$ के लिए: $g_1=1, f_1=2, c_1=1$. केंद्र $O_1=(-1, -2)$,त्रिज्या $r_1=\sqrt{1^2+2^2-1}=2$.
$C_2$ के लिए: $g_2=-1, f_2=3, c_2=-3$. केंद्र $O_2=(1, -3)$,त्रिज्या $r_2=\sqrt{(-1)^2+3^2-(-3)}=\sqrt{13}$.
केंद्रों $O_1(-1, -2)$ और $O_2(1, -3)$ के बीच की दूरी $d=\sqrt{(1-(-1))^2+(-3-(-2))^2}=\sqrt{5}$.
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \left|\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \left|\frac{5-4-13}{2 \times 2 \times \sqrt{13}}\right| = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.

(A) माना $S_1 \equiv x^2+y^2+8x+8y-m=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2-2x+4y+n=0$ है।
दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2+8x+8y-m) - (x^2+y^2-2x+4y+n) = 0$.
$10x + 4y - (m+n) = 0$.
चूंकि वृत्त $S_1$ की परिधि वृत्त $S_2$ द्वारा समद्विभाजित होती है,इसलिए उभयनिष्ठ जीवा को वृत्त $S_1$ के केंद्र से गुजरना चाहिए।
$S_1$ का केंद्र $(-4, -4)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा के समीकरण में $(-4, -4)$ रखने पर:
$10(-4) + 4(-4) = m+n$.
$-40 - 16 = m+n$.
$m+n = -56$.

(D) दो वृत्तों के दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2$ को शर्त को पूरा करना चाहिए: $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$।
पहले वृत्त $(x-1)^2+(y-3)^2=r^2$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-g, -f) = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-4)^2+(1)^2-8} = \sqrt{16+1-8} = \sqrt{9} = 3$ है।
केंद्रों $C_1(1, 3)$ और $C_2(4, -1)$ के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $|r - 3| < 5 < r + 3$।
$5 < r + 3$ से,हमें $r > 2$ प्राप्त होता है।
$|r - 3| < 5$ से,हमें $-5 < r - 3 < 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-2 < r < 8$। चूंकि $r$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $0 < r < 8$।
$r > 2$ और $0 < r < 8$ को संयोजित करने पर,हमें $2 < r < 8$ प्राप्त होता है।

(D) माना अभीष्ट वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। चूँकि यह $S_1: x^2+y^2+4x+3=0$ और $S_2: x^2+y^2-12x+35=0$ के लंबकोणीय है,वृत्त का केंद्र $(h, k)$ $S_1$ और $S_2$ की मूलाक्ष (radical axis) पर स्थित होना चाहिए।
मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ है,जो $(4x+3) - (-12x+35) = 0$ देता है,अतः $16x - 32 = 0$,या $x = 2$ है।
इस प्रकार,अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(2, k)$ है।
चूँकि वृत्त $S_1$ के लंबकोणीय है,त्रिज्या $r$ समीकरण $r^2 = S_1(2, k) = 2^2 + k^2 + 4(2) + 3 = 4 + k^2 + 8 + 3 = k^2 + 15$ को संतुष्ट करती है।
त्रिज्या तब न्यूनतम होती है जब $k = 0$ हो,जिससे $r^2 = 15$ प्राप्त होता है,अतः $r = \sqrt{15}$ है।
अतः,न्यूनतम त्रिज्या $\sqrt{15}$ है।

(A) दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2-6x-8y+12=0$ के लिए,$g_1=-3, f_1=-4, c_1=12$ है।
द्वितीय वृत्त $x^2+y^2-4x+6y+k=0$ के लिए,$g_2=-2, f_2=3, c_2=k$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(-3)(-2) + 2(-4)(3) = 12 + k$
$2(6) + 2(-12) = 12 + k$
$12 - 24 = 12 + k$
$-12 = 12 + k$
$k = -24$.

(D) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ...$(i)$ है,जिसका केंद्र $(-g, -f)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $2x+3y-7=0$ पर स्थित है,इसलिए $2(-g)+3(-f)-7=0$,जिसका अर्थ है $2g+3f+7=0$ ...(ii)।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
पहले वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ के लिए,$2g(-2)+2f(-3)=c+11$,जो $4g+6f+c+11=0$ ...(iii) में सरल होता है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-10x-4y+21=0$ के लिए,$2g(-5)+2f(-2)=c+21$,जो $10g+4f+c+21=0$ ...(iv) में सरल होता है।
(iv) में से (iii) घटाने पर,$6g-2f+10=0$,या $3g-f+5=0$ ...$(v)$ प्राप्त होता है।
(ii) से,$2g+3f=-7$। $(v)$ से,$f=3g+5$। (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $2g+3(3g+5)=-7$ $\Rightarrow 11g+15=-7$ $\Rightarrow 11g=-22$ $\Rightarrow g=-2$।
तब $f=3(-2)+5=-1$। $g=-2, f=-1$ को (iii) में रखने पर: $4(-2)+6(-1)+c+11=0$ $\Rightarrow -8-6+c+11=0$ $\Rightarrow c-3=0$ $\Rightarrow c=3$।
अंत में,$5g-10f+3c = 5(-2)-10(-1)+3(3) = -10+10+9 = 9$।

(A) माना दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2+y^2+4x-7=0$
$S_2: x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=0$
$S_3: x^2+y^2+y=0$
इन वृत्तों को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने वाले वृत्त का केंद्र $S_1, S_2$ और $S_3$ का मूल केंद्र (radical centre) है।
$S_1$ और $S_2$ की मूल अक्ष (radical axis) $S_1-S_2=0$ है:
$(4-\frac{3}{2})x - \frac{5}{2}y - 7 + \frac{9}{2} = 0 \Rightarrow x-y-1=0 \dots(i)$
$S_2$ और $S_3$ की मूल अक्ष $S_2-S_3=0$ है:
$\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0 \Rightarrow x+y-3=0 \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $x=2$ और $y=1$ प्राप्त होता है। मूल केंद्र $(2,1)$ है।
अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$,$(2,1)$ से $S_3$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है:
$r^2 = 2^2+1^2+1 = 6$.
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2+(y-1)^2 = 6$ है,जो सरल होकर $x^2+y^2-4x-2y-1=0$ हो जाता है।

(B) दोनों वृत्तों के केंद्र $C_1(-\lambda, 0)$ और $C_2(0, -2)$ हैं और उनकी त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{\lambda^2-2}$ और $r_2 = \sqrt{2}$ हैं।
दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2$ उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर के बराबर हो: $C_1C_2 = |r_1 \pm r_2|$।
दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(-\lambda - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{\lambda^2 + 4}$ की गणना करना।
$C_1C_2 = r_1 + r_2$ रखने पर:
$\sqrt{\lambda^2 + 4} = \sqrt{\lambda^2 - 2} + \sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\lambda^2 + 4 = (\lambda^2 - 2) + 2 + 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$\lambda^2 + 4 = \lambda^2 + 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$4 = 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$2 = \sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
पुनः वर्ग करने पर:
$4 = 2(\lambda^2 - 2)$
$2 = \lambda^2 - 2$
$\lambda^2 = 4 \Rightarrow \lambda = \pm 2$।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2-4x-2y+1=0 \quad \dots (i)$
$x^2+y^2-6x-4y+4=0 \quad \dots (ii)$
वृत्त $(i)$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2+1^2-1} = 2$ है।
वृत्त $(ii)$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2+2^2-4} = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(3-2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ है।
चूंकि $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ है,इसलिए वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं बाह्य स्पर्श रेखाएं हैं।
बाह्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $r_1:r_2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
माना बिंदु $P(x, y)$ है। बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{r_1x_2 - r_2x_1}{r_1-r_2} = \frac{2(3) - 3(2)}{2-3} = \frac{6-6}{-1} = 0$
$y = \frac{r_1y_2 - r_2y_1}{r_1-r_2} = \frac{2(2) - 3(1)}{2-3} = \frac{4-3}{-1} = -1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -1)$ है।

(A) दिया गया है कि वृत्त $S=0$,वृत्त $x^2+y^2-4x+2y-7=0$ को लंबकोणीय काटता है और वृत्त $S=0$ का केंद्र $(2,3)$ है।
माना वृत्त $S=0$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-g, -f) = (2,3)$ होने के कारण,$g=-2$ और $f=-3$ है।
हम जानते हैं कि यदि दो वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $x^2+y^2+2g'x+2f'y+c'=0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,तो $2gg'+2ff'=c+c'$ होता है।
यहाँ,$(g, f) = (-2, -3)$ और दिए गए वृत्त $x^2+y^2-4x+2y-7=0$ के लिए,$(g', f') = (-2, 1)$ और $c' = -7$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(-2)(-2) + 2(-3)(1) = c - 7$
$8 - 6 = c - 7$
$2 = c - 7$
$c = 9$
वृत्त $S=0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा दी जाती है।
$r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$.

(B) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ $(i)$ है।
चूँकि वृत्त $(3,2)$ से गुजरता है,$6g+4f+c+13=0$ $(ii)$।
चूँकि वृत्त $x^2+y^2=15$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,उभयनिष्ठ जीवा केंद्र $(0,0)$ से गुजरती है,अतः $c+15=0$,जिससे $c=-15$ $(iii)$।
चूँकि वृत्त $x^2+y^2+4x+6y+3=0$ को लंबकोणीय काटता है,$4g+6f=c+3$ $(iv)$।
$c=-15$ रखने पर,$4g+6f=-12$ अर्थात $2g+3f=-6$।
समीकरण $(ii)$ में $c=-15$ रखने पर,$6g+4f=2$ अर्थात $3g+2f=1$।
इन्हें हल करने पर $g=3, f=-4$ प्राप्त होता है। अतः समीकरण $x^2+y^2+6x-8y-15=0$ है।

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2+2x+4y-20=0$ और $x^2+y^2+6x-8y+10=0$ हैं।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ के अनुसार,$2(1)(3)+2(2)(-4) = -10$ और $c_1+c_2 = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और उनकी दो उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $2x-6y+15=0$ है।
केंद्र $C_1(-1, -2)$ से जीवा की दूरी $d = \frac{25}{\sqrt{40}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2-d^2} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होती है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। $(i)$
चूँकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,इसलिए $r^2 = f^2$। अतः,$g^2+f^2-c = f^2$,जिसका अर्थ है $c = g^2$। $(ii)$
वृत्त बिंदु $(2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $4+0+4g+0+c=0$,जिससे $c = -4g-4$ प्राप्त होता है। $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर,$g^2 = -4g-4$,इसलिए $g^2+4g+4=0$,जिसका अर्थ है $(g+2)^2=0$,इसलिए $g=-2$। $g=-2$ को $(ii)$ में रखने पर,$c=(-2)^2=4$ प्राप्त होता है।
वृत्त $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ के लिए $g_1=-1, f_1=-1, c_1=-2$ है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ है।
मान रखने पर: $2(-1)(-2) + 2(-1)(f) = -2 + 4$,जो $4 - 2f = 2$ में सरल होता है,इसलिए $2f = 2$,जिससे $f=1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-(-2), -1) = (2, -1)$ है।

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+8x-4y+\lambda=0$ हैं।
केंद्र $C_1(2, 3)$ और $C_2(-4, 2)$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1=4$ और $r_2=\sqrt{20-\lambda}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d=\sqrt{37}$ है।
कोण के सूत्र $\cos 60^{\circ} = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$ का उपयोग करने पर,
$\frac{1}{2} = \frac{37-16-(20-\lambda)}{8\sqrt{20-\lambda}} \implies 1+\lambda = 4\sqrt{20-\lambda}$.
वर्ग करने पर,$\lambda^2+18\lambda-319=0$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $\lambda = -29$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2+kx+4y+2=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-\frac{3}{2}y+\frac{k}{2}=0$
दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = \frac{k}{2}, f_1 = 2, c_1 = 2$ और $g_2 = -1, f_2 = -\frac{3}{4}, c_2 = \frac{k}{2}$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(\frac{k}{2})(-1) + 2(2)(-\frac{3}{4}) = 2 + \frac{k}{2}$
$-k - 3 = 2 + \frac{k}{2}$
$-5 = k + \frac{k}{2}$
$-5 = \frac{3k}{2}$
$k = -\frac{10}{3}$.

(A) वृत्तों $S_1: x^2+y^2-2px=0$ और $S_2: x^2+y^2-2qy=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2-2px) + \lambda(x^2+y^2-2qy) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2px - 2\lambda qy = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2+y^2 - \frac{2p}{1+\lambda}x - \frac{2\lambda q}{1+\lambda}y = 0$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $(\frac{p}{1+\lambda}, \frac{\lambda q}{1+\lambda})$ है।
चूँकि केंद्र $\frac{x}{p} - \frac{y}{q} = 2$ पर स्थित है,निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{p} \cdot \frac{p}{1+\lambda} - \frac{1}{q} \cdot \frac{\lambda q}{1+\lambda} = 2$
$\frac{1-\lambda}{1+\lambda} = 2 \implies 1-\lambda = 2+2\lambda \implies \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ का मान रखने पर,समीकरण $x^2+y^2-3px+qy = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूँकि $S$ दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं।
$x^2+y^2-4x-2y+4=0$ के लिए: $2g(-2) + 2f(-1) = c+4 \Rightarrow -4g-2f = c+4$ $(i)$.
$x^2+y^2-2x-4y+1=0$ के लिए: $2g(-1) + 2f(-2) = c+1 \Rightarrow -2g-4f = c+1$ $(ii)$.
$x^2+y^2+4x+2y+1=0$ के लिए: $2g(2) + 2f(1) = c+1 \Rightarrow 4g+2f = c+1$ $(iii)$.
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$0 = 2c+5$,अतः $c = -\frac{5}{2}$.
$c$ का मान $(iii)$ में रखने पर: $4g+2f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 8g+4f = -3$ $(iv)$.
$c$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $-2g-4f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 4g+8f = 3$ $(v)$.
$(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर: $12g+12f = 0 \Rightarrow g = -f$.
$g = -f$ को $(iv)$ में रखने पर: $-8f+4f = -3$ $\Rightarrow -4f = -3$ $\Rightarrow f = \frac{3}{4}, g = -\frac{3}{4}$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 - (-\frac{5}{2})} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{16} + \frac{40}{16}} = \sqrt{\frac{58}{16}} = \sqrt{\frac{29}{8}}$.

(B) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x+4y+1=0$ और $C_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ हैं।
केंद्र $C_1(1, -2)$ और $C_2(2, 1)$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = 2$ और $r_2 = 1$ हैं।
माना उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $y-mx-c=0$ है।
केंद्र से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर होती है:
$\frac{|-2-m-c|}{\sqrt{1+m^2}} = 2$ और $\frac{|1-2m-c|}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के लिए,$\frac{-2-m-c}{\sqrt{1+m^2}} = 2$ और $\frac{1-2m-c}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
घटाने पर: $\frac{-3+m}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $m^2-6m+9 = 1+m^2$,जिससे $6m = 8$,अर्थात $m = \frac{4}{3}$।