Equations of circle Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $OAB$ પર દોરેલા વર્તુળનો વ્યાસ $AB$ છે.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે વર્તુળનો વ્યાસ $m + n$ છે.

(B) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2x \cos \theta + 2y \sin \theta - 8 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$2g = 2 \cos \theta \implies g = \cos \theta$
$2f = 2 \sin \theta \implies f = \sin \theta$
$c = -8$
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ શોધવાનું સૂત્ર $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \sqrt{(\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 - (-8)}$
$R = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 8}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી:
$R = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$.

(A) રેખા $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ એ $x$-અક્ષને $A \equiv \left( -\frac{n_1}{l_1}, 0 \right)$ પર અને $y$-અક્ષને $B \equiv \left( 0, -\frac{n_1}{m_1} \right)$ પર છેદે છે.
રેખા $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ એ $x$-અક્ષને $C \equiv \left( -\frac{n_2}{l_2}, 0 \right)$ પર અને $y$-અક્ષને $D \equiv \left( 0, -\frac{n_2}{m_2} \right)$ પર છેદે છે.
બિંદુઓ $A, B, C, D$ એકવર્તુળીય હોવાથી,છેદતી જીવાઓના પ્રમેય મુજબ $OA \cdot OC = OB \cdot OD$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\left| -\frac{n_1}{l_1} \right| \cdot \left| -\frac{n_2}{l_2} \right| = \left| -\frac{n_1}{m_1} \right| \cdot \left| -\frac{n_2}{m_2} \right|$
$\left| \frac{n_1n_2}{l_1l_2} \right| = \left| \frac{n_1n_2}{m_1m_2} \right|$
આથી $|l_1l_2| = |m_1m_2|$,જેનો અર્થ છે કે $l_1l_2 = m_1m_2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (-2, 1)$ છે.
વર્તુળ $(4, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(-2, 1)$ અને બિંદુ $(4, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r^2 = (4 - (-2))^2 + (3 - 1)^2 = (6)^2 + (2)^2 = 36 + 4 = 40$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 40$.
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 40$.
$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 2)$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $(4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર અને બિંદુ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{13})^2$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 13$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 = 13$
$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0$.

(A) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $A(x-h)^2 + A(y-k)^2 = r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ: $\frac{K(x + 1)^2}{3} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$.
$(x+1)^2$ અને $(y+2)^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{K}{3} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$K = \frac{3}{4}$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર રેખા $y = x - 1$ પર હોવાથી,$k = h - 1$ અથવા $h - k = 1$ ... $(i)$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 3$ છે. તેથી વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 9$ થાય.
વર્તુળ બિંદુ $(7, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(7 - h)^2 + (3 - k)^2 = 9$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $k = h - 1$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$(7 - h)^2 + (3 - (h - 1))^2 = 9$
$(7 - h)^2 + (4 - h)^2 = 9$
$49 - 14h + h^2 + 16 - 8h + h^2 = 9$
$2h^2 - 22h + 56 = 0$
$h^2 - 11h + 28 = 0$
$(h - 4)(h - 7) = 0$.
જો $h = 4$ હોય,તો $k = 3$. સમીકરણ $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ મળે છે.

(D) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(-4, 3)$ અને $(12, -1)$ મૂકતા:
$(x - (-4))(x - 12) + (y - 3)(y - (-1)) = 0$
$(x + 4)(x - 12) + (y - 3)(y + 1) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 12x + 4x - 48) + (y^2 + y - 3y - 3) = 0$
$x^2 + y^2 - 8x - 2y - 51 = 0$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $(3, -2)$ અને $(-2, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્રથી આ બિંદુઓનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યાનો વર્ગ) હોય:
$(h - 3)^2 + (k + 2)^2 = (h + 2)^2 + (k - 0)^2$
$h^2 - 6h + 9 + k^2 + 4k + 4 = h^2 + 4h + 4 + k^2$
$-6h + 4k + 13 = 4h + 4$
$10h - 4k = 9$ --- $(1)$
કેન્દ્ર $(h, k)$ રેખા $2x - y = 3$ પર આવેલું છે,તેથી:
$2h - k = 3$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા,$8h - 4k = 12$ મળે. સમીકરણ $(1)$ માંથી બાદ કરતા:
$(10h - 4k) - (8h - 4k) = 9 - 12$
$2h = -3 \Rightarrow h = -\frac{3}{2}$
$h$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$2(-\frac{3}{2}) - k = 3 \Rightarrow -3 - k = 3 \Rightarrow k = -6$
કેન્દ્ર $(-\frac{3}{2}, -6)$ છે. ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2$:
$r^2 = (-\frac{3}{2} + 2)^2 + (-6 - 0)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 36 = \frac{1}{4} + 36 = \frac{145}{4}$
સમીકરણ $(x + \frac{3}{2})^2 + (y + 6)^2 = \frac{145}{4}$ થશે.
$x^2 + 3x + \frac{9}{4} + y^2 + 12y + 36 = \frac{145}{4}$
$x^2 + y^2 + 3x + 12y + 2 = 0$.

(A) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $x^2$ નો સહગુણક એ $y^2$ ના સહગુણક જેટલો હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a = b$.
$2$. $xy$ પદનો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $h = 0$.
આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + 3y^2 + 4x + 8y - 6 = 0$ માટે,આપણે સહગુણકોની સરખામણી સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે કરીએ છીએ.
અહીં,$b = 3$.
તેથી,સમીકરણ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે,$a = 3$ અને $h = 0$ હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - \alpha}{\cos \theta} = \frac{y - \beta}{\sin \theta} = k$ છે,જ્યાં $k$ એ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ થી અંતર છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\alpha + k \cos \theta, \beta + k \sin \theta)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ બિંદુ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ પર હોવાથી:
$(\alpha + k \cos \theta)^2 + (\beta + k \sin \theta)^2 = r^2$
$k^2 + 2k(\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta) + (\alpha^2 + \beta^2 - r^2) = 0$
આ $k$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. તેના બીજ $k_1$ અને $k_2$ એ અંતર $PA$ અને $PB$ દર્શાવે છે.
બીજનો ગુણાકાર $k_1 k_2 = PA \cdot PB = \alpha^2 + \beta^2 - r^2$ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળના પ્રચલ સમીકરણો:
$x = -1 + 2\cos \theta \Rightarrow \frac{x + 1}{2} = \cos \theta$
$y = 3 + 2\sin \theta \Rightarrow \frac{y - 3}{2} = \sin \theta$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{x + 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y - 3}{2}\right)^2 = 1$
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 2^2$
આને વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે:
અહીં,$h = -1$ અને $k = 3$.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-1, 3)$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 + 4g + c = 0$,જેનો અર્થ છે $c = -4g - 4$.
$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c} = 5$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4(g^2 - c) = 25$.
$c = -4g - 4$ મૂકતા,$4(g^2 + 4g + 4) = 25$.
$4g^2 + 16g + 16 = 25 \Rightarrow 4g^2 + 16g - 9 = 0$.
$g$ માટે ઉકેલતા,$(2g + 9)(2g - 1) = 0$,તેથી $g = -\frac{9}{2}$ અથવા $g = \frac{1}{2}$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. કેન્દ્ર પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$-g > 0$,તેથી $g < 0$.
આમ,આપણે $g = -\frac{9}{2}$ પસંદ કરીએ છીએ.
પછી $c = -4(-\frac{9}{2}) - 4 = 18 - 4 = 14$.
સમીકરણ $x^2 + y^2 - 9x + 2fy + 14 = 0$ બને છે.

(B) વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને ઉગમબિંદુથી $5$ ના અંતરે બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (5, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 10y + 25) = 25$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 10x - 10y + 25 = 0$ મળે છે.

(B) ત્રિકોણ $x = 0$,$y = 0$,અને $2x + 3y = 5$ રેખાઓ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે: $(0, 0)$,$(5/2, 0)$,અને $(0, 5/3)$.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ સ્વરૂપમાં હશે.
બિંદુ $(5/2, 0)$ મુકતા,$g = -5/4$ મળે છે.
બિંદુ $(0, 5/3)$ મુકતા,$f = -5/6$ મળે છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મુકતા,$x^2 + y^2 - (5/2)x - (5/3)y = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા,$6(x^2 + y^2) - 5(3x + 2y) = 0$ મળે છે.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ છે અને તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(\alpha - 0)^2 + (\beta - 0)^2} = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$h = \alpha$,$k = \beta$,અને $r^2 = \alpha^2 + \beta^2$ મૂકતા:
$(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2\alpha x + \alpha^2 + y^2 - 2\beta y + \beta^2 = \alpha^2 + \beta^2$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2 + y^2 - 2\alpha x - 2\beta y = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 + 4x + 8y + 15 = 0$ છે.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 + 2x + 4y + \frac{15}{2} = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + \frac{15}{2} - 1 - 4 = 0$.
$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 + \frac{5}{2} = 0$.
$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = -\frac{5}{2}$.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આ સમીકરણ કોઈ વાસ્તવિક બિંદુગણ દર્શાવતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર વ્યાસ $2x + 3y = 3$ અને $16x - y = 4$ નું છેદબિંદુ છે.
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $48x - 3y = 12$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $(2x + 3y) + (48x - 3y) = 3 + 12$ $\Rightarrow 50x = 15$ $\Rightarrow x = \frac{3}{10}$.
$x = \frac{3}{10}$ ને $16x - y = 4$ માં મૂકતા: $16(\frac{3}{10}) - y = 4$ $\Rightarrow \frac{48}{10} - 4 = y$ $\Rightarrow y = \frac{4}{5}$.
તેથી,કેન્દ્ર $(\frac{3}{10}, \frac{4}{5})$ છે.
વર્તુળ $(4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2$ એ કેન્દ્રથી $(4, 6)$ સુધીના અંતરનો વર્ગ છે:
$r^2 = (4 - \frac{3}{10})^2 + (6 - \frac{4}{5})^2 = \frac{4073}{100}$.
સમીકરણ $(x - \frac{3}{10})^2 + (y - \frac{4}{5})^2 = \frac{4073}{100}$ છે.
આને વિસ્તૃત કરતા: $5(x^2 + y^2) - 3x - 8y = 200$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0$ છે.
આ સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જે વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
અહીં,વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(3, 4)$ છે.
વ્યાસની લંબાઈ $d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ થાય.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ $3x - y - 4 = 0$ અને $x + 3y + 2 = 0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $y = 3x - 4$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 3(3x - 4) + 2 = 0$ $\Rightarrow 10x = 10$ $\Rightarrow x = 1$.
તેથી $y = -1$. આમ,કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 154$ છે. $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$r^2 = 49 \Rightarrow r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 49$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતે સમીકરણને ફરીથી લખતા:
$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 16$
$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 4^2$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે.
સરખામણી કરતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (4, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ મળે છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે જો $|k| = r$ હોય અને $y$-અક્ષને સ્પર્શે જો $|h| = r$ હોય.
અહીં,$|h| = |4| = 4 = r$,તેથી વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે.
વળી,$|k| = |-2| = 2 \neq r$,તેથી તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતું નથી.
આમ,વર્તુળ માત્ર $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે.

(B) વર્તુળની ત્રિજ્યા એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ થી સ્પર્શક રેખા $x + y - 5 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|1 + 2 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2$
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 2$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 2$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વર્તુળ ત્રીજા ચરણમાં યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(-r, -r)$ હોવું જોઈએ,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 5$ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-5, -5)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$h = -5$,$k = -5$,અને $r = 5$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x - (-5))^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$
$(x + 5)^2 + (y + 5)^2 = 25$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3x - 4y + 2 = 0$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને છેદે છે,તેથી તે બિંદુઓ પર $y$-યામ $0$ હશે.
સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$x^2 + 0^2 - 3x - 4(0) + 2 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 1)(x - 2) = 0$
આમ,$x = 1$ અથવા $x = 2$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(2, 0)$ છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \sqrt{{g^2} + {f^2} - c}$ છે.
આપેલ છે કે ${g^2} + {f^2} = c$,તેથી આપણે તેને ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$r = \sqrt{c - c} = \sqrt{0} = 0$.
તેથી,આ સમીકરણ $0$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે,જેને બિંદુ વર્તુળ પણ કહેવામાં આવે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x^2 - 8x + 12 = 0$ અને $y^2 - 14y + 45 = 0$ છે.
$x^2 - 8x + 12 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(x - 2)(x - 6) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 2$ અને $x = 6$.
$y^2 - 14y + 45 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(y - 5)(y - 9) = 0$ મળે છે,તેથી $y = 5$ અને $y = 9$.
ચોરસ બનાવતી રેખાઓ $x = 2, x = 6, y = 5$ અને $y = 9$ છે.
અંતર્ગત વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ચોરસનું મધ્યબિંદુ છે,જે વિકર્ણોનું છેદબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $(\frac{2 + 6}{2}, \frac{5 + 9}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{14}{2}) = (4, 7)$ દ્વારા મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = 0$.
$(1, 3)$ માંથી પસાર થતા: $1^2 + 3^2 + 2g(1) + 2f(3) = 0$ $\Rightarrow 10 + 2g + 6f = 0$ $\Rightarrow g + 3f = -5$ (સમીકરણ $1$).
$(2, 4)$ માંથી પસાર થતા: $2^2 + 4^2 + 2g(2) + 2f(4) = 0$ $\Rightarrow 20 + 4g + 8f = 0$ $\Rightarrow g + 2f = -5$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $f = 0$.
$f = 0$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $g = -5$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 10x = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(k, 3)$ વર્તુળ પર હોવાથી: $k^2 + 3^2 - 10(k) = 0 \Rightarrow k^2 - 10k + 9 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(k - 1)(k - 9) = 0$.
તેથી,$k = 1$ અથવા $k = 9$. વિકલ્પો મુજબ,$k = 1$ સાચો જવાબ છે.

(B) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = 0$ મળે.
તે $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 + 4g = 0 \Rightarrow g = -1$ મળે.
તે $(0, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 - 4f = 0 \Rightarrow f = 1$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$ છે.
બિંદુ $(k, -2)$ વર્તુળ પર હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$k^2 + (-2)^2 - 2(k) + 2(-2) = 0$
$k^2 + 4 - 2k - 4 = 0$
$k^2 - 2k = 0$
$k(k - 2) = 0$
આમ,$k = 0$ અથવા $k = 2$ મળે.
બિંદુઓ ભિન્ન હોવાથી,$(k, -2)$ એ $(0, -2)$ હોઈ શકે નહીં,તેથી $k \neq 0$.
તેથી,$k = 2$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 12x + 1 = 0$ છે.
કોઈ બિંદુ $(x, y)$ વર્તુળ પર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ અને તપાસીએ છીએ કે પરિણામ $0$ મળે છે કે નહીં.
બિંદુ $(6, -\sqrt{35})$ માટે:
$6^2 + (-\sqrt{35})^2 - 12(6) + 1 = 36 + 35 - 72 + 1 = 72 - 72 = 0$.
તેથી,$(6, -\sqrt{35})$ વર્તુળ પર છે.
બિંદુ $(3, -\sqrt{26})$ માટે:
$3^2 + (-\sqrt{26})^2 - 12(3) + 1 = 9 + 26 - 36 + 1 = 36 - 36 = 0$.
તેથી,$(3, -\sqrt{26})$ વર્તુળ પર છે.
આમ,વર્તુળ $(6, -\sqrt{35})$ અને $(3, -\sqrt{26})$ બિંદુઓની જોડીમાંથી પસાર થાય છે.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના વ્યાસ $x + y = 6$ અને $x + 2y = 4$ નું છેદબિંદુ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(x + 2y) - (x + y) = 4 - 6 \implies y = -2$.
$y = -2$ ને $x + y = 6$ માં મૂકતા,આપણને $x - 2 = 6 \implies x = 8$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(8, -2)$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $(6, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(8, -2)$ અને બિંદુ $(6, 2)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(6 - 8)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના વ્યાસનું છેદબિંદુ છે. સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x + 3y = -1$ $(i)$
$3x - y = 4$ (ii)
(ii) ને $3$ વડે ગુણતા: $9x - 3y = 12$ (iii)
$(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $11x = 11 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ ને (ii) માં મૂકતા: $3(1) - y = 4 \Rightarrow y = -1$.
આમ,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$ છે.
પરિઘ $2\pi r = 10\pi$ આપેલ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 5$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ મુજબ:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$.

(D) વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(g, g)$ અને ત્રિજ્યા $|g|$ છે. વર્તુળનું સમીકરણ $(x-g)^2 + (y-g)^2 = g^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2gx - 2gy + g^2 = 0$ થાય છે.
આ વર્તુળ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha - 2 = 0$ ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(g, g)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $|g|$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|g \cos \alpha + g \sin \alpha - 2|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = |g|$.
અહીં $\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} = 1$ હોવાથી,$|g(\cos \alpha + \sin \alpha) - 2| = |g|$.
આના બે કિસ્સા મળે છે: $g(\cos \alpha + \sin \alpha) - 2 = g$ અથવા $g(\cos \alpha + \sin \alpha) - 2 = -g$.
કિસ્સો $1$: $g(\cos \alpha + \sin \alpha - 1) = 2 \implies g = \frac{2}{\cos \alpha + \sin \alpha - 1}$.
કિસ્સો $2$: $g(\cos \alpha + \sin \alpha + 1) = 2 \implies g = \frac{2}{\cos \alpha + \sin \alpha + 1}$.
કેન્દ્ર $(g, g)$ માટે વિવિધ ચરણો ધ્યાનમાં લેતા,સહગુણકો માટે વિવિધ ચિહ્નો મેળવી શકાય છે,જે તમામ આપેલા સ્વરૂપો તરફ દોરી જાય છે. તેથી,બધા વિકલ્પો સાચા છે.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2, 1)$ થી રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
સૂત્ર $r = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{|3(2) + 4(1) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 4 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{5} = 1$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$.
વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 1$.
$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 1$.
$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$.

(B) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો $x = 2 + 3\cos \theta$ અને $y = 3\sin \theta - 1$ છે.
ત્રિકોણમિતીય પદોને અલગ કરવા માટે સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવતા:
$x - 2 = 3\cos \theta \implies \cos \theta = \frac{x - 2}{3}$
$y + 1 = 3\sin \theta \implies \sin \theta = \frac{y + 1}{3}$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને મૂકતા:
$(\frac{y + 1}{3})^2 + (\frac{x - 2}{3})^2 = 1$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2$
આ વર્તુળના સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્ર છે.
સમીકરણોની સરખામણી કરતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -1)$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 6y + 13 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g = 4 \implies g = 2$,$2f = 6 \implies f = 3$,અને $c = 13$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{2^2 + 3^2 - 13} = \sqrt{4 + 9 - 13} = \sqrt{0} = 0$ મળે છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $0$ છે.

(A) અહીં $x_1$ અને $x_2$ એ સમીકરણ $x^2 + 2x - 3 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$.
કેન્દ્રનો $x$-યામ $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ થશે.
અહીં $y_1$ અને $y_2$ એ સમીકરણ $y^2 + 4y - 12 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$y_1 + y_2 = -\frac{b}{a} = -4$.
કેન્દ્રનો $y$-યામ $\frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ થશે.
આમ,$PQ$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (-1, -2)$ છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી $c = 0$.
બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી $1 + 2g = 0 \Rightarrow g = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી $1 + 2f = 0 \Rightarrow f = -\frac{1}{2}$.
તેથી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - x - y = 0$ છે.
બિંદુ $(2k, 3k)$ વર્તુળ પર હોવાથી: $(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0 \Rightarrow 13k^2 - 5k = 0$.
આથી $k = 0$ અથવા $k = \frac{5}{13}$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $S(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ છે.
બિંદુ $P(0, 0)$ માટે: $S(0, 0) = 0^2 + 0^2 - 6(0) + 8(0) - 11 = -11$.
$S(0, 0) < 0$ હોવાથી,બિંદુ $P(0, 0)$ વર્તુળની અંદર છે.
બિંદુ $Q(1, 8)$ માટે: $S(1, 8) = 1^2 + 8^2 - 6(1) + 8(8) - 11 = 1 + 64 - 6 + 64 - 11 = 112$.
$S(1, 8) > 0$ હોવાથી,બિંદુ $Q(1, 8)$ વર્તુળની બહાર છે.
તેથી,એક બિંદુ અંદર અને એક બિંદુ વર્તુળની બહાર છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y + \lambda = 0$ છે.
સામાન્ય સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -1$,$f = -2$ અને $c = \lambda$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 2)$ છે.
કોઈ બિંદુમાંથી વર્તુળ પર અસંખ્ય સ્પર્શકો દોરવા માટે,તે બિંદુ વર્તુળ પર હોવું જોઈએ અને વર્તુળ એક બિંદુવર્તુળ (ત્રિજ્યા $= 0$) હોવું જોઈએ.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - \lambda} = \sqrt{1 + 4 - \lambda} = \sqrt{5 - \lambda}$ થાય.
ત્રિજ્યા $0$ લેતા,$\sqrt{5 - \lambda} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $5 - \lambda = 0$,તેથી $\lambda = 5$.

(C) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = 1$,$f = 1$ અને $c = 1$ મળે છે.
યામ અક્ષો સાથેના સ્પર્શબિંદુઓ $(-g, 0)$ અને $(0, -f)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-1, 0)$ અને $(0, -1)$ મળે છે.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,મધ્યકેન્દ્ર એ પરિકેન્દ્ર સાથે સંપાતી હોય છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે જે શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર છે.
મધ્યકેન્દ્ર મધ્યગાનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
મધ્યગાની લંબાઈ $3a$ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર (જે પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે) $R = \frac{2}{3} \times 3a = 2a$ થાય.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 2a$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = (2a)^2 = 4a^2$ થાય.
આપેલ વિકલ્પોમાં $4a^2$ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2)$ છે.
આપેલ સમીકરણો પરથી,$x_1 + x_2 = -2a$ અને $x_1x_2 = -b^2$ મળે છે.
તે જ રીતે,$y_1 + y_2 = -2p$ અને $y_1y_2 = -q^2$ મળે છે.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-2a)x + (-b^2) + y^2 - (-2p)y + (-q^2) = 0$ મળે છે.
આમ,અંતિમ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2ax + 2py - b^2 - q^2 = 0$ થાય છે.

(B) વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી બિંદુઓ $(3, 4)$ અને $(-1, -2)$ ને જોડતો રેખાખંડ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(3, 4)$ અને $(-1, -2)$ મૂકતા:
$(x - 3)(x + 1) + (y - 4)(y + 2) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 + x - 3x - 3) + (y^2 + 2y - 4y - 8) = 0$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 11 = 0$

(A) આપેલ વર્તુળના પ્રાચલિત સમીકરણો:
$x = -7 + 4 \cos \theta$
$y = 3 + 4 \sin \theta$
પદોને ગોઠવતા:
$x + 7 = 4 \cos \theta$
$y - 3 = 4 \sin \theta$
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = (4 \cos \theta)^2 + (4 \sin \theta)^2$
$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = 16 \cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta$
$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = 16(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી:
$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(A) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4^2$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25) = 16$
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 + 25 - 16 = 0$
$x^2 + y^2 - 6x - 10y + 18 = 0$

(A) વર્તુળના વ્યાસાંત બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય ત્યારે વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ થાય.
આપેલ બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(3, 4)$ મૂકતા:
$(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 4x + 3) + (y^2 - 6y + 8) = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0$.

(B) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને $x$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $(-1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$(-1 - h)^2 + (1 - k)^2 = k^2$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(h + 1)^2 + 1 - 2k + k^2 = k^2$,જેનું સાદું રૂપ $h^2 + 2h + 2 - 2k = 0$ થાય છે.
આ $h$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે: $h^2 + 2h + (2 - 2k) = 0$.
$h$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(2 - 2k) \geq 0$.
$4 - 8 + 8k \geq 0$.
$8k - 4 \geq 0$.
$8k \geq 4$.
$k \geq 1/2$.

(C) ધારો કે વર્તુળ $x$-અક્ષને $A$ માં અને $y$-અક્ષને $B$ માં છેદે છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને બંને અક્ષો પર $5$ લંબાઈના અંતઃખંડો કાપે છે,તેથી બિંદુઓ $A(5,0)$ અને $B(0,5)$ છે.
$\angle AOB = 90^{\circ}$ હોવાથી,રેખાખંડ $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $(5,0)$ અને $(0,5)$ મૂકતા:
$(x - 5)(x - 0) + (y - 0)(y - 5) = 0$
$x(x - 5) + y(y - 5) = 0$
$x^2 - 5x + y^2 - 5y = 0$
$x^2 + y^2 - 5x - 5y = 0$.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $5x + 12y - 1 = 0$ પરના લંબનું અંતર છે.
$r = \frac{|5(0) + 12(0) - 1|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{1}{\sqrt{169}} = \frac{1}{13}$.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = r^2$ છે.
$r = \frac{1}{13}$ મુકતા,આપણને $x^2 + y^2 = (\frac{1}{13})^2 = \frac{1}{169}$ મળે.
બંને બાજુ $169$ વડે ગુણતા,$169(x^2 + y^2) = 1$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસો $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ નું છેદબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા: $2x - 3y = 5$ ($3$ વડે ગુણતા) $\Rightarrow 6x - 9y = 15$ અને $3x - 4y = 7$ ($2$ વડે ગુણતા) $\Rightarrow 6x - 8y = 14$.
બાદબાકી કરતા: $(6x - 8y) - (6x - 9y) = 14 - 15 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ ને $2x - 3(-1) = 5$ માં મૂકતા: $2x + 3 = 5 \Rightarrow x = 1$.
તેથી,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 154$. $\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{22}{7} r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = 154 \times \frac{7}{22} = 49$.
તેથી,$r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 49$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y = 47$.