Equations of circle Questions in Gujarati

(A) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષ પર $a = 6$ તથા $y$-અક્ષ પર $b = 4$ લંબાઈના અંતઃખંડ બનાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ થાય.
કેન્દ્ર પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,યામ $(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}) = (3, 2)$ થશે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $(h, k)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ છે.
$h = 3$ અને $k = 2$ મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 - 2(3)x - 2(2)y = 0$ મળે.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 4y = 0$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(1, \sqrt{2})$,$(7, \sqrt{2})$ અને $(1, 3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$g = -4$,$f = -\frac{3 + \sqrt{2}}{2}$ અને $c = 7 + 3\sqrt{2}$ મળે છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 - 8x - (3 + \sqrt{2})y + 7 + 3\sqrt{2} = 0$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$g = \frac{\lambda}{2}$,$f = \frac{1 - \lambda}{2}$,અને $c = 5$ મળે.
વર્તુળ માટે $g^2 + f^2 - c > 0$ હોવું જોઈએ,જે $2\lambda^2 - 2\lambda - 19 > 0$ આપે છે.
ત્રિજ્યા $r \leq 5$ હોવાથી $r^2 \leq 25$,એટલે કે $2\lambda^2 - 2\lambda - 119 \leq 0$.
ઉકેલતા,$-7.23 \leq \lambda \leq 8.23$ મળે.
શરત $2\lambda^2 - 2\lambda - 19 > 0$ ચકાસતા,માન્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $\{-7, -6, -5, -4, -3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ છે.
કુલ $10$ મૂલ્યો મળે છે.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-2, 0)$,$B(2, 0)$ અને $C(0, 2\sqrt{3})$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર તેના મધ્યકેન્દ્ર સમાન હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{-2+2+0}{3}, \frac{0+0+2\sqrt{3}}{3}\right) = \left(0, \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ છે.
ત્રિજ્યા $R$ એ મધ્યકેન્દ્રથી કોઈ પણ શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર છે,દા.ત. $B(2, 0)$:
$R^2 = (2-0)^2 + (0 - \frac{2}{\sqrt{3}})^2 = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-0)^2 + (y - \frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{16}{3}$ છે.
$x^2 + y^2 - \frac{4}{\sqrt{3}}y + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$.
$x^2 + y^2 - \frac{4}{\sqrt{3}}y - 4 = 0$.
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,$\sqrt{3}x^2 + \sqrt{3}y^2 - 4y - 4\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
કેન્દ્ર $y - 4x + 3 = 0$ રેખા પર હોવાથી,$k - 4h + 3 = 0$,એટલે કે $k = 4h - 3$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી બિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(4, 5)$ સુધીનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હોવું જોઈએ.
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \Rightarrow h + k = 7$.
$h + k = 7$ માં $k = 4h - 3$ મૂકતા:
$h + (4h - 3) = 7$ $\Rightarrow 5h = 10$ $\Rightarrow h = 2$.
તેથી $k = 4(2) - 3 = 5$.
કેન્દ્ર $(2, 5)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(2, 5)$ અને $(2, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
તે $y-$અક્ષને $(0, 2)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(r, 2)$ અથવા $(-r, 2)$ છે.
વર્તુળ $(-2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(-r, 2)$ હોવું જોઈએ.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(-r, 2)$ થી $(0, 2)$ બિંદુ સુધીનું અંતર છે,જે $r$ છે.
કેન્દ્ર $(-r, 2)$ થી $(-2, 4)$ સુધીનું અંતર પણ $r$ છે.
તેથી,$(-r - (-2))^2 + (2 - 4)^2 = r^2$
$(2 - r)^2 + (-2)^2 = r^2$
$4 - 4r + r^2 + 4 = r^2$
$8 - 4r = 0 \Rightarrow r = 2.$
આમ,કેન્દ્ર $(-2, 2)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ કેન્દ્ર $(-2, 2)$ માંથી પસાર થવો જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$ માટે: $2(-2) - 3(2) + 10 = -4 - 6 + 10 = 0.$
કેન્દ્ર $(-2, 2)$ એ સમીકરણ $2x - 3y + 10 = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી આ રેખા વ્યાસ છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અંતઃકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર એક જ બિંદુ $(1, 1)$ પર હોય છે.
અંતઃત્રિજ્યા $r$ એ અંતઃકેન્દ્ર $(1, 1)$ થી બાજુ $3x + 4y + 3 = 0$ નું લંબ અંતર છે:
$r = \frac{|3(1) + 4(1) + 3|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 + 3|}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા બમણી હોય છે:
$R = 2r = 2(2) = 4$.
કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R = 4$ ધરાવતા પરિવર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 16$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 14 = 0$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, 2)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $|h|$ છે. વર્તુળ $y-$ અક્ષને $(0, 2)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, 2)$ થી $y-$ અક્ષનું અંતર $|h|$ થાય.
વર્તુળ $(-1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, 2)$ થી $(-1, 0)$ નું અંતર ત્રિજ્યા $|h|$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$(h - (-1))^2 + (2 - 0)^2 = h^2$
$(h + 1)^2 + 4 = h^2$
$h^2 + 2h + 1 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
કેન્દ્ર $(-\frac{5}{2}, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = |h| = \frac{5}{2}$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + \frac{5}{2})^2 + (y - 2)^2 = (\frac{5}{2})^2$ છે.
$x-$ અક્ષ પરની જીવા શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા:
$(x + \frac{5}{2})^2 + (0 - 2)^2 = \frac{25}{4}$
$(x + \frac{5}{2})^2 + 4 = \frac{25}{4}$
$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$
$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}$.
તેથી,$x_1 = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = -1$ અને $x_2 = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = -4$.
જીવાની લંબાઈ $|x_1 - x_2| = |-1 - (-4)| = 3$ થાય.

(D) બે રેખાઓ $5x + 8y = 13$ અને $4x - y = 3$ નું છેદબિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
$4x - y = 3$ પરથી $y = 4x - 3$ મળે. પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $5x + 8(4x - 3) = 13$ $\Rightarrow 37x = 37$ $\Rightarrow x = 1$. તેથી $y = 1$. કેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.
વર્તુળનું વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
અહીં,$-g = a^2 - 7a + 11 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 7a + 10 = 0$ $\Rightarrow a = 2, 5$.
અને $-f = a^2 - 6a + 6 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 6a + 5 = 0$ $\Rightarrow a = 1, 5$.
બંને શરતો માટે $a = 5$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 - b^3$ થાય.
વાસ્તવિક વર્તુળ માટે,ત્રિજ્યાનો વર્ગ ધન હોવો જોઈએ: $1 - b^3 > 0 \Rightarrow b < 1$.

(A) શિરોબિંદુઓ $A(-a, 0)$ અને $B(a, 0)$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $2a$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,ત્રીજા શિરોબિંદુ $C$ નો $x$-યામ $AB$ નું મધ્યબિંદુ એટલે કે $0$ થશે.
$2a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2a) = \sqrt{3}a$ છે.
$C$ એ $x$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,તેના યામ $C(0, \sqrt{3}a)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ધારો.
$A(-a, 0)$ અને $B(a, 0)$ વર્તુળ પર હોવાથી:
$a^2 - 2ga + c = 0$ અને $a^2 + 2ga + c = 0$.
બંનેની બાદબાકી કરતા $4ga = 0$,તેથી $g = 0$.
તેથી $a^2 + c = 0$,એટલે કે $c = -a^2$.
$C(0, \sqrt{3}a)$ વર્તુળ પર હોવાથી:
$0^2 + (\sqrt{3}a)^2 + 2f(\sqrt{3}a) - a^2 = 0$
$3a^2 + 2\sqrt{3}af - a^2 = 0$
$2a^2 + 2\sqrt{3}af = 0$
$f = -\frac{a^2}{\sqrt{3}a} = -\frac{a}{\sqrt{3}}$.
સમીકરણ $x^2 + y^2 - \frac{2a}{\sqrt{3}}y - a^2 = 0$ મળે.
$3$ વડે ગુણતા,$3x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{3}ay - 3a^2 = 0$,અથવા $3x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{3}ay = 3a^2$ મળે.

(A) ધારો કે $P = (1, 0)$ અને $Q = (-1, 0)$. ધારો કે બિંદુ $X = (x, y)$ શરત $\frac{XP}{XQ} = \frac{1}{2}$ નું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $2XP = XQ$,અથવા $4XP^2 = XQ^2$.
કોઓર્ડિનેટ્સ મૂકતા: $4((x - 1)^2 + y^2) = (x + 1)^2 + y^2$.
વિસ્તરણ કરતા: $4(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$3x^2 + 3y^2 - 10x + 3 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે. બિંદુઓ $A, B, C$ આ શરતનું પાલન કરતા હોવાથી,તેઓ આ વર્તુળ પર આવેલા છે.
$\Delta ABC$ નું પરિકેન્દ્ર એ આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g = -\frac{10}{3} \Rightarrow g = -\frac{5}{3}$ અને $f = 0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ છે.

(A) $(h, k)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = r^{2}$
$x^{2} + y^{2} = r^{2}$.

(A) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (-3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(x - (-3))^{2} + (y - 2)^{2} = 4^{2}$
$(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+8x+10y-8=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x^{2}+8x) + (y^{2}+10y) = 8$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,બંને બાજુ $(8/2)^{2} = 16$ અને $(10/2)^{2} = 25$ ઉમેરતા:
$(x^{2}+8x+16) + (y^{2}+10y+25) = 8+16+25$.
આથી $(x+4)^{2} + (y+5)^{2} = 49$ મળે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે:
$h = -4$,$k = -5$,અને $r^{2} = 49$,તેથી $r = 7$.
આમ,કેન્દ્ર $(-4, -5)$ છે અને ત્રિજ્યા $7$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ $(2, -2)$ અને $(3, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$(2 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2$ --- $(1)$
$(3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2$ --- $(2)$
વળી,કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $x + y = 2$ રેખા પર હોવાથી:
$h + k = 2$ --- $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$2h + 12k = 17$ --- $(4)$
$(3)$ પરથી,$h = 2 - k$ ને $(4)$ માં મૂકતા:
$10k = 13 \implies k = 1.3$
$h = 0.7$
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા $r^2 = 12.58$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0.7)^2 + (y - 1.3)^2 = 12.58$ છે.

(A) $(h, k)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(x-0)^{2} + (y-2)^{2} = 2^{2}$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2} + (y^{2} - 4y + 4) = 4$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^{2} + y^{2} - 4y + 4 = 4$
$x^{2} + y^{2} - 4y = 0$

(A) $(h, k)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(h, k) = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(x - (-2))^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{2}$
$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^{2} + 4x + 4) + (y^{2} - 6y + 9) = 16$
$x^{2} + y^{2} + 4x - 6y + 13 = 16$
$x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 3 = 0$.

(A) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ છે.
આપેલ કેન્દ્ર $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{12}$ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{1}{4}\right)^{2} = \left(\frac{1}{12}\right)^{2}$
$x^{2} - x + \frac{1}{4} + y^{2} - \frac{y}{2} + \frac{1}{16} = \frac{1}{144}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $144$ વડે ગુણતા:
$144x^{2} - 144x + 36 + 144y^{2} - 72y + 9 = 1$
$144x^{2} + 144y^{2} - 144x - 72y + 45 - 1 = 0$
$144x^{2} + 144y^{2} - 144x - 72y + 44 = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$36x^{2} + 36y^{2} - 36x - 18y + 11 = 0$.

(A) $(h, k)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ:
$(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-1)^{2} + (y-1)^{2} = (\sqrt{2})^{2}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^{2} - 2x + 1) + (y^{2} - 2y + 1) = 2$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 2 = 2$
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y = 0$

(A) $(h, k)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (-a, -b)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{a^{2}-b^{2}}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x - (-a))^{2} + (y - (-b))^{2} = (\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}$
$(x+a)^{2} + (y+b)^{2} = a^{2}-b^{2}$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2} + 2ax + a^{2} + y^{2} + 2by + b^{2} = a^{2} - b^{2}$
બંને બાજુથી $a^{2}$ બાદ કરતા અને $b^{2}$ ઉમેરતા:
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + 2b^{2} = 0$

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $(x+5)^{2}+(y-3)^{2}=36$ છે.
આને વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે:
$(x-(-5))^{2}+(y-3)^{2}=6^{2}$.
અહીં,$h = -5$,$k = 3$,અને $r = 6$.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-5, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $6$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-4x-8y-45=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x^{2}-4x) + (y^{2}-8y) = 45$ મળે.
$x$ અને $y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^{2}-4x+4) + (y^{2}-8y+16) = 45 + 4 + 16$.
આનું સાદું રૂપ $(x-2)^{2} + (y-4)^{2} = 65$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{65}$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-8x+10y-12=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા:
$(x^{2}-8x) + (y^{2}+10y) = 12$.
$x$ અને $y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^{2}-8x+16) + (y^{2}+10y+25) = 12+16+25$.
આનું સાદું રૂપ:
$(x-4)^{2} + (y+5)^{2} = 53$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $(h, k) = (4, -5)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{53}$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $2x^{2} + 2y^{2} - x = 0$ છે.
$x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોને $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + y^{2} - \frac{x}{2} = 0$.
$x$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^{2} - \frac{x}{2} + (\frac{1}{4})^{2}) + y^{2} = (\frac{1}{4})^{2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(x - \frac{1}{4})^{2} + (y - 0)^{2} = (\frac{1}{4})^{2}$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{1}{4}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ છે.
વર્તુળ $(4, 1)$ અને $(6, 5)$ માંથી પસાર થાય છે:
$(4 - h)^{2} + (1 - k)^{2} = r^{2}$ $(1)$
$(6 - h)^{2} + (5 - k)^{2} = r^{2}$ $(2)$
કેન્દ્ર $(h, k)$ રેખા $4x + y = 16$ પર છે:
$4h + k = 16$ $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$(4 - h)^{2} + (1 - k)^{2} = (6 - h)^{2} + (5 - k)^{2}$
$16 - 8h + h^{2} + 1 - 2k + k^{2} = 36 - 12h + h^{2} + 25 - 10k + k^{2}$
$17 - 8h - 2k = 61 - 12h - 10k$
$4h + 8k = 44 \Rightarrow h + 2k = 11$ $(4)$
$(3)$ અને $(4)$ ઉકેલતા:
$(3)$ પરથી,$k = 16 - 4h$. $(4)$ માં મૂકતા:
$h + 2(16 - 4h) = 11$ $\Rightarrow h + 32 - 8h = 11$ $\Rightarrow -7h = -21$ $\Rightarrow h = 3$.
તેથી $k = 16 - 4(3) = 4$.
$h=3, k=4$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$(4 - 3)^{2} + (1 - 4)^{2} = r^{2}$ $\Rightarrow 1^{2} + (-3)^{2} = r^{2}$ $\Rightarrow 1 + 9 = 10 = r^{2}$.
સમીકરણ $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 10$ છે.
$x^{2} - 6x + 9 + y^{2} - 8y + 16 = 10 \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 15 = 0$.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ છે.
વર્તુળ $(2, 3)$ અને $(-1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$(2 - h)^{2} + (3 - k)^{2} = r^{2}$ $(1)$
$(-1 - h)^{2} + (1 - k)^{2} = r^{2}$ $(2)$
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $x - 3y - 11 = 0$ રેખા પર હોવાથી:
$h - 3k = 11$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$6h + 4k = 11$ $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ ઉકેલતા,$h = \frac{7}{2}$ અને $k = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા $r^{2} = \frac{130}{4}$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - \frac{7}{2})^{2} + (y + \frac{5}{2})^{2} = \frac{130}{4}$ થાય.
જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + y^{2} - 7x + 5y - 14 = 0$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ છે.
ત્રિજ્યા $r=5$ હોવાથી અને કેન્દ્ર $x-$અક્ષ પર હોવાથી,$k=0$ થાય. તેથી,સમીકરણ $(x-h)^{2}+y^{2}=25$ બને.
વર્તુળ $(2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $(2-h)^{2}+3^{2}=25$.
$(2-h)^{2}+9=25 \Rightarrow (2-h)^{2}=16$.
$2-h = \pm 4$.
જો $2-h=4$ હોય,તો $h=-2$. સમીકરણ $(x+2)^{2}+y^{2}=25 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+4x-21=0$ મળે.
જો $2-h=-4$ હોય,તો $h=6$. સમીકરણ $(x-6)^{2}+y^{2}=25 \Rightarrow x^{2}+y^{2}-12x+11=0$ મળે.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ છે.
વર્તુળ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(0-h)^{2}+(0-k)^{2}=r^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $h^{2}+k^{2}=r^{2}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=h^{2}+k^{2}$ બને છે.
વર્તુળ યામ અક્ષો પર $a$ અને $b$ અંતઃખંડો બનાવે છે,તેથી તે $(a,0)$ અને $(0,b)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(a,0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(a-h)^{2}+(0-k)^{2}=h^{2}+k^{2}$ $\Rightarrow a^{2}-2ah+h^{2}+k^{2}=h^{2}+k^{2}$ $\Rightarrow a^{2}-2ah=0$. $a \neq 0$ હોવાથી,આપણને $h=\frac{a}{2}$ મળે છે.
$(0,b)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(0-h)^{2}+(b-k)^{2}=h^{2}+k^{2}$ $\Rightarrow h^{2}+b^{2}-2bk+k^{2}=h^{2}+k^{2}$ $\Rightarrow b^{2}-2bk=0$. $b \neq 0$ હોવાથી,આપણને $k=\frac{b}{2}$ મળે છે.
$h$ અને $k$ ની કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(x-\frac{a}{2})^{2}+(y-\frac{b}{2})^{2}=(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{b}{2})^{2}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}-ax+\frac{a^{2}}{4}+y^{2}-by+\frac{b^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x^{2}+y^{2}-ax-by=0$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 2)$ આપેલ છે.
વર્તુળ $(4, 5)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $(r)$ એ $(2, 2)$ અને $(4, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (5 - 2)^{2}} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ છે.
$(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = (\sqrt{13})^{2}$.
$x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 4y + 4 = 13$.
$x^{2} + y^{2} - 4x - 4y + 8 = 13$.
$x^{2} + y^{2} - 4x - 4y - 5 = 0$.

(B) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+px+(1-p)y+5=0$ ની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2p^{2} - 2p - 19}}{2}$ છે.
$r \in (0, 5]$ હોવાથી,$0 < 2p^{2} - 2p - 19 \leq 100$ મળે.
આ અસમતા ઉકેલતા,$p$ ની કિંમતો માટે $q = p^{2}$ ની પૂર્ણાંક કિંમતો $8$ થી $68$ સુધી મળે છે.
કુલ પૂર્ણાંક કિંમતોની સંખ્યા $68 - 8 + 1 = 61$ થાય.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $36 x^{2}+36 y^{2}-108 x+120 y+C=0$ છે.
$36$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36}=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{3}{2}, -\frac{5}{3})$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{h^{2}+k^{2}-\frac{C}{36}} = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}}$ છે.
વર્તુળ યામ અક્ષોને છેદતું કે સ્પર્શતું ન હોવાથી,કેન્દ્રથી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
$|h| > r$ $\Rightarrow \frac{3}{2} > r$ $\Rightarrow \frac{9}{4} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{25}{9}$ $\Rightarrow C > 100$.
$|k| > r$ $\Rightarrow \frac{5}{3} > r$ $\Rightarrow \frac{25}{9} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{9}{4}$ $\Rightarrow C > 81$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $C > 100$ મળે છે.
હવે,$x-2 y=4$ અને $2 x-y=5$ નું છેદબિંદુ $(2, -1)$ છે.
બિંદુ $(2, -1)$ વર્તુળ $S$ ની અંદર આવેલું હોવાથી,$S(2, -1) < 0$.
$x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36} < 0 \Rightarrow 4+1-3(2)+\frac{10}{3}(-1)+\frac{C}{36} < 0$.
$5-6-\frac{10}{3}+\frac{C}{36} < 0$ $\Rightarrow -1-\frac{10}{3}+\frac{C}{36} < 0$ $\Rightarrow \frac{C}{36} < \frac{13}{3}$ $\Rightarrow C < 156$.
આમ,$100 < C < 156$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $\operatorname{Re}(z^{2})+2(\operatorname{Im}(z))^{2}+2 \operatorname{Re}(z)=0$.
$z=x+iy$ હોવાથી,$z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$ થાય,તેથી $\operatorname{Re}(z^{2})=x^{2}-y^{2}$ અને $\operatorname{Im}(z)=y$ મળે.
સમીકરણ $(x^{2}-y^{2})+2y^{2}+2x=0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2}+y^{2}+2x=0$ થાય છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-1, 0)$ છે.
આપેલ પરવલય: $x^{2}-6x-y+13=0$.
તેને $(x-3)^{2}-9-y+13=0$ તરીકે લખતા,આપણને $(x-3)^{2}=y-4$ મળે છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(3, 4)$ છે.
રેખા $(-1, 0)$ અને $(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{4-0}{3-(-1)} = \frac{4}{4} = 1$.
રેખાનું સમીકરણ $y-0=1(x+1)$ છે,જે $y=x+1$ થાય છે.
$y$-અંતઃખંડ એ $x=0$ હોય ત્યારે $y$ ની કિંમત છે,જે $1$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ છે.
અબ્સિસ $x_{1}, x_{2}$ એ $2x^{2}-rx+p=0$ ના બીજ છે,તેથી $x_{1}+x_{2} = \frac{r}{2}$ અને $x_{1}x_{2} = \frac{p}{2}$.
કોટિઓ $y_{1}, y_{2}$ એ $y^{2}-sy-q=0$ ના બીજ છે,તેથી $y_{1}+y_{2} = s$ અને $y_{1}y_{2} = -q$.
$PQ$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ છે.
$x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $x^{2} - \frac{r}{2}x + \frac{p}{2} + y^{2} - sy - q = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $2(x^{2}+y^{2}) - rx - 2sy + p - 2q = 0$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $2(x^{2}+y^{2}) - 11x - 14y - 22 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$r = 11$,$2s = 14 \implies s = 7$,અને $p-2q = -22$.
આપણે $2r+s-2q+p = 2(11) + 7 + (-22) = 22 + 7 - 22 = 7$ શોધવાનું છે.

(A) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું વિસ્તરણ $x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે $x_{1}, x_{2}$ એ $x^{2}-4x-6=0$ ના બીજ છે,તેથી $x_{1}+x_{2} = 4$ અને $x_{1}x_{2} = -6$.
આપેલ છે કે $y_{1}, y_{2}$ એ $y^{2}+2y-7=0$ ના બીજ છે,તેથી $y_{1}+y_{2} = -2$ અને $y_{1}y_{2} = -7$.
આ કિંમતોને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} - 4x - 6 + y^{2} + 2y - 7 = 0$
$x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 13 = 0$.
આને $x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2a = -4 \implies a = -2$
$2b = 2 \implies b = 1$
$c = -13$
તેથી,$a+b-c = -2 + 1 - (-13) = -1 + 13 = 12$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2gx+6y-19c=0$ છે.
વર્તુળ $(6,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$6^{2}+1^{2}-2g(6)+6(1)-19c=0$
$43-12g-19c=0 \implies 12g+19c=43$ $(1)$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(g, -3)$ છે. કેન્દ્ર રેખા $x-2cy=8$ પર છે,તેથી:
$g-2c(-3)=8 \implies g+6c=8$ $(2)$
$(2)$ પરથી,$g=8-6c$. $(1)$ માં મૂકતા:
$12(8-6c)+19c=43$
$96-53c=43 \implies c=1$
$c=1$ મૂકતા,$g=2$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-4x+6y-19=0$ છે.
$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^{2}-c'}$ છે,જ્યાં $c'=-19$.
લંબાઈ $= 2\sqrt{2^{2}-(-19)} = 2\sqrt{23}$.

(C) બિંદુઓ $(0, 0), (1, 0)$ અને $(0, 1)$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કાટખૂણો બનાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
આ ત્રણ બિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોવાથી,$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ ને જોડતો રેખાખંડ એ વર્તુળનો વ્યાસ થશે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ ને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ તરીકે લેતા:
$(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$
બિંદુ $(2k, 3k)$ આ વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 5k = 0$
$13k^2 - 5k = 0$
$k(13k - 5) = 0$
આથી $k = 0$ અથવા $k = \frac{5}{13}$ મળે.
બિંદુઓ ભિન્ન હોવાથી,$k = 0$ શક્ય નથી (કારણ કે તે બિંદુ $(0, 0)$ આપે છે,જે પહેલેથી જ આપેલું છે). તેથી,$k = \frac{5}{13}$.

(A) આપેલ રેખાઓ $3x + 5y = 1$ અને $(2+c)x + 5c^2y = 1$ છે.
પ્રથમ રેખા પરથી,$y = \frac{1-3x}{5}$. આ કિંમત બીજી રેખામાં મૂકતા:
$(2+c)x + 5c^2(\frac{1-3x}{5}) = 1$
$(2+c)x + c^2(1-3x) = 1$
$x(2+c-3c^2) = 1-c^2$
$x_c = \frac{1-c^2}{2+c-3c^2} = \frac{(1-c)(1+c)}{(1-c)(2+3c)} = \frac{1+c}{2+3c}$.
$h = \lim_{c \to 1} x_c = \frac{1+1}{2+3(1)} = \frac{2}{5}$.
હવે,$y_c = \frac{1-3x_c}{5} = \frac{1 - 3(\frac{1+c}{2+3c})}{5} = \frac{2+3c-3-3c}{5(2+3c)} = \frac{-1}{5(2+3c)}$.
$k = \lim_{c \to 1} y_c = \frac{-1}{5(2+3)} = -\frac{1}{25}$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{2}{5}, -\frac{1}{25})$ છે.
વર્તુળ $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2 - \frac{2}{5})^2 + (0 - (-\frac{1}{25}))^2 = (\frac{8}{5})^2 + (\frac{1}{25})^2 = \frac{64}{25} + \frac{1}{625} = \frac{1601}{625}$.
સમીકરણ $(x - \frac{2}{5})^2 + (y + \frac{1}{25})^2 = \frac{1601}{625}$ છે.
$x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} + y^2 + \frac{2}{25}y + \frac{1}{625} = \frac{1601}{625}$.
$625$ વડે ગુણતા: $625x^2 - 500x + 100 + 625y^2 + 50y + 1 = 1601$.
$625x^2 + 625y^2 - 500x + 50y - 1500 = 0$.
$25$ વડે ભાગતા: $25x^2 + 25y^2 - 20x + 2y - 60 = 0$.

(D) ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, 2)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 2$ થશે અને ત્રિજ્યા $r = |h|$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - 2)^2 = h^2$ છે.
વર્તુળ $(-1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(-1 - h)^2 + (0 - 2)^2 = h^2$
$(h + 1)^2 + 4 = h^2$
$h^2 + 2h + 1 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + \frac{5}{2})^2 + (y - 2)^2 = (\frac{5}{2})^2$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x^2 + y^2 + 5x - 4y + 4 = 0$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(-4, 0)$ માટે:
$(-4)^2 + (0)^2 + 5(-4) - 4(0) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$.
આમ,વર્તુળ $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ છે.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2+2x+1) + (y^2-4y+4) - 4 - 1 - 4 = 0$
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 3^2$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $(h, k) = (-1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ મળે છે.
પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = -1 + 3 \cos \theta$ અને $y = 2 + 3 \sin \theta$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, y)$ છે.
વર્તુળ $(4, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્રથી આ બિંદુઓનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
$\sqrt{(4-0)^2 + (0-y)^2} = \sqrt{(0-0)^2 + (2-y)^2}$
$16 + y^2 = (2-y)^2$
$16 + y^2 = 4 - 4y + y^2$
$16 = 4 - 4y$
$4y = -12$
$y = -3$
આમ,કેન્દ્ર $(0, -3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(0, -3)$ થી $(0, 2)$ સુધીનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(0-0)^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
હવે,$r^2 - r + 1$ ની કિંમત:
$r^2 - r + 1 = 5^2 - 5 + 1 = 25 - 5 + 1 = 21$.

(C) રેખાઓની જોડ $x^2 - y^2 - 2x + 4y - 3 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $(x - 1)^2 - (y - 2)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આથી રેખાઓ $x - y + 1 = 0$ અને $x + y - 3 = 0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ છે: $h - k = -1$ અને $h + k = 3$.
ઉકેલતા $h = 1$ અને $k = 2$ મળે છે.
વર્તુળ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 1$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+kx+(1-k)y+5=0$ છે.
વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=k/2$ અને $f=(1-k)/2$ મળે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{(1-k)^2}{4} - 5}$.
વર્તુળ માટે $r^2 > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $2k^2 - 2k - 19 > 0$.
$r \le 5$ માટે $r^2 \le 25$,તેથી $2k^2 - 2k - 119 \le 0$.
ઉકેલતા $k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $12$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $C_1$ નું સમીકરણ: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$.
તેથી,કેન્દ્ર $(3,2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$C_1$ નું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = 25\pi$.
ધારો કે જરૂરી સમકેન્દ્રી વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આપેલ છે કે જરૂરી વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $C_1$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે:
$\pi R^2 = 2 \times (25\pi) = 50\pi$.
$R^2 = 50$.
કેન્દ્ર $(3,2)$ વાળા સમકેન્દ્રી વર્તુળનું સમીકરણ: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 50$.
$x^2-6x+9 + y^2-4y+4 = 50$.
$x^2+y^2-6x-4y = 37$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+6x-14y+5=0$ નું કેન્દ્ર $(-3, 7)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-4x+10y-4=0$ નું કેન્દ્ર $(2, -5)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
કેન્દ્રો $(-3, 7)$ અને $(2, -5)$ મૂકતા:
$(x - (-3))(x - 2) + (y - 7)(y - (-5)) = 0$
$(x+3)(x-2) + (y-7)(y+5) = 0$
$x^2 - 2x + 3x - 6 + y^2 + 5y - 7y - 35 = 0$
$x^2 + y^2 + x - 2y - 41 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ છે.
તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-3$ અને $f=-2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2)$ છે.
માગેલ વર્તુળ સમકેન્દ્રી હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર પણ $(3, 2)$ થશે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય થશે,તેથી $r = |2| = 2$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ મળે છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$(x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) = 4$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A \equiv (x_1, y_1)$ અને $B \equiv (x_2, y_2)$.
આપેલ સમીકરણો પરથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
$x_1+x_2 = -2a$ અને $x_1x_2 = -b^2$.
$y_1+y_2 = -2p$ અને $y_1y_2 = -q^2$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$ મળે છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા:
$x^2 - (-2a)x + (-b^2) + y^2 - (-2p)y + (-q^2) = 0$.
$x^2 + y^2 + 2ax + 2py - (b^2+q^2) = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-ax-by=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે:
$(x^2-ax+\frac{a^2}{4})+(y^2-by+\frac{b^2}{4}) = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}$
$(x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{b}{2})^2 = (\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2})^2$.
આ સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ છે.
પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \cos \theta$ અને $y = \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \sin \theta$ મળે છે.

(C) બાજુઓના આપેલ સમીકરણો $x=-2, x=6, y=-2$ અને $y=5$ છે.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-2, -2)$,$B(6, -2)$,$C(6, 5)$ અને $D(-2, 5)$ છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ વર્તુળના વ્યાસ તરીકે કાર્ય કરે છે.
વિકર્ણ $AC$ ના અંતિમ બિંદુઓ $A(-2, -2)$ અને $C(6, 5)$ લેતા,વ્યાસ સ્વરૂપમાં વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
$(x - (-2))(x - 6) + (y - (-2))(y - 5) = 0$
$(x + 2)(x - 6) + (y + 2)(y - 5) = 0$
$x^2 - 6x + 2x - 12 + y^2 - 5y + 2y - 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 3y - 22 = 0$

(D) લંબચોરસ $x=-2, x=4, y=-2, y=5$ દ્વારા બંધાયેલ છે. શિરોબિંદુઓ $A(-2, -2), D(4, -2), B(4, 5), C(-2, 5)$ છે.
લંબચોરસનું કેન્દ્ર વિકર્ણોનું છેદબિંદુ છે,જે $AC$ અથવા $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $P = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{-2+5}{2}\right) = \left(1, \frac{3}{2}\right)$.
લંબચોરસની પહોળાઈ $4 - (-2) = 6$ એકમ છે,તેથી ઊભી બાજુઓને સ્પર્શવા માટેની ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ એકમ છે.
લંબચોરસની ઊંચાઈ $5 - (-2) = 7$ એકમ છે,તેથી આડી બાજુઓને સ્પર્શવા માટેની ત્રિજ્યા $r_2 = 3.5 = \frac{7}{2}$ એકમ છે.
કિસ્સો $1$: ત્રિજ્યા $r = 3$. સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-1.5)^2 = 3^2 \implies x^2 + y^2 - 2x - 3y - 5.75 = 0$.
કિસ્સો $2$: ત્રિજ્યા $r = 3.5$. સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-1.5)^2 = (3.5)^2 \implies x^2 + y^2 - 2x - 3y - 9 = 0$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x^2+y^2-2x-3y-9=0$ વિકલ્પમાં છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $A \equiv (x_1, y_1)$ અને $B \equiv (x_2, y_2)$.
આપેલ શરત મુજબ,$x^2+2ax-b^2=0$ ના બીજ $x_1, x_2$ છે,તેથી $x_1+x_2 = -2a$ અને $x_1x_2 = -b^2$.
તે જ રીતે,$y^2+2py-q^2=0$ ના બીજ $y_1, y_2$ છે,તેથી $y_1+y_2 = -2p$ અને $y_1y_2 = -q^2$.
$A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ ને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - x(x_1+x_2) + x_1x_2 + y^2 - y(y_1+y_2) + y_1y_2 = 0$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - x(-2a) - b^2 + y^2 - y(-2p) - q^2 = 0$ મળે.
તેથી,સમીકરણ $x^2+y^2+2ax+2py-(b^2+q^2) = 0$ છે.