Equations of circle Questions in Gujarati

(C) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(-4, 3)$ અને $(12, -1)$ મુકતા:
$(x + 4)(x - 12) + (y - 3)(y + 1) = 0$
$x^2 - 12x + 4x - 48 + y^2 + y - 3y - 3 = 0$
$x^2 + y^2 - 8x - 2y - 51 = 0$.
$y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2 \sqrt{f^2 - c}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
અહીં,$2f = -2 \implies f = -1$ અને $c = -51$.
અંતઃખંડની લંબાઈ $= 2 \sqrt{(-1)^2 - (-51)} = 2 \sqrt{1 + 51} = 2 \sqrt{52} = 2 \sqrt{4 \times 13} = 4 \sqrt{13}$.

(B) વર્તૂળ $X$-અક્ષને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આગળ સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $Y$-અક્ષ પર $(0, a)$ અથવા $(0, -a)$ પર હોવું જોઈએ.
આમ,ત્રિજ્યા $a$ છે.
વર્તૂળનું સમીકરણ $(x - 0)^2 + (y \mp a)^2 = a^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 + y^2 \mp 2ay + a^2 = a^2$ મળે.
તેથી,સમીકરણ $x^2 + y^2 \pm 2ay = 0$ છે.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 1)$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામના માનાંક જેટલી થાય.
તેથી,$r = |1| = 1$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 1$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$ મળે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી $c = 0$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
કેન્દ્ર $y$-અક્ષ પર હોવાથી તેનો $x$-યામ શૂન્ય થાય,તેથી $-g = 0$,એટલે કે $g = 0$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2fy = 0$ થાય.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = |f|$ છે.
ત્રિજ્યા $3$ આપેલી હોવાથી $|f| = 3$,એટલે કે $f = 3$ અથવા $f = -3$.
જો $f = 3$ લઈએ,તો સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6y = 0$ મળે.
જો $f = -3$ લઈએ,તો સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6y = 0$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$x^2 + y^2 + 6y = 0$ સાચો જવાબ છે.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બે વ્યાસ $2x + 3y + 1 = 0$ અને $3x - y - 4 = 0$ નું છેદબિંદુ છે.
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,$9x - 3y - 12 = 0$ મળે.
પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $(2x + 3y + 1) + (9x - 3y - 12) = 0 \implies 11x - 11 = 0 \implies x = 1$.
$x = 1$ ને $3x - y - 4 = 0$ માં મૂકતા,$3(1) - y - 4 = 0 \implies y = -1$ મળે.
તેથી,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$ છે.
પરિઘ $2\pi r = 10\pi$ છે,તેથી $r = 5$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$.

(A) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ એ $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળ બિંદુવર્તુળ બને તે માટે તેની ત્રિજ્યા શૂન્ય હોવી જોઈએ,એટલે કે $R = 0$.
તેથી,$\sqrt{g^2 + f^2 - c} = 0$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,આપણને $g^2 + f^2 - c = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $g^2 + f^2 = c$.

(A) બે વર્તુળો સમકેન્દ્રી હોય જો તેમનું કેન્દ્ર સમાન હોય. આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 20 = 0$ છે.
આ વર્તુળ સાથે સમકેન્દ્રી હોય તેવા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ વર્તુળ $(4, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 4$ અને $y = -2$ મૂકીએ:
$(4)^2 + (-2)^2 - 2(4) + 4(-2) + c = 0$
$16 + 4 - 8 - 8 + c = 0$
$20 - 16 + c = 0$
$4 + c = 0$
$c = -4$

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2gx + f^2 = 0$ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(g, 0)$ છે.
નવા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, b)$ છે અને તે $(g, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(a, b)$ અને બિંદુ $(g, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ,$r = \sqrt{(a - g)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{(a - g)^2 + b^2}$.

(C) કેન્દ્ર $(h, k)$ શોધવા માટે,સમીકરણો ઉકેલો:
$2x - 3y = -4$ $(i)$
$3x + 4y = 5$ (ii)
$(i)$ ને $4$ વડે અને (ii) ને $3$ વડે ગુણતા: $8x - 12y = -16$ અને $9x + 12y = 15$.
સરવાળો કરતા $17x = -1$ મળે,તેથી $x = -\frac{1}{17}$.
$(i)$ માં $x$ ની કિંમત મુકતા: $2(-\frac{1}{17}) - 3y = -4 \implies -3y = -4 + \frac{2}{17} = -\frac{66}{17} \implies y = \frac{22}{17}$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રથી ઉગમબિંદુ સુધીનું અંતર છે:
$r^{2} = h^{2} + k^{2} = (-\frac{1}{17})^{2} + (\frac{22}{17})^{2} = \frac{1 + 484}{289} = \frac{485}{289}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$:
$(x + \frac{1}{17})^{2} + (y - \frac{22}{17})^{2} = \frac{485}{289}$
$x^{2} + \frac{2x}{17} + \frac{1}{289} + y^{2} - \frac{44y}{17} + \frac{484}{289} = \frac{485}{289}$
$x^{2} + y^{2} + \frac{2x}{17} - \frac{44y}{17} = 0$
$17$ વડે ગુણતા: $17(x^{2} + y^{2}) + 2x - 44y = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અચળ પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $p - 3 = 0 \Rightarrow p = 3$.
$p = 3$ મૂકતા,આપણને $x^{2} + y^{2} + 9x - 3y = 0$ મળે છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(\frac{9}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{9}{4}} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$ છે.
માંગેલ વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
તેની ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{g^2 + f^2}$ છે.
આપેલ છે કે $r_2 = 2r_1$,તેથી $\sqrt{g^2 + f^2} = 2 \times \frac{3\sqrt{10}}{2} = 3\sqrt{10}$.
આમ,$g^2 + f^2 = 90$.
જો વર્તુળ ઉગમબિંદુએ સ્પર્શક ધરાવે છે,તો $f = -3$ અને $g = 9$ લેતા,સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + 18x - 6y = 0$ મળે છે.

(A) ચોરસના શિરોબિંદુઓ રેખાઓ $x=2, x=3, y=1, y=2$ ના છેદબિંદુઓ છે.
આ શિરોબિંદુઓ $A(2, 1), B(3, 1), C(3, 2)$ અને $D(2, 2)$ છે.
ચોરસના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
જો આપણે વિકર્ણ $AC$ ને વ્યાસ તરીકે લઈએ,તો તેના અંત્યબિંદુઓ $(2, 1)$ અને $(3, 2)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
$AC$ માટે કિંમતો મૂકતા: $(x - 2)(x - 3) + (y - 1)(y - 2) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 5x + 6 + y^2 - 3y + 2 = 0$.
આમ,$x^2 + y^2 - 5x - 3y + 8 = 0$ મળે છે.
તે જ રીતે,જો આપણે વિકર્ણ $BD$ ને વ્યાસ તરીકે લઈએ,તો અંત્યબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(3, 1)$ છે.
સમીકરણ $(x - 2)(x - 3) + (y - 2)(y - 1) = 0$ થશે,જેનું પરિણામ પણ $x^2 + y^2 - 5x - 3y + 8 = 0$ જ આવે છે.

(A) ધારો કે $A = (x_{1}, y_{1})$ અને $B = (x_{2}, y_{2})$ છે.
આપેલ સમીકરણો પરથી,આપણી પાસે છે:
$x_{1} + x_{2} = -2a$ અને $x_{1}x_{2} = -b^{2}$
$y_{1} + y_{2} = -2p$ અને $y_{1}y_{2} = -q^{2}$
$AB$ વ્યાસ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_{1})(x - x_{2}) + (y - y_{1})(y - y_{2}) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^{2} - (x_{1} + x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1} + y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} + 2ax - b^{2} + y^{2} + 2py - q^{2} = 0$ મળે છે,જે $x^{2} + y^{2} + 2ax + 2py - (b^{2} + q^{2}) = 0$ છે.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $\sqrt{g^{2} + f^{2} - c}$ છે.
અહીં,$g = a$,$f = p$,અને $c = -(b^{2} + q^{2})$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $\sqrt{a^{2} + p^{2} - (-(b^{2} + q^{2}))} = \sqrt{a^{2} + p^{2} + b^{2} + q^{2}}$ થાય.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બે વ્યાસનું છેદબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x - 3y = 5$ $(i)$
$3x - 4y = 7$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$6x - 9y = 15$
$6x - 8y = 14$
બાદબાકી કરતા: $-y = 1 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ ને $(i)$ માં મુકતા:
$2x - 3(-1) = 5$ $\Rightarrow 2x + 3 = 5$ $\Rightarrow 2x = 2$ $\Rightarrow x = 1$.
તેથી,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 8$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ મુજબ:
$(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 8^{2}$
$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} + 2y + 1 = 64$
$x^{2} + y^{2} - 2x + 2y - 62 = 0$.

(A) ધારો કે વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ છે.
વર્તૂળ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$(1, 0)$ માટે: $1 + 2g + c = 0$ $(ii)$.
$(0, 1)$ માટે: $1 + 2f + c = 0$ $(iii)$.
$(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા,$2g - 2f = 0$,તેથી $g = f$.
$f = g$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$c = -(1 + 2g)$ મળે.
ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{g^2 + g^2 - (-(1 + 2g))} = \sqrt{2g^2 + 2g + 1}$.
$R$ ને ન્યૂનત્તમ કરવા માટે,$R^2 = 2g^2 + 2g + 1$ ને ન્યૂનત્તમ કરીએ.
$g$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{d}{dg}(2g^2 + 2g + 1) = 4g + 2 = 0$,જેથી $g = -\frac{1}{2}$.
$g = f$ હોવાથી,$f = -\frac{1}{2}$.
ત્યારબાદ $c = -(1 + 2(-\frac{1}{2})) = -(1 - 1) = 0$.
$g, f, c$ ની કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા,સમીકરણ $x^2 + y^2 - x - y = 0$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ન્યૂનત્તમ ત્રિજ્યાવાળા વર્તૂળ માટે તે બે બિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય છે.
સમીકરણ $(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - x - y = 0$ છે.

(A) આપેલ વર્તૂળનું સમીકરણ : $2x^2 + 2y^2 = 3x - 5y + 7$
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -\frac{3}{2} \implies g = -\frac{3}{4}$ અને $2f = \frac{5}{2} \implies f = \frac{5}{4}$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left( \frac{3}{4}, -\frac{5}{4} \right)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{\left( -\frac{3}{4} \right)^2 + \left( \frac{5}{4} \right)^2 - \left( -\frac{7}{2} \right)}$.
$r = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{25}{16} + \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{9 + 25 + 56}{16}} = \sqrt{\frac{90}{16}} = \frac{3\sqrt{10}}{4}$.

(C) વર્તુળનું પ્રારંભિક કેન્દ્ર $C(5, 5)$ છે કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં બંને અક્ષોને $5$ ત્રિજ્યા સાથે સ્પર્શે છે.
જ્યારે વર્તુળ $x-$ અક્ષ પર એક પૂર્ણ ચક્ર ફરે છે,ત્યારે કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલું અંતર વર્તુળના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $2\pi r = 2\pi(5) = 10\pi$ છે.
નવું કેન્દ્ર $D$ ના યામ $(5 + 10\pi, 5)$ થશે અને ત્રિજ્યા $5$ રહેશે.
નવા સ્થાને વર્તુળનું સમીકરણ $(x - (5 + 10\pi))^{2} + (y - 5)^{2} = 5^{2}$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $(x - 5 - 10\pi)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ મૂકતા: $4 + 9 + 4g + 6f + c = 0 \Rightarrow 4g + 6f + c = -13$.
બિંદુ $(0, 2)$ મૂકતા: $0 + 4 + 0g + 4f + c = 0 \Rightarrow 4f + c = -4$.
બિંદુ $(4, 5)$ મૂકતા: $16 + 25 + 8g + 10f + c = 0 \Rightarrow 8g + 10f + c = -41$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $g = 2.5, f = -9.5$ અને $c = 34$ મળે છે.
તેથી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 5x - 19y + 34 = 0$ છે.
હવે,જો બિંદુ $(0, t)$ વર્તુળ પર હોય,તો $0^2 + t^2 + 5(0) - 19(t) + 34 = 0 \Rightarrow t^2 - 19t + 34 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(t - 2)(t - 17) = 0$. તેથી $t = 2$ અથવા $t = 17$. બિંદુઓ ભિન્ન હોવાથી,$t = 17$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ વર્તૂળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 8x + 6y - 5 = 0$ છે.
તેની સરખામણી $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે કરતા,$g = -4$ અને $f = 3$ મળે છે.
વર્તૂળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (4, -3)$ છે.
માંગેલ વર્તૂળ આપેલ વર્તૂળ સાથે સમકેન્દ્રીય હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર પણ $(4, -3)$ થશે.
વર્તૂળ બિંદુ $(-2, -7)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(4, -3)$ અને $(-2, -7)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r^{2} = (4 - (-2))^{2} + (-3 - (-7))^{2} = (6)^{2} + (4)^{2} = 36 + 16 = 52$.
વર્તૂળનું સમીકરણ $(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 52$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} + 6y + 9 = 52$,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + y^{2} - 8x + 6y - 27 = 0$ મળે છે.

(C) કેન્દ્ર $(3, 1)$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = r^2$ છે.
આ વર્તુળ રેખા $8x - 15y + 25 = 0$ ને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(3, 1)$ થી રેખા પરના લંબ અંતર જેટલી હોય.
$r = \frac{|8(3) - 15(1) + 25|}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}}$
$r = \frac{|24 - 15 + 25|}{\sqrt{64 + 225}}$
$r = \frac{|34|}{\sqrt{289}} = \frac{34}{17} = 2$.
$r = 2$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = 4$
$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 10 = 4$
$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0$.

(A) વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં બંને અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે,જ્યાં $r > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ થાય છે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $4x + 3y - 6 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|4r + 3r - 6|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|7r - 6|}{5}$ છે.
જો વર્તુળ રેખાને સ્પર્શે,તો $d = r$ થાય.
$\frac{|7r - 6|}{5} = r \implies |7r - 6| = 5r$.
કિસ્સો $1$: $7r - 6 = 5r \implies 2r = 6 \implies r = 3$.
કિસ્સો $2$: $7r - 6 = -5r \implies 12r = 6 \implies r = 0.5$.
$r = 0.5$ માટે,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 = 0.25$ એટલે કે $4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y + 1 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 0)$ અને $B(0, 1)$ છે.
બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા ન્યૂનતમ હોય ત્યારે તે બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ બને છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે: $C = (\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
વ્યાસ એ $AB$ નું અંતર છે: $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.
$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - y + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
$x^2 + y^2 - x - y + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$x^2 + y^2 - x - y = 0$.

(C) આપેલ વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે.
આ સમીકરણ $x^2 + y^2 = r^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $r^2 = 4$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2$ થાય.
વર્તૂળ $x^2 + y^2 = r^2$ માટે પ્રચલિત સમીકરણો $x = r \cos \alpha$ અને $y = r \sin \alpha$ છે.
$r = 2$ મૂકતા,આપણને $x = 2 \cos \alpha$ અને $y = 2 \sin \alpha$ મળે છે.
આમ,વર્તૂળ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha)$ છે.

(A) વર્તુળ બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે અને ચોથા ચરણમાં હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r = 1$ હોય તો તેનું કેન્દ્ર $(1, -1)$ થાય.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$h = 1$,$k = -1$ અને $r = 1$ મૂકતા:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1^2$
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 1$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 = 1$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0$

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, 2)$ આગળ સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |h|$ અને કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 2$ થાય.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - 2)^2 = h^2$ છે.
વર્તુળ $(-1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-1 - h)^2 + (0 - 2)^2 = h^2$
$1 + 2h + h^2 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0$
$h = -5/2$.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 5/2)^2 + (y - 2)^2 = (-5/2)^2$ છે.
$(x + 5/2)^2 + (y - 2)^2 = 25/4$.
હવે,વિકલ્પોને સમીકરણમાં મૂકીને ચકાસતા:
$(-4, 0)$ માટે:
$(-4 + 5/2)^2 + (0 - 2)^2 = (-8/2 + 5/2)^2 + (-2)^2 = (-3/2)^2 + 4 = 9/4 + 4 = 25/4$.
બિંદુ $(-4, 0)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી વર્તુળ $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) વર્તુળ રેખાઓ $x = 0$ અને $x = 2c$ ને સ્પર્શે છે. આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $2c$ છે. તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ $2c$ છે અને ત્રિજ્યા $r = c$ છે.
વર્તુળ $x = 0$ અને $x = 2c$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રનો $x$-યામ $h = c$ હોવો જોઈએ.
વર્તુળ $y = 0$ ને પણ સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = c$ અથવા $k = -c$ હોવો જોઈએ.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(c, c)$ અથવા $(c, -c)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - c)^2 + (y \mp c)^2 = c^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2cx + c^2 + y^2 \mp 2cy + c^2 = c^2$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 2cx \mp 2cy + c^2 = 0$ મળે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે,જ્યાં $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોય છે અને તેમાં $xy$ પદ હોતું નથી.
વિકલ્પ $A$ માં $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો અલગ છે.
વિકલ્પ $B$ માં $x^2$ અને $y^2$ ની નિશાનીઓ અલગ છે.
વિકલ્પ $C$ માં $xy$ પદ છે.
વિકલ્પ $D$ ને $3(x^2 + y^2) + 5x + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 + \frac{5}{3}x + \frac{1}{3} = 0$ થાય છે. આ વર્તુળના સમીકરણના સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $x^2$ નો સહગુણક એ $y^2$ ના સહગુણક જેટલો હોવો જોઈએ $(a = b)$.
$2$. $xy$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ $(h = 0)$.
આપેલ સમીકરણ $px^2 + (2 - q)xy + 3y^2 - 6qx + 30y + 6q = 0$ માટે:
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^2$ નો સહગુણક $p$ છે અને $y^2$ નો સહગુણક $3$ છે.
તેથી,$p = 3$.
$xy$ નો સહગુણક $(2 - q)$ છે.
$2 - q = 0$ લેતા,આપણને $q = 2$ મળે છે.
આમ,$p = 3$ અને $q = 2$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે અને ત્રિજ્યા $5$ છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, 5)$ થશે જ્યાં $h > 0$.
વર્તુળ રેખા $3x - 4y = 0$ ને પણ સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(h, 5)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $5$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\Rightarrow \left|\frac{3h - 4(5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right| = 5$
$\Rightarrow \left|\frac{3h - 20}{5}\right| = 5$
$\Rightarrow |3h - 20| = 25$
આથી બે કિસ્સા મળે: $3h - 20 = 25$ અથવા $3h - 20 = -25$.
કિસ્સો $1$: $3h = 45 \Rightarrow h = 15$.
કિસ્સો $2$: $3h = -5 \Rightarrow h = -5/3$. કેન્દ્ર પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $h > 0$,તેથી $h = 15$ લેતા.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 15)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$ થશે.
$x^2 - 30x + 225 + y^2 - 10y + 25 = 25$.
$x^2 + y^2 - 30x - 10y + 225 = 0$.

(C) $x$-અક્ષને $(3, 0)$ આગળ સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-k)^2 = k^2$ છે.
આ સમીકરણ $(1, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$(1-3)^2 + (-2-k)^2 = k^2$
$(-2)^2 + 4 + 4k + k^2 = k^2$
$4 + 4 + 4k = 0$
$8 + 4k = 0 \Rightarrow k = -2$.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 4$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$ છે.
બિંદુ $(5, -2)$ માટે: $25 + 4 - 30 - 8 + 9 = 0$. આમ,તે $(5, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) રેખાઓ $x = 0$ (y-અક્ષ),$y = 0$ (x-અક્ષ) અને $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x=0$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$2$. $x=0$ અને $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ નું છેદબિંદુ $(0, -b)$ છે.
$3$. $y=0$ અને $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ નું છેદબિંદુ $(a, 0)$ છે.
આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(a,0)$ અને $(0,-b)$ છે,તેથી કર્ણ એ $(a,0)$ અને $(0,-b)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના પરિવૃતનો વ્યાસ એ તેનો કર્ણ હોય છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
$(a, 0)$ અને $(0, -b)$ કિંમતો મૂકતા:
$(x - a)(x - 0) + (y - 0)(y - (-b)) = 0$
$x(x - a) + y(y + b) = 0$
$x^2 - ax + y^2 + by = 0$
$x^2 + y^2 - ax + by = 0$.

(B) વર્તૂળનું આપેલ સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$ છે.
આ સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4} = 2$ છે.
વર્તૂળ પરના બિંદુના પ્રચલિત યામ $(h + r \cos \alpha, k + r \sin \alpha)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(1 + 2 \cos \alpha, 1 + 2 \sin \alpha)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વર્તૂળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g = -4 \implies g = -2$ અને $2f = -6 \implies f = -3$ મળે છે,જ્યાં $c = 4$ છે.
વર્તૂળની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 4} = \sqrt{4 + 9 - 4} = \sqrt{9} = 3$.
વ્યાસ $d = 2 \times r = 2 \times 3 = 6$ થાય.

(A) પગલું-$1$: વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ શોધો.
ત્રિજ્યા એ કેન્દ્ર $(2, -1)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $(3, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્ર $r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \sqrt{(3 - 2)^2 + (6 - (-1))^2}$
$r = \sqrt{(1)^2 + (7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$.
પગલું-$2$: વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ નો ઉપયોગ કરો,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે.
$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{50})^2$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 50$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 50$
$x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = 50$
$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 45 = 0$.

(B) વર્તુળ $x$-અક્ષને $(-3, 0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 4$ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-3, 4)$ અથવા $(-3, -4)$ હોય.
કિસ્સો $1$: કેન્દ્ર $(-3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ હોય તો,
સમીકરણ $(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 4^2$ થાય.
$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$.
$x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 16$.
$x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$.
કિસ્સો $2$: કેન્દ્ર $(-3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ હોય તો,
સમીકરણ $(x - (-3))^2 + (y - (-4))^2 = 4^2$ થાય.
$(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$.
$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 8y + 16 = 16$.
$x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6x \pm 8y + 9 = 0$ મળે.

(B) આપેલ વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6y = 0$ છે.
$y$-પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$x^2 + (y^2 + 6y + 9) = 9$
$x^2 + (y + 3)^2 = 3^2$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(0, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(0, -3)$ થી $x$-અક્ષનું અંતર $|-3| = 3$ છે,જે ત્રિજ્યા જેટલું હોવાથી,વર્તૂળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે.
કેન્દ્રનો $x$-યામ $0$ હોવાથી,વર્તૂળ $x$-અક્ષને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આગળ સ્પર્શે છે.

(B) $x = a, x = 2a, y = -a, y = a$ રેખાઓ $(a, -a), (2a, -a), (2a, a),$ અને $(a, a)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો લંબચોરસ બનાવે છે.
ચતુષ્કોણ લંબચોરસ હોવાથી,તેના પરિવૃતનો વ્યાસ તેનો વિકર્ણ છે.
$(a, -a)$ અને $(2a, a)$ ને જોડતા વિકર્ણ માટે,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
યામ મૂકતા: $(x - a)(x - 2a) + (y - (-a))(y - a) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 3ax + 2a^2) + (y + a)(y - a) = 0$.
$(x^2 - 3ax + 2a^2) + (y^2 - a^2) = 0$.
$x^2 + y^2 - 3ax + a^2 = 0$.

(A) વર્તુળના વ્યાસાંત બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય ત્યારે વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(4, 3)$ અને $(-12, -1)$ મૂકતા:
$(x - 4)(x - (-12)) + (y - 3)(y - (-1)) = 0$
$(x - 4)(x + 12) + (y - 3)(y + 1) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 + 12x - 4x - 48) + (y^2 + y - 3y - 3) = 0$
$x^2 + y^2 + 8x - 2y - 51 = 0$

(A) વર્તુળના વ્યાસાંત બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય,તો વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ થાય.
આપેલ બિંદુઓ $(0, 1)$ અને $(1, 1)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 1)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + (y - 1)^2 = 0$
$x^2 - x + y^2 - 2y + 1 = 0$
$x^2 + y^2 - x - 2y + 1 = 0$.

(D) વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $PQ$ ને લંબ એવી $D$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે. તેથી,$C$ નું કેન્દ્ર $y - \frac{3}{2} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(x - \frac{3\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow x = \sqrt{3}y$ પર આવેલું છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(\sqrt{3}y_1, y_1)$ છે. તો,
$(\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}y_1)^2 + (\frac{3}{2} - y_1)^2 = 1$
$\Rightarrow 3(\frac{3}{2} - y_1)^2 + (\frac{3}{2} - y_1)^2 = 1$
$\Rightarrow 4(\frac{3}{2} - y_1)^2 = 1$ $\Rightarrow \frac{3}{2} - y_1 = \pm \frac{1}{2}$ $\Rightarrow y_1 = 1$ અથવા $y_1 = 2$.
આમ,$C$ નું કેન્દ્ર $(\sqrt{3}, 1)$ અથવા $(2\sqrt{3}, 2)$ હોઈ શકે છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર અને ઉગમબિંદુ $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ ની એક જ બાજુએ આવેલા હોવાથી,અને $\sqrt{3}(0) + 0 - 6 < 0$ તથા $\sqrt{3}(\sqrt{3}) + 1 - 6 = -2 < 0$,તેથી વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(\sqrt{3}, 1)$ છે.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ મળે.
નાભિઓના યામ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
વર્તુળ $(\pm \sqrt{7}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ માટે $r^2 = (\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 7 + 9 = 16$ થાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 16$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ થાય.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બે વ્યાસ $3x - 4y - 7 = 0$ અને $2x - 3y - 5 = 0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $3x - 4y = 7$ અને $2x - 3y = 5$.
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે અને બીજાને $4$ વડે ગુણતા: $9x - 12y = 21$ અને $8x - 12y = 20$.
બાદબાકી કરતા $x = 1$ મળે છે. $x = 1$ ને $2x - 3y = 5$ માં મૂકતા $2 - 3y = 5$ મળે,તેથી $y = -1$.
કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 49\pi$ છે,તેથી $r^2 = 49$ અને $r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
આમ,$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(B) $x$-અક્ષને સ્પર્શતા અને $(h, k)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = k^{2}$ છે.
વર્તુળ $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(-1-h)^{2} + (1-k)^{2} = k^{2}$
$1 + 2h + h^{2} + 1 - 2k + k^{2} = k^{2}$
$h^{2} + 2h + 2 - 2k = 0$
$h$ વાસ્તવિક યામ હોય તે માટે,$h$ માંના આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટો હોવો જોઈએ:
$D = (2)^{2} - 4(1)(2 - 2k) \ge 0$
$4 - 8 + 8k \ge 0$
$8k - 4 \ge 0$
$8k \ge 4$
$k \ge \frac{1}{2}$

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-0)^2 + \lambda y = 0$ છે.
તે $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$(1-3)^2 + (-2)^2 + \lambda(-2) = 0$
$4 + 4 - 2\lambda = 0$
$8 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 4$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + y^2 + 4y = 0$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(5, -2)$ માટે: $(5-3)^2 + (-2)^2 + 4(-2) = 2^2 + 4 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.
તેથી,વર્તુળ $(5, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે અને તે $(\sqrt{7}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r^2 = (\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 7 + 9 = 16$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 16$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 6y + 9 = 16$ અથવા $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ થાય.

(B) વર્તુળ બીજા ચરણમાં હોવાથી અને બંને અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(-r, r)$ થાય,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $r = 4$,તેથી કેન્દ્ર $(-4, 4)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - (-4))^2 + (y - 4)^2 = 4^2$.
$(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 16$.
વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 8y + 16) = 16$.
$x^2 + y^2 + 8x - 8y + 16 = 0$.

(A) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2x + 4y + 1 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$2g = 2 \implies g = 1$
$2f = 4 \implies f = 2$
$c = 1$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, -2)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1^2 + 2^2 - 1} = \sqrt{1 + 4 - 1} = \sqrt{4} = 2$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = r^2$ છે. ત્રિજ્યા $r = 4$ આપેલ હોવાથી,સમીકરણ $x^2 + y^2 = 16$ થશે.
બિંદુઓ $(t, 1/t)$ વર્તુળ પર હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$t^2 + (1/t)^2 = 16$
$t^2$ વડે ગુણતા,આપણને $t^4 - 16t^2 + 1 = 0$ મળે છે.
આ $t$ માં ચતુર્થઘાત સમીકરણ છે જેના બીજ $a, b, c, d$ છે.
સમીકરણ $t^4 + 0t^3 - 16t^2 + 0t + 1 = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર અચળ પદ અને પ્રથમ પદના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,$abcd = 1/1 = 1$.

(C) રેખા $y = x$ માં બિંદુ $(3, 4)$ નું પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે યામોની અદલાબદલી કરતા,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (4, 3)$ મળે છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $x$-યામના માનાંક જેટલી થાય,તેથી $r = |h| = 4$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 4^2$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 16$ મળે.
સાદું રૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{3-5}{2}, \frac{8+2}{2}) = (-1, 5)$.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2$ એ કેન્દ્ર $(-1, 5)$ થી $(3, 8)$ સુધીના અંતરનો વર્ગ છે: $r^2 = (3 - (-1))^2 + (8 - 5)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$ છે.
બિંદુ $(k, 10)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(k + 1)^2 + (10 - 5)^2 = 25$.
$(k + 1)^2 + 5^2 = 25$.
$(k + 1)^2 + 25 = 25$.
$(k + 1)^2 = 0$.
$k + 1 = 0$,તેથી $k = -1$.
$k = -1$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k$ ની બરાબર એક પૂર્ણાંક કિંમત મળે છે.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે. પરિકેન્દ્ર $(-1, 2)$ છે.
પરિ ત્રિજ્યા $R = \frac{2}{3} \times \text{મધ્યગાની લંબાઈ} = \frac{2}{3}(2b) = \frac{4b}{3}.$
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = (\frac{4b}{3})^2$ થાય.
સાદુરૂપ આપતા: $9x^2 + 9y^2 + 18x - 36y + 45 - 16b^2 = 0.$