Equations of circle Questions in Gujarati

(A) જે વર્તુળ બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે અને તેની ત્રિજ્યા $a$ છે,તેનું કેન્દ્ર $(a, a)$,$(a, -a)$,$(-a, a)$,અથવા $(-a, -a)$ હોઈ શકે છે.
જો કેન્દ્ર $(a, a)$ લઈએ,તો સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 1 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ $(0, 0)$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 1 = 0$ માટે,$2g = 6 \implies g = 3$ અને $2f = -2 \implies f = -1$. કેન્દ્ર $C_2$ $(-3, 1)$ છે.
ત્રીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 12x + 4y - 1 = 0$ માટે,$2g = -12 \implies g = -6$ અને $2f = 4 \implies f = 2$. કેન્દ્ર $C_3$ $(6, -2)$ છે.
જો $C_1(0, 0)$,$C_2(-3, 1)$,અને $C_3(6, -2)$ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે જોડીઓ વચ્ચેનો ઢાળ ચકાસીએ.
$C_1C_2$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 0}{-3 - 0} = -\frac{1}{3}$.
$C_2C_3$ નો ઢાળ $= \frac{-2 - 1}{6 - (-3)} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$.
ઢાળ સમાન હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0^2 + 0^2 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0$,જે $c = 0$ આપે છે.
તે $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 + 0^2 + 2g(a) + 2f(0) + 0 = 0$,જે $a^2 + 2ga = 0$ સૂચવે છે,તેથી $g = -\frac{a}{2}$.
તે $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0^2 + b^2 + 2g(0) + 2f(b) + 0 = 0$,જે $b^2 + 2fb = 0$ સૂચવે છે,તેથી $f = -\frac{b}{2}$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
$g$ અને $f$ ની કિંમતો મૂકતા,કેન્દ્ર $\left( -(-\frac{a}{2}), -(-\frac{b}{2}) \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ મળે છે.

(A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, -3)$ થી રેખા $2x - y - 4 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$r = \left| \frac{2(1) - (-3) - 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{2 + 3 - 4}{\sqrt{5}} \right| = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2$.
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = \frac{1}{5}$.
$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = \frac{1}{5}$.
$5$ વડે ગુણતા,$5x^2 + 5y^2 - 10x + 30y + 50 = 1$.
$5x^2 + 5y^2 - 10x + 30y + 49 = 0$.

(B) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(x_1, y_1)$ છે અને વર્તુળ બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |x_1| = |y_1|$ થાય.
આમ,$x_1 = y_1 = r$ લેતા,સમીકરણ $(x - x_1)^2 + (y - x_1)^2 = x_1^2$ બને છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 2x x_1 + x_1^2) + (y^2 - 2y x_1 + x_1^2) = x_1^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 + y^2 - 2x_1(x + y) + x_1^2 = 0$.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x = 1$ અને $y = -1$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= 154$,તેથી $\pi r^2 = 154$ $\Rightarrow r^2 = 49$ $\Rightarrow r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ મુજબ:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 2y = 47$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O' = (h, k)$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, 4)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 4$ અને ત્રિજ્યા $r = |h|$ છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - 4)^2 = h^2$ છે.
આ વર્તુળ $x$-અક્ષ $(y = 0)$ ને $(x - h)^2 + (0 - 4)^2 = h^2$ બિંદુએ છેદે છે,જેનું સાદું રૂપ $(x - h)^2 = h^2 - 16$ થાય છે.
તેથી,$x = h \pm \sqrt{h^2 - 16}$.
$x$-અક્ષ પરની જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{h^2 - 16} = 6$ છે.
તેથી,$\sqrt{h^2 - 16} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $h^2 - 16 = 9$,એટલે કે $h^2 = 25$,તેથી $h = 5$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલી થાય,તેથી $r = |2| = 2$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 4$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$ મળે.

(C) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 18x + 12y + k = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$2g = -18 \implies g = -9$ અને $2f = 12 \implies f = 6$ મળે છે.
અચળ પદ $c = k$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
$r = 11$ આપેલ હોવાથી,$11 = \sqrt{(-9)^2 + (6)^2 - k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$121 = 81 + 36 - k$.
$121 = 117 - k$.
$k = 117 - 121 = -4$.

(C) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,કેન્દ્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.

(B) કારણ કે $\angle C = 90^{\circ}$,તેથી કર્ણ $AB$ એ $\triangle ABC$ ના પરિવર્તુળનો વ્યાસ બનશે,કારણ કે વ્યાસ દ્વારા પરિઘ પર બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $A(-3, 4)$ અને $B(3, -4)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(x - (-3))(x - 3) + (y - 4)(y - (-4)) = 0$
$(x + 3)(x - 3) + (y - 4)(y + 4) = 0$
$(x^2 - 9) + (y^2 - 16) = 0$
$x^2 + y^2 - 25 = 0$
$x^2 + y^2 = 25$.

(A) વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને ઉગમબિંદુથી $1$ એકમના અંતરે બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$h = 1, k = 1$,અને $r = 1$ મૂકતા:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ $(2, -2)$,$(-1, -1)$ અને $(5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$1) \; 4g - 4f + c = -8$
$2) \; -2g - 2f + c = -2$
$3) \; 10g + 4f + c = -29$
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $g = -1.5$,$f = -1.5$ અને $c = -8$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3x - 3y - 8 = 0$ છે.

(D) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને ધન $x$ અને $y$ અક્ષ પર અનુક્રમે $3$ અને $4$ લંબાઈના અંતઃખંડો કાપે છે,તેથી તે $(3, 0)$ અને $(0, 4)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ છે.
સમીકરણમાં $(3, 0)$ બિંદુ મૂકતા:
$3^2 + 0^2 + 2g(3) + 2f(0) = 0$ $\Rightarrow 9 + 6g = 0$ $\Rightarrow g = -\frac{3}{2}$.
સમીકરણમાં $(0, 4)$ બિંદુ મૂકતા:
$0^2 + 4^2 + 2g(0) + 2f(4) = 0$ $\Rightarrow 16 + 8f = 0$ $\Rightarrow f = -2$.
$g$ અને $f$ ની કિંમતો સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 + 2(-\frac{3}{2})x + 2(-2)y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x - 4y = 0$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6y = 0$ છે.
તેને સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = 0$,$f = 3$,અને $c = 0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (0, -3)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{0^2 + 3^2 - 0} = 3$ છે.
કેન્દ્ર $(0, -3)$ છે અને ત્રિજ્યા $3$ હોવાથી,કેન્દ્રથી $x$-અક્ષનું અંતર $|-3| = 3$ છે,જે ત્રિજ્યા જેટલું છે.
તેથી,વર્તુળ $x$-અક્ષને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર સ્પર્શે છે.

(A) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
જ્યારે વર્તુળની ત્રિજ્યા શૂન્ય હોય ત્યારે તેને બિંદુ વર્તુળ કહેવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાને શૂન્ય લેતા,આપણને $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$g^2 + f^2 - c = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $g^2 + f^2 = c$ થાય છે.

(A) સૌ પ્રથમ,રેખાઓ $3x + y = 14$ અને $2x + 5y = 18$ નું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણને $5$ વડે ગુણતા,$15x + 5y = 70$ મળે છે.
બીજા સમીકરણને તેમાંથી બાદ કરતા,$(15x - 2x) = 70 - 18$ મળે,જે $13x = 52$ આપે છે,તેથી $x = 4$.
$x = 4$ ને $3x + y = 14$ માં મૂકતા,$3(4) + y = 14$ મળે,તેથી $y = 2$.
છેદબિંદુ $(4, 2)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, -2)$ અને બિંદુ $(4, 2)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r^2 = (4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(h, k) = (1, -2)$ અને $r^2 = 25$ મૂકતા,$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 25$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x = 0$ અને $y = 0$ રેખાઓને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(r, r)$ લેતા,સમીકરણ $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ થાય.
આ વર્તુળ $3x + 4y - 4 = 0$ રેખાને પણ સ્પર્શે છે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય:
$\frac{|3r + 4r - 4|}{5} = r$
$|7r - 4| = 5r$
$r = 2$ લેતા,સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 2)$ છે.
વર્તુળ $(4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ $(2, 2)$ અને $(4, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{13})^2$.
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 13$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 = 13$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0$.

(C) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(x - 5)(x - 1) + (y - 7)(y - 4) = 0$ સાથે સરખાવતા,વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(5, 7)$ અને $(1, 4)$ મળે છે.
વ્યાસ $d$ ની લંબાઈ આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે:
$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસથી અડધી હોય છે:
$r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $(2, 3)$ અને $(4, 5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્રથી આ બિંદુઓનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હોય:
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$
આપેલ છે કે કેન્દ્ર $y - 4x + 3 = 0$ પર છે,તેથી $k - 4h + 3 = 0$.
$h + k = 7$ અને $k - 4h = -3$ ઉકેલતા:
બાદબાકી કરતા: $(h + k) - (k - 4h) = 7 - (-3) \implies 5h = 10 \implies h = 2$.
તેથી $k = 7 - 2 = 5$.
કેન્દ્ર $(2, 5)$ છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$ છે.
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4$
$x^2 + y^2 - 4x - 10y + 25 = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$ છે. સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = 0$ અને $f = 1$ મળે છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (0, -1)$ છે.
જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, -2)$ છે અને તે $(0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(1, -2)$ અને $(0, -1)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $r = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $(h, k) = (1, -2)$.
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (\sqrt{2})^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 2$
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 8x + 10y - 7 = 0$ છે. આ વર્તુળ સાથે સમકેન્દ્રી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 8x + 10y + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 3)$ છે.
માંગેલ વર્તુળ $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(2)^2 + (3)^2 + 8(2) + 10(3) + k = 0$
$4 + 9 + 16 + 30 + k = 0$
$59 + k = 0 \implies k = -59$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 8x + 10y - 59 = 0$ છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ છે ... $(i)$.
વર્તુળ $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = b$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$0^2 + b^2 + 2g(0) + 2f(b) = 0$ $\Rightarrow b^2 + 2fb = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{b}{2}$.
વર્તુળ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = a$ અને $y = b$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$a^2 + b^2 + 2g(a) + 2f(b) = 0$.
$f = -\frac{b}{2}$ ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2 + b^2 + 2ag + 2(-\frac{b}{2})(b) = 0$ $\Rightarrow a^2 + b^2 + 2ag - b^2 = 0$ $\Rightarrow a^2 + 2ag = 0$ $\Rightarrow g = -\frac{a}{2}$.
$g = -\frac{a}{2}$ અને $f = -\frac{b}{2}$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 + 2(-\frac{a}{2})x + 2(-\frac{b}{2})y = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - ax - by = 0$.

(C) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $x^2$ નો સહગુણક એ $y^2$ ના સહગુણક જેટલો હોવો જોઈએ,એટલે કે $a = b$.
$2$. $xy$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $h = 0$.
$3$. સહગુણકો $a$ અને $b$ શૂન્ય ન હોવા જોઈએ $(a = b \neq 0)$.
તેથી,સાચી શરત $a = b \neq 0$ અને $h = 0$ છે.

(A) બંને અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ થાય છે.
આ વર્તુળ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(1 - a)^2 + (2 - a)^2 = a^2$
$1 - 2a + a^2 + 4 - 4a + a^2 = a^2$
$a^2 - 6a + 5 = 0$
$(a - 1)(a - 5) = 0$
આમ,$a = 1$ અથવા $a = 5$.
$a = 1$ માટે,સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ છે.
$a = 5$ માટે,સમીકરણ $x^2 + y^2 - 10x - 10y + 25 = 0$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x + 12y + 15 = 0$ છે.
તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 - 15} = \sqrt{30}$ છે.
આપેલ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 30\pi$ છે.
નવા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 12y + k = 0$ છે.
તેની ત્રિજ્યા $r_2$ માટે $r_2^2 = 45 - k$ થાય.
નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi(45 - k)$ છે.
શરત મુજબ $A_2 = 2A_1$,તેથી $\pi(45 - k) = 60\pi$.
$45 - k = 60 \Rightarrow k = -15$.
આમ,માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 12y - 15 = 0$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, 0)$ છે કારણ કે તે $x$-અક્ષ પર છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $r = 4$ છે અને વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્ર $(h, 0)$ થી ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા $4$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\sqrt{(h-0)^2 + (0-0)^2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|h| = 4$,તેથી $h = \pm 4$.
કેન્દ્ર $(\pm 4, 0)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
$h = \pm 4, k = 0, r = 4$ મૂકતા:
$(x \mp 4)^2 + (y-0)^2 = 4^2$
$x^2 \mp 8x + 16 + y^2 = 16$
$x^2 + y^2 \mp 8x = 0$.

(B) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આગળ $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ. ધારો કે કેન્દ્ર $(h, 0)$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને ઉગમબિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી વર્તુળની ત્રિજ્યા $|h|$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - 0)^2 = h^2$ થશે,જેનું સાદું રૂપ ${x^2} + {y^2} - 2hx = 0$ મળે.
આ વર્તુળ બિંદુ $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
${2^2} + {1^2} - 2h(2) = 0$
$4 + 1 - 4h = 0$
$5 - 4h = 0$
$h = \frac{5}{4}$
હવે $h = \frac{5}{4}$ ને સમીકરણ ${x^2} + {y^2} - 2hx = 0$ માં મૂકતા:
${x^2} + {y^2} - 2(\frac{5}{4})x = 0$
${x^2} + {y^2} - \frac{5}{2}x = 0$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2{x^2} + 2{y^2} - 5x = 0$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી અચળ પદ $c = 0$ છે.
વર્તુળ ઋણ યામ અક્ષો પર $2$ એકમ લંબાઈના અંતઃખંડો કાપે છે.
$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c} = 2$ છે. અંતઃખંડ ઋણ અક્ષ પર હોવાથી,કેન્દ્રનો $x$-યામ $-g$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $g = 1$.
$y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^2 - c} = 2$ છે. અંતઃખંડ ઋણ અક્ષ પર હોવાથી,કેન્દ્રનો $y$-યામ $-f$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $f = 1$.
વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
$g = 1$,$f = 1$,અને $c = 0$ મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 + 2x + 2y = 0$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 3x + 3y = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = 0$ મળે છે.
જો અચળ પદ $c = 0$ હોય,તો વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, 0)$ છે કારણ કે તે $x$-અક્ષ પર છે. ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + y^2 = 25$ થશે.
વર્તુળ $(2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $(2 - h)^2 + 3^2 = 25$.
$(2 - h)^2 = 16 \Rightarrow 2 - h = \pm 4$.
કિસ્સો $1$: $h = -2$,સમીકરણ $(x + 2)^2 + y^2 = 25 \Rightarrow x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$.
કિસ્સો $2$: $h = 6$,સમીકરણ $(x - 6)^2 + y^2 = 25 \Rightarrow x^2 + y^2 - 12x + 11 = 0$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$ છે.

(A) વર્તુળ $x$-અક્ષને $(3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(3, k)$ અને ત્રિજ્યા $|k|$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - k)^2 = k^2$ છે.
તે $(1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(1 - 3)^2 + (4 - k)^2 = k^2$
$4 + 16 - 8k + k^2 = k^2$
$20 = 8k \Rightarrow k = \frac{5}{2}$.
કિંમત મૂકતા:
$(x - 3)^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 5y + \frac{25}{4} = \frac{25}{4}$
$x^2 + y^2 - 6x - 5y + 9 = 0$.

(A) આપેલ છે કે વર્તુળનો વ્યાસ $20$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{20}{2} = 10$ થાય.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બે વ્યાસ $x + y = 6$ અને $x + 2y = 4$ નું છેદબિંદુ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(x + 2y) - (x + y) = 4 - 6 \Rightarrow y = -2$.
$y = -2$ ને $x + y = 6$ માં મૂકતા,આપણને $x - 2 = 6 \Rightarrow x = 8$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (8, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 8)^2 + (y + 2)^2 = 10^2$.
$x^2 - 16x + 64 + y^2 + 4y + 4 = 100$.
$x^2 + y^2 - 16x + 4y + 68 - 100 = 0$.
$x^2 + y^2 - 16x + 4y - 32 = 0$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $y = a$ અને $y = b$ રેખાઓને સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળનો વ્યાસ આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$2r = |b - a|$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{|b - a|}{2}$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી $y = a$ રેખાનું અંતર $|k - a| = r$ છે,તેથી $k = a \pm r$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી $x = 0$ રેખાનું અંતર $|h| = r$ છે,તેથી $h = \pm r$.
$r$ નિશ્ચિત હોવાથી,$h$ ($r$ અથવા $-r$) ની દરેક કિંમત માટે આપણને એક વર્તુળ મળે છે. આમ,આવા બરાબર $2$ વર્તુળો છે.

(A) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ: $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(a, 0)$ અને $(0, b)$ મૂકતા:
$(x - a)(x - 0) + (y - 0)(y - b) = 0$
$x(x - a) + y(y - b) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - by = 0$
$x^2 + y^2 - ax - by = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 - x = 0$ છે.
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - \frac{1}{2}x = 0$ મળે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -\frac{1}{2} \implies g = -\frac{1}{4}$,$2f = 0 \implies f = 0$,અને $c = 0$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left( \frac{1}{4}, 0 \right)$ છે.
ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{\left( -\frac{1}{4} \right)^2 + 0^2 - 0} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,કેન્દ્ર $\left( \frac{1}{4}, 0 \right)$ અને ત્રિજ્યા $\frac{1}{4}$ છે.

(A) વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$h = 3$ અને $k = 4$.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, 4)$ છે.

(D) વર્તુળ $x = 0$ (y-અક્ષ),$y = 0$ (x-અક્ષ) અને $x = 4$ રેખાઓને સ્પર્શે છે.
તે $x = 0$ અને $x = 4$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળનો વ્યાસ આ રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $4 - 0 = 4$ છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r = 2$ થાય.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $x = 0$ અને $y = 0$ થી $r = 2$ અંતરે હોવું જોઈએ,તેથી કેન્દ્ર $(2, 2)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$h = 2, k = 2, r = 2$ મૂકતા,આપણને $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$ મળે છે.
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 4$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$.

(A) સમીકરણ $x^2 + y^2 = 0$ એ $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $r = \sqrt{0^2 + 0^2 - 0} = 0$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ત્રિજ્યા $0$ હોવાથી,આ વર્તુળ એક બિંદુમાં પરિણમે છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.

(D) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે નીચેની શરતોનું પાલન થવું જોઈએ:
$1$. $x^2$ નો સહગુણક એ $y^2$ ના સહગુણક જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $a = 2$.
$2$. $xy$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $2b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b = 0$.
$3$. વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી અચળ પદ $c = 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$a = 2, b = 0, c = 0$ મળે છે.

(C) રેખાઓ $x = 1$ અને $x = -1$ વચ્ચેનું અંતર $|1 - (-1)| = |1 + 1| = 2$ છે.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મુકતા,આપણને $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે.

(A) વર્તુળ $x$-અક્ષને $(3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $x$-યામ $3$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, -3)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $-3$ છે.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, -3)$ છે.

(A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2, 3)$ થી સ્પર્શક $x + y - 1 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
લંબ અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{|1(2) + 1(3) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ થાય.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(h, k) = (2, 3)$ અને $r^2 = 8$ મૂકતા,આપણને $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ મળે છે.

(A) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$ તથા $y$ અક્ષ પર અનુક્રમે $a$ અને $b$ અંતઃખંડો કાપે છે,તેથી વર્તુળ બિંદુઓ $(a, 0)$ અને $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c = 0$ મળે.
તે $(a, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$a^2 + 2ga = 0$,જેનો અર્થ છે કે $g = -a/2$.
તે $(0, b)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$b^2 + 2fb = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f = -b/2$.
આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ મળે છે.

(A) બે વર્તુળો સમકેન્દ્રી હોય જો તેમનું કેન્દ્ર સમાન હોય.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
સંદર્ભ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 20 = 0$ છે.
સંદર્ભ વર્તુળને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(-g, -f)$ મળે છે.
સંદર્ભ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $(-(-1), -(2)) = (1, -2)$ છે.
આમ,જરૂરી વર્તુળ માટે $g = -1$ અને $f = 2$ છે.
સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + c = 0$ બને છે.
વર્તુળ $(4, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(4)^2 + (-2)^2 - 2(4) + 4(-2) + c = 0$
$16 + 4 - 8 - 8 + c = 0$
$4 + c = 0$
$c = -4$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0,3)$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 3$ અને ત્રિજ્યા $r = |h|$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - 3)^2 = h^2$ છે.
આ વર્તુળ $x$-અક્ષ પર $8$ એકમનો અંતઃખંડ કાપે છે. સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$(x - h)^2 + (0 - 3)^2 = h^2$,જેનું સાદું રૂપ $(x - h)^2 + 9 = h^2$ અથવા $(x - h)^2 = h^2 - 9$ થાય છે.
આમ,$x = h \pm \sqrt{h^2 - 9}$.
$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $(h + \sqrt{h^2 - 9}) - (h - \sqrt{h^2 - 9}) = 2\sqrt{h^2 - 9}$ છે.
અંતઃખંડ $8$ આપેલ હોવાથી,$2\sqrt{h^2 - 9} = 8$,તેથી $\sqrt{h^2 - 9} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા $h^2 - 9 = 16$,તેથી $h^2 = 25$,જેનો અર્થ છે કે $h = \pm 5$.
ત્રિજ્યા $r = |h|$ હોવાથી,$r = 5$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_1 = (-4, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1$ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ નું કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ છે.
જો વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોય,તો $r_1 = d + r_2 = 5 + 1 = 6$ અથવા $r_1 = |d - r_2| = |5 - 1| = 4$.
કિસ્સો $1$: જો $r_1 = 4$ હોય,તો સમીકરણ $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 4^2 \implies x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$ થાય.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ સાથે સમકેન્દ્રી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષ $(x = 0)$ ને સ્પર્શે છે,તેથી વર્તુળની ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રના $x$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
ત્રિજ્યા $r = |2| = 2$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ માટે ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
અહીં,$g = -2$,$f = -3$,અને $c = k$.
તેથી,$\sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - k} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 + 9 - k = 4$.
$13 - k = 4 \Rightarrow k = 9$.
$k = 9$ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ મળે છે.