Chord of contact of tangent and common chord Questions in Hindi

(A) दो वृत्तों $S_1: x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा (मूल अक्ष) का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5) - (x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2) = 0$
$x + 5y + 2p - 5 + p^2 = 0 \quad \dots(i)$
$P$ और $Q$ प्रतिच्छेदन बिंदुओं और बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरने वाले वृत्त के लिए,बिंदु $(1, 1)$ को उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ पर स्थित नहीं होना चाहिए।
समीकरण $(i)$ में $(1, 1)$ रखने पर:
$1 + 5(1) + 2p - 5 + p^2 \neq 0$
$p^2 + 2p + 1 \neq 0$
$(p + 1)^2 \neq 0$
$p \neq -1$
अतः,$p = -1$ को छोड़कर $p$ के सभी मानों के लिए $P, Q$ और $(1, 1)$ से होकर गुजरने वाला एक वृत्त मौजूद है।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ के लिए,स्पर्श जीवा $gx + fy + c = 0$ है (समीकरण $1$)।
बिंदु $(g, f)$ के लिए,स्पर्श जीवा $2gx + 2fy + g^2 + f^2 + c = 0$ है (समीकरण $2$)।
ये दोनों रेखाएं समानांतर हैं। समानांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
समीकरण $1$ को $2gx + 2fy + 2c = 0$ के रूप में लिखने पर,दूरी $d = \frac{|g^2 + f^2 - c|}{2\sqrt{g^2 + f^2}}$ प्राप्त होती है।

(A) वक्र का समीकरण $4x^2 + y^2 - x + 4y = 0$ है।
जीवा का समीकरण $y = mx + c$ मानिए,जिसका अर्थ है $\frac{y - mx}{c} = 1$।
रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात बनाने पर:
$4x^2 + y^2 - x\left( \frac{y - mx}{c} \right) + 4y\left( \frac{y - mx}{c} \right) = 0$।
$c$ से गुणा करने पर:
$4cx^2 + cy^2 - xy + mx^2 + 4y^2 - 4mxy = 0$।
$(4c + m)x^2 - (1 + 4m)xy + (c + 4)y^2 = 0$।
चूंकि जीवा मूल बिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(4c + m) + (c + 4) = 0$।
$5c + m + 4 = 0$,जिससे $c = -\frac{m}{5} - \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
$c$ का मान $y = mx + c$ में रखने पर:
$y = mx - \frac{m}{5} - \frac{4}{5}$।
$y + \frac{4}{5} = m\left( x - \frac{1}{5} \right)$।
यह समीकरण निश्चित बिंदु $\left( \frac{1}{5}, -\frac{4}{5} \right)$ से होकर गुजरती है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 7 = 0$ है। केंद्र $C = (1, 1)$ और त्रिज्या $R = 3$ है।
बिंदु $(4, 4)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ के अनुसार $4x + 4y - (x + 4) - (y + 4) - 7 = 0$ अर्थात $x + y - 5 = 0$ है।
केंद्र $(1, 1)$ से जीवा की लंबवत दूरी $d = \frac{|1 + 1 - 5|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{9 - \frac{9}{2}} = 2\sqrt{\frac{9}{2}} = 3\sqrt{2}$ है।

(B) माना $P$ वृत्त $x^2 + y^2 = R^2$ पर एक बिंदु है। $P$ से वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ छोटे वृत्त को $S$ और $T$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं।
रेखा $ST$ स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा (chord of contact) है।
इस जीवा की मूल बिंदु से दूरी $d = \frac{r^2}{R}$ है।
यदि यह रेखा दूसरे वृत्त को स्पर्श करती है,तो $R = 2r$ सही संबंध है।

(D) माना $P(x_1, y_1)$ रेखा $3x + 4y = 12$ पर स्थित एक बिंदु है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $x x_1 + y y_1 - 4 = 0$ है।
चूंकि $3x_1 + 4y_1 - 12 = 0$,इसे $x_1 + \frac{4}{3} y_1 - 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन समीकरणों की तुलना करने पर,स्पर्श जीवा हमेशा बिंदु $\left(1, \frac{4}{3}\right)$ से होकर गुजरती है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 7 = 0$ है। केंद्र $C(1, 1)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
बिंदु $P(4, 4)$ से केंद्र $C$ की दूरी $PC = \sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = 3\sqrt{2}$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{PC^2 - r^2} = \sqrt{18 - 9} = 3$ है।
स्पर्श जीवा की लंबाई $= \frac{2Lr}{\sqrt{L^2 + r^2}} = \frac{2 \times 3 \times 3}{\sqrt{3^2 + 3^2}} = \frac{18}{\sqrt{18}} = 3\sqrt{2}$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ है।
त्रिज्या $R = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - 1} = 2$.
बिंदु $(-1, -4)$ के लिए $S_1 = (-1)^2 + (-4)^2 - 2(-1) + 4(-4) + 1 = 4$.
स्पर्श रेखा की लंबाई $L_t = \sqrt{S_1} = 2$.
स्पर्श जीवा की लंबाई $= \frac{2RL_t}{\sqrt{R^2 + L_t^2}} = \frac{2(2)(2)}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{8}} = 2\sqrt{2}$ इकाई।

(B) मूल बिंदु $(0,0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ के अनुसार $gx + fy + c = 0$ है $(i)$.
वृत्त $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ और रेखा $L = gx + fy + c = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
$(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) + \lambda(gx + fy + c) = 0$ $(ii)$.
चूँकि यह वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=0, y=0$ रखने पर:
$(0 + 0 + 0 + 0 + c) + \lambda(0 + 0 + c) = 0$
$c + \lambda c = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
समीकरण $(ii)$ में $\lambda = -1$ रखने पर:
$(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (gx + fy + c) = 0$
$x^2 + y^2 + gx + fy = 0$.

(C) वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + y^2 = 1$ है,जिसे $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण में $(x_1, y_1) = (0, 0)$ रखने पर,हमें $-2x + 3 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = \frac{3}{2}$।
केंद्र $(2, 0)$ से जीवा $x = \frac{3}{2}$ की दूरी $d = |2 - \frac{3}{2}| = \frac{1}{2}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = 1$ है।
स्पर्श जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = 2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{3}$ है।

(A) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2 + y^2 - 6x + 5) - (x^2 + y^2 - 2y - 3) = 0$
$-6x + 2y + 8 = 0$
$3x - y - 4 = 0$ ... $(1)$
वृत्त $S_1$ के लिए,केंद्र $C_1(3, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2 + 0^2 - 5} = 2$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से उभयनिष्ठ जीवा $(1)$ पर लंबवत दूरी $p$:
$p = \frac{|3(3) - 0 - 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2 - p^2}$ है।
$= 2\sqrt{2^2 - (\frac{\sqrt{10}}{2})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{10}{4}} = 2\sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{6}$.

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ है। माना $P(3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ के लिए $P$ के सापेक्ष स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ है,जो $(3 \sec \theta)x + (2 \tan \theta)y = 9$ है ..... $(1)$.
साथ ही,मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ है,जो $hx + ky = h^2 + k^2$ है ..... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$\frac{3 \sec \theta}{h} = \frac{2 \tan \theta}{k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$.
$\sec \theta = \frac{3h}{h^2 + k^2}$ और $\tan \theta = \frac{9k}{2(h^2 + k^2)}$.
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\left( \frac{3h}{h^2 + k^2} \right)^2 - \left( \frac{9k}{2(h^2 + k^2)} \right)^2 = 1$.
अतः,$\frac{h^2}{9} - \frac{k^2}{4} = \left( \frac{h^2 + k^2}{9} \right)^2$.
इसलिए,$\lambda = 1$।

(A) माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 4$ और $r_2 = 8$ हैं। चूँकि वृत्त समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2$ का मान $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ द्वारा दिया जाता है।
$d^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$.
$d = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
माना $P$ एक प्रतिच्छेदन बिंदु है और $M$,$P$ से केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $C_1C_2$ पर डाला गया लंब है। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $PQ = 2PM$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PC_1C_2$ में,$PM$ कर्ण $C_1C_2$ पर शीर्षलंब है।
$\triangle PC_1C_2$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times C_1P \times C_2P = \frac{1}{2} \times C_1C_2 \times PM$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$4 \times 8 = (4\sqrt{5}) \times PM$.
$PM = \frac{32}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$.
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $PQ = 2 \times PM = 2 \times \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{16}{\sqrt{5}}$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ है।
त्रिज्या $R = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 - 1} = 2$ है।
केंद्र $(1, -2)$ से बिंदु $P(-1, -4)$ की दूरी $d = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$ है।
स्पर्श जीवा की लंबाई $L = \frac{2R\sqrt{d^2 - R^2}}{d}$ होती है।
मान रखने पर: $L = \frac{2(2)\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2}}{2\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{4}}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ इकाई}$।

(C) माना $C_{1}$ और $C_{2}$ दो प्रतिच्छेदी वृत्त हैं।
$C_{1}$ का समीकरण: $x^{2} + y^{2} + 5x - 8y + 1 = 0$
$C_{2}$ का समीकरण: $x^{2} + y^{2} - 3x + 7y - 25 = 0$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_{1} - C_{2} = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^{2} + y^{2} + 5x - 8y + 1) - (x^{2} + y^{2} - 3x + 7y - 25) = 0$
$8x - 15y + 26 = 0$
वृत्त $x^{2} + y^{2} - 2x = 0$ के लिए,केंद्र $(1, 0)$ है।
बिंदु $(x_{0}, y_{0})$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की दूरी $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ होती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|8(1) - 15(0) + 26|}{\sqrt{8^{2} + (-15)^{2}}}$
$d = \frac{|8 + 26|}{\sqrt{64 + 225}} = \frac{34}{\sqrt{289}} = \frac{34}{17} = 2$.
अतः,दूरी $2$ है।

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2 + y^2 + 2x + 4y - 20 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 + 6x - 8y + 10 = 0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2 + y^2 + 2x + 4y - 20) - (x^2 + y^2 + 6x - 8y + 10) = 0$
$-4x + 12y - 30 = 0 \Rightarrow 2x - 6y + 15 = 0$.
वृत्त $S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - (-20)} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्र $C_1(-1, -2)$ से उभयनिष्ठ जीवा $2x - 6y + 15 = 0$ पर लंबवत दूरी $p$:
$p = \frac{|2(-1) - 6(-2) + 15|}{\sqrt{2^2 + (-6)^2}} = \frac{25}{\sqrt{40}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2 - p^2}$ है।
$= 2\sqrt{25 - \frac{625}{40}} = 2\sqrt{\frac{375}{40}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$।

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 12 = 0$ हैं,जिनका केंद्र $(2, 0)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
दूसरा वृत्त $C_2: x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$ है,जिसका केंद्र $(-2, 0)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
उभयनिष्ठ जीवा (common chord) दोनों समीकरणों को घटाकर प्राप्त की जाती है: $-8x = 0$,जिससे $x = 0$ ($y$-अक्ष) प्राप्त होता है।
$y$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ रखने पर $y^2 - 12 = 0$,जिससे $y = \pm 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
समचतुर्भुज के शीर्ष $(2, 0)$,$(-2, 0)$,$(0, 2\sqrt{3})$ और $(0, -2\sqrt{3})$ हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = 4$ और $d_2 = 4\sqrt{3}$ हैं।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
मूलबिंदु $(0,0)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ अर्थात $gx + fy + c = 0$ होता है।
दिए गए वृत्त और स्पर्श जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) + \lambda(gx + fy + c) = 0$ है।
चूंकि यह वृत्त मूलबिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0, y=0$ रखने पर:
$(0^2 + 0^2 + 0 + 0 + c) + \lambda(0 + 0 + c) = 0
$ $\Rightarrow c + \lambda c = 0
$ $\Rightarrow \lambda = -1$ ($c \neq 0$ मानते हुए)।
$\lambda = -1$ को समीकरण में रखने पर:
$(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (gx + fy + c) = 0
\Rightarrow x^2 + y^2 + gx + fy = 0$.

(C) वक्रों के समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ और $y^2 = 8x$ हैं।
वृत्त के समीकरण में $y^2 = 8x$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + 8x = 9$.
$x^2 + 8x - 9 = 0$.
$(x + 9)(x - 1) = 0$.
परवलय $y^2 = 8x$ के लिए $x$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 1$.
$x = 1$ के लिए,$y^2 = 8(1) = 8$,अतः $y = \pm 2\sqrt{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, 2\sqrt{2})$ और $B(1, -2\sqrt{2})$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $L_1 = |2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})| = 4\sqrt{2} \approx 5.66$.
परवलय $y^2 = 8x$ का रूप $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 8$,इसलिए $a = 2$.
नाभिलंब की लंबाई $L_2 = 4a = 8$.
मानों की तुलना करने पर,$4\sqrt{2} < 8$,अतः $L_1 < L_2$.

(B) पहले वृत्त का समीकरण $S_1: x^2 + y^2 + 5Kx + 2y + K = 0$ है।
दूसरे वृत्त का समीकरण $S_2: x^2 + y^2 + Kx + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} = 0$ है।
दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2 + y^2 + 5Kx + 2y + K) - (x^2 + y^2 + Kx + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}) = 0$
$4Kx + \frac{1}{2}y + K + \frac{1}{2} = 0$.
यह रेखा दी गई रेखा $4x + 5y - K = 0$ के समान है।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{4K}{4} = \frac{1/2}{5} = \frac{K + 1/2}{-K}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4K}{4} = \frac{1}{10}$ से,हमें $K = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
दूसरी समानता की जाँच करने पर: $\frac{1}{10} = \frac{1/10 + 1/2}{-1/10} = \frac{6/10}{-1/10} = -6$.
चूँकि $K = \frac{1}{10} \neq -6$,इसलिए $K$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए रेखाएँ समान हों।

(B) माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 5 \ cm$ और $r_2 = 12 \ cm$ हैं। चूँकि वृत्त $90^o$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \ cm$ है।
माना उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2x$ है। उभयनिष्ठ जीवा केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर लंब होती है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र से: $\frac{1}{2} \times r_1 \times r_2 = \frac{1}{2} \times d \times x$.
$\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 13 \times x$.
$60 = 13x \implies x = \frac{60}{13}$.
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2x = \frac{120}{13} \ cm$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-8x-4y+16=0$ है।
$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-4, f=-2, c=16$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (4, 2)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{16+4-16} = \sqrt{4} = 2$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{S_{1}} = \sqrt{0^{2}+0^{2}-8(0)-4(0)+16} = \sqrt{16} = 4$ है।
स्पर्श जीवा $AB$ की लंबाई का सूत्र $AB = \frac{2LR}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}}$ है।
मान रखने पर,$AB = \frac{2 \times 4 \times 2}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}} = \frac{16}{\sqrt{16+4}} = \frac{16}{\sqrt{20}} = \frac{16}{2\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(AB)^{2} = \left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right)^{2} = \frac{64}{5}$ है।

(C) वृत्त $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ के बिंदु $M(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(-1) + y(1) = 2$ है,जो $x - y + 2 = 0$ के रूप में सरल होता है।
मान लीजिए $O(3, 2)$ वृत्त $C_{2}$ का केंद्र है और $r = \sqrt{5}$ इसकी त्रिज्या है।
केंद्र $O(3, 2)$ से रेखा $x - y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3 - 2 + 2|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
मान लीजिए $P$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। $\Delta OPA$ में,$OA = r = \sqrt{5}$ और $OP = d = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
अतः $AP = \sqrt{OA^{2} - OP^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\Delta OAN$ में,$\angle OAN = 90^{\circ}$ है। मान लीजिए $\angle AON = \theta$ है। तो $\tan \theta = \frac{AP}{OP} = \frac{1/\sqrt{2}}{3/\sqrt{2}} = \frac{1}{3}$.
$\Delta OAN$ में,$AN = OA \tan \theta = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
साथ ही,$ON = \sqrt{OA^{2} + AN^{2}} = \sqrt{5 + \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.
$\Delta ANB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PN$. यहाँ $PN = \frac{AN^{2}}{ON} = \frac{5/9}{5\sqrt{2}/3} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AP) \cdot PN = AP \cdot PN = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{6}$.

(B) वृत्त का समीकरण $(x-2)^{2} + y^{2} = 1$ है,जिसका केंद्र $C(2,0)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं के लिए स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T = 0$ के अनुसार $2x = 3$ अर्थात $x = \frac{3}{2}$ है।
केंद्र $C(2,0)$ से जीवा $AB$ की लंबवत दूरी $d = |2 - \frac{3}{2}| = \frac{1}{2}$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $2\sqrt{r^{2} - d^{2}} = 2\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = 2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{3}$ है।
त्रिभुज $OAB$ में आधार $AB = \sqrt{3}$ और ऊँचाई $OM = \frac{3}{2}$ है।
अतः,त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(A) केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $r = 4$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$ है,जो $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ के रूप में सरल होता है।
रेखा $x + y = 3$ बिंदु $S(\alpha, \beta)$ के सापेक्ष वृत्त की स्पर्श जीवा (chord of contact) है।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ है: $x\alpha + y\beta - 2(x + \alpha) - 3(y + \beta) - 3 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\alpha - 2)x + (\beta - 3)y - (2\alpha + 3\beta + 3) = 0$.
इसे दी गई रेखा $x + y - 3 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{\alpha - 2}{1} = \frac{\beta - 3}{1} = \frac{2\alpha + 3\beta + 3}{3}$.
$\frac{\alpha - 2}{1} = \frac{\beta - 3}{1}$ से हमें $\beta = \alpha + 1$ प्राप्त होता है।
$\beta = \alpha + 1$ को $\alpha - 2 = \frac{2\alpha + 3(\alpha + 1) + 3}{3}$ में रखने पर:
$3(\alpha - 2) = 5\alpha + 6$ $\Rightarrow 3\alpha - 6 = 5\alpha + 6$ $\Rightarrow -2\alpha = 12$ $\Rightarrow \alpha = -6$.
अतः $\beta = -5$.
इस प्रकार,$4\alpha - 7\beta = 4(-6) - 7(-5) = -24 + 35 = 11$.

(C) मान लीजिए $O(0, 0)$ वृत्त $C_1$ का केंद्र है और $A(\alpha, 0)$ वृत्त $C_2$ का केंद्र है। मान लीजिए $P$ दोनों वृत्तों का एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिज्याएँ $OP = 5$ और $AP = 4$ हैं। केंद्रों के बीच की दूरी $OA = \alpha$ है।
$\Delta OAP$ में,भुजाएँ $5, 4$ और $\alpha$ हैं। $P$ पर कोण $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{63}}{8}$ है।
$\Delta OAP$ का क्षेत्रफल दो तरह से निकाला जा सकता है:
$1$) क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OP \times AP \times \sin \theta = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{5\sqrt{63}}{4}$.
$2$) क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \alpha \times \left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{\alpha \beta}{4}$.
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{\alpha \beta}{4} = \frac{5\sqrt{63}}{4} \Rightarrow \alpha \beta = 5\sqrt{63}$.
अतः,$(\alpha \beta)^2 = 25 \times 63 = 1575$.

(A) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ है। $C_1$ का केंद्र $(1,1)$ है।
$(-1,0)$ केंद्र और $r=2$ त्रिज्या वाले वृत्त $C_2$ का समीकरण $(x+1)^2+(y-0)^2=2^2$ है,जो $x^2+y^2+2x-3=0$ में सरल हो जाता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-2x-2y+1) - (x^2+y^2+2x-3) = 0$
$-4x-2y+4=0$
$2x+y=2$.
यह रेखा $y$-अक्ष को वहां काटती है जहां $x=0$ है। $2x+y=2$ में $x=0$ रखने पर $y=2$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $P(0,2)$ है।
$P(0,2)$ की $C_1(1,1)$ के केंद्र से दूरी $d = \sqrt{(1-0)^2+(1-2)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
दूरी का वर्ग $d^2 = 2$ है।

(A) माना $P(t, \frac{4t - 20}{5})$ रेखा $4x - 5y = 20$ पर एक बिंदु है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ के लिए $P$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$tx + (\frac{4t - 20}{5})y = 9$ --- $(1)$
माना $M(h, k)$ इस जीवा का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है:
$hx + ky = h^2 + k^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{t}{h} = \frac{4t - 20}{5k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$
$\frac{t}{h} = \frac{9}{h^2 + k^2}$ से,$t = \frac{9h}{h^2 + k^2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4t - 20}{5k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$ से,$4t - 20 = \frac{45k}{h^2 + k^2}$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$4(\frac{9h}{h^2 + k^2}) - 20 = \frac{45k}{h^2 + k^2}$
$36h - 20(h^2 + k^2) = 45k$
$20(h^2 + k^2) - 36h + 45k = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ है:
$20(x^2 + y^2) - 36x + 45y = 0$

(D) परवलय $y^2=8x$ की नाभि $S \equiv (2, 0)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा ज्ञात करने के लिए,वृत्त के समीकरण से परवलय के समीकरण को घटाएं:
$(x^2+y^2-2x-4y) - (y^2-8x) = 0$
$x^2+6x-4y = 0$
चूंकि $y^2=8x$,जीवा के समीकरण में $x = \frac{y^2}{8}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y^2}{8})^2 + 6(\frac{y^2}{8}) - 4y = 0$
$\frac{y^4}{64} + \frac{3y^2}{4} - 4y = 0$
$y^4 + 48y^2 - 256y = 0$
$y(y^3 + 48y - 256) = 0$
एक हल $y=0$ है,जो $x=0$ देता है। अतः,$P \equiv (0, 0)$.
$y^3 + 48y - 256 = 0$ के लिए,निरीक्षण द्वारा,$y=4$ एक मूल है $(64 + 192 - 256 = 0)$।
यदि $y=4$ है,तो $x = \frac{16}{8} = 2$। अतः,$Q \equiv (2, 4)$।
$\triangle PQS$ के शीर्ष $P(0, 0)$,$Q(2, 4)$,और $S(2, 0)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(4-0) + 2(0-0) + 2(0-4)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 0 - 8| = \frac{1}{2} |-8| = 4$.

(B) माना $S \equiv x^{2}+y^{2}-2x-6y+6=0$ और $P(x_{1}, y_{1}) = (0,1)$.
$S_{1} = (0)^{2}+(1)^{2}-2(0)-6(1)+6 = 1$.
$T = x(0) + y(1) - (x+0) - 3(y+1) + 6 = -x - 2y + 3$.
स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_{1} = T^{2}$ है:
$(x^{2}+y^{2}-2x-6y+6)(1) = (-x-2y+3)^{2}$
$x^{2}+y^{2}-2x-6y+6 = x^{2}+4y^{2}+4xy-6x-12y+9$
$3y^{2}+4xy-4x-6y+3=0$.

(B) वृत्त $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, -5)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2 + (-5)^2 - 20} = 3$ है।
वृत्त $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-4, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 - (-24)} = 7$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = 10$ है।
चूंकि $d = r_1 + r_2$ है,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2-4x+10y+20) - (x^2+y^2+8x-6y-24) = 0$.
$-12x + 16y + 44 = 0$.
$-4$ से विभाजित करने पर,$3x - 4y - 11 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि दोनों वृत्तों की त्रिज्या $r$ है। वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: (x-2)^2 + (y-3)^2 = r^2$
$S_2: (x-4)^2 + (y-5)^2 = r^2$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x-2)^2 + (y-3)^2 - [(x-4)^2 + (y-5)^2] = r^2 - r^2$
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) - (x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25) = 0$
$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13 - x^2 + 8x - y^2 + 10y - 41 = 0$
$4x + 4y - 28 = 0$
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y - 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}+2ax+c=0$ और $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+2by+c=0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_{1}-S_{2}=0$ है,जो $2ax-2by=0$ या $ax-by=0$ है।
अतः,$y = \frac{ax}{b}$ है।
$y = \frac{ax}{b}$ को $S_{1}=0$ में रखने पर,हमें $(a^{2}+b^{2})x^{2} + 2ab^{2}x + cb^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
माना मूल $x_{1}, x_{2}$ हैं। तो $x_{1}+x_{2} = -\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ और $x_{1}x_{2} = \frac{cb^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ है।
इसी प्रकार,$x = \frac{by}{a}$ को $S_{2}=0$ में रखने पर,$(a^{2}+b^{2})y^{2} + 2ba^{2}y + ca^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
माना मूल $y_{1}, y_{2}$ हैं। तो $y_{1}+y_{2} = -\frac{2ba^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ और $y_{1}y_{2} = \frac{ca^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ है।
व्यास के रूप में उभयनिष्ठ जीवा वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर $x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x^{2} + y^{2} + \frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}x + \frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}y + \frac{c(b^{2}+a^{2})}{a^{2}+b^{2}} = 0$ है।
अतः,समीकरण $x^{2}+y^{2}+\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}x+\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}y+c=0$ है।

(A) दिए गए वृत्त $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0$ और $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+4x+2y+k=0$ हैं।
यहाँ,$g_{1}=-1, f_{1}=-1, c_{1}=-7$ और $g_{2}=2, f_{2}=1, c_{2}=k$ है।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,$2(g_{1}g_{2} + f_{1}f_{2}) = c_{1} + c_{2}$।
$2((-1)(2) + (-1)(1)) = -7 + k$
$2(-2 - 1) = -7 + k$
$-6 = -7 + k \Rightarrow k = 1$।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_{1} - S_{2} = 0$ है।
$(x^{2}+y^{2}-2x-2y-7) - (x^{2}+y^{2}+4x+2y+1) = 0$
$-6x - 4y - 8 = 0 \Rightarrow 3x + 2y + 4 = 0$।
वृत्त $S_{1}$ के लिए,केंद्र $C_{1} = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} - (-7)} = \sqrt{9} = 3$ है।
केंद्र $C_{1}(1, 1)$ से जीवा $3x + 2y + 4 = 0$ की लंबवत दूरी $d$:
$d = \frac{|3(1) + 2(1) + 4|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{|9|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_{1}^{2} - d^{2}}$ है।
$= 2\sqrt{3^{2} - (\frac{9}{\sqrt{13}})^{2}} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{13}} = 2\sqrt{\frac{117 - 81}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$।

(C) मान लीजिए कि दोनों वृत्तों की त्रिज्या $r$ है।
$(2,3)$ पर केंद्र वाले वृत्त का समीकरण:
$S_{1} \equiv (x-2)^{2} + (y-3)^{2} = r^{2} \quad \dots(i)$
$(5,6)$ पर केंद्र वाले वृत्त का समीकरण:
$S_{2} \equiv (x-5)^{2} + (y-6)^{2} = r^{2} \quad \dots(ii)$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण रेडिकल अक्ष $S_{1} - S_{2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x-2)^{2} + (y-3)^{2} - ((x-5)^{2} + (y-6)^{2}) = 0$
$(x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 6y + 9) - (x^{2} - 10x + 25 + y^{2} - 12y + 36) = 0$
$6x + 6y - 48 = 0$
$6$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y - 8 = 0$

(D) वृत्त $x^2+y^2-4x-4y+8=0$ के लिए बिंदु $P(h, k)$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $xh+yk-2(x+h)-2(y+k)+8=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(h-2)x + (k-2)y - 2h - 2k + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{h-2}{k-2}$ है।
यह दिया गया है कि रेखा $X$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $1$ है।
अतः,$-\frac{h-2}{k-2} = 1$,जिसका अर्थ है $h+k=4$.
वृत्त का केंद्र $(2, 2)$ है और त्रिज्या $r = 0$ है।
इसलिए,$(2, 2)$ बिंदु के लिए स्पर्श जीवा परिभाषित नहीं है,अतः $(2, 2)$ संभव नहीं है।

(D) माना वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ के सापेक्ष स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$xx_1 + yy_1 - 2(x + x_1) - 3(y + y_1) + 4 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(x_1 - 2)x + (y_1 - 3)y + (4 - 2x_1 - 3y_1) = 0$ $(i)$
चूँकि यह रेखा $4x + 4y - 11 = 0$ को दर्शाती है,इसलिए गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{x_1 - 2}{4} = \frac{y_1 - 3}{4} = \frac{4 - 2x_1 - 3y_1}{-11} = K$
इससे,$x_1 = 4K + 2$ और $y_1 = 4K + 3$ प्राप्त होता है।
तीसरे अनुपात में मान रखने पर:
$\frac{4 - 2(4K + 2) - 3(4K + 3)}{-11} = K$
$\frac{-20K - 9}{-11} = K$ $\Rightarrow -20K - 9 = -11K$ $\Rightarrow K = -1$
$x_1 = 4(-1) + 2 = -2$ और $y_1 = 4(-1) + 3 = -1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -1)$ है।

(D) दिया गया वृत्त $S: x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$ है। इसका केंद्र $C(2, 3)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
$P, A$ और $B$ से गुजरने वाले वृत्त का व्यास $PC$ है।
$PC$ का मध्य बिंदु नए वृत्त का केंद्र है: $M = \left(\frac{-4 + 2}{2}, \frac{0 + 3}{2}\right) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$.
व्यास $PC$ वाले वृत्त का समीकरण $(x + 4)(x - 2) + (y - 0)(y - 3) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $x^2 + y^2 + 2x - 3y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$2g = 2 \implies g = 1$ और $2f = -3 \implies f = -\frac{3}{2}$।
अतः,$(g, f) = \left(1, -\frac{3}{2}\right)$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ है।
केंद्र $(h, k) = (2, 3)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
रेखा $2x - y + 3 = 0$ के लिए $l = 2, m = -1, n = 3$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ के लिए सूत्र: $x_1 = h - \frac{r^2 l}{lh + mk + n}$ और $y_1 = k - \frac{r^2 m}{lh + mk + n}$ है।
यहाँ हर $D = 2(2) - 1(3) + 3 = 4$ है।
$x_1 = 2 - \frac{9(2)}{4} = -\frac{5}{2}$ और $y_1 = 3 - \frac{9(-1)}{4} = \frac{21}{4}$ है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(-\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$ है।

(D) माना $(h, k)$ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। वृत्त $x^2+y^2=12$ के लिए स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा (chord of contact) का समीकरण $hx+ky=12$ या $hx+ky-12=0$ है।
यह स्पर्श जीवा दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा है। उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण दोनों वृत्तों के समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2+y^2-12) - (x^2+y^2-5x+3y-2) = 0$,जो सरल होकर $5x-3y-10=0$ हो जाता है।
चूंकि $hx+ky-12=0$ और $5x-3y-10=0$ एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए उनके गुणांक आनुपातिक होने चाहिए:
$\frac{h}{5} = \frac{k}{-3} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.
अतः,$h = 5 \times \frac{6}{5} = 6$ और $k = -3 \times \frac{6}{5} = -\frac{18}{5}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(6, -\frac{18}{5}\right)$ है।

(D) दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर उनकी त्रिज्याओं के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करती हैं।
दिए गए वृत्तों $(x+11)^2+(y-2)^2=15^2$ और $(x-11)^2+(y+2)^2=5^2$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-11, 2)$ और $C_2 = (11, -2)$ हैं और त्रिज्याएं $r_1 = 15$ और $r_2 = 5$ हैं।
त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 15 : 5 = 3 : 1$ है।
बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{15(11) - 5(-11)}{15 - 5} = \frac{165 + 55}{10} = 22$
$y = \frac{15(-2) - 5(2)}{15 - 5} = \frac{-30 - 10}{10} = -4$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(22, -4)$ है।

(C) वृत्त $x^2+y^2-4x+2y-5=0$ की $(3,-4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x-3y-15=0$ है।
यदि जीवा $AB$ का मध्य बिंदु $(h,k)$ है,तो इसका समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $x(h+8)+y(k+1) = h^2+k^2+8h+k$ होगा।
इस रेखा की तुलना $x-3y-15=0$ से करने पर,मध्य बिंदु $(-6,-7)$ प्राप्त होता है जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

(B) वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के सापेक्ष $P(x_1, y_1)$ की स्पर्श-जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = a^2$ है।
चूंकि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,मूल बिंदु पर रेखाएं लंबवत हैं।
इस स्थिति में,$x_1^2+y_1^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ है। केंद्र $C(1,1)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
$P(4,4)$ से $C(1,1)$ की दूरी $d = 3\sqrt{2}$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{d^2-r^2} = 3$ है।
स्पर्श जीवा का समीकरण $x+y=5$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{RL^3}{R^2+L^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $R=3$ और $L=3$ है।
अतः,क्षेत्रफल $= \frac{3 \times 27}{9+9} = \frac{81}{18} = 4.5$ वर्ग इकाई।

(B) वृत्त का समीकरण $S = x^2 + y^2 + 4x + 6y - 3 = 0$ है। केंद्र $O(-2, -3)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
बिंदु $P(1, 1)$ के लिए,दूरी $OP = 5$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $PA = \sqrt{OP^2 - r^2} = 3$ है।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{r \cdot PA^3}{r^2 + PA^2} = \frac{4 \cdot 3^3}{4^2 + 3^2} = \frac{108}{25}$।

(C) माना $C_1: x^2+y^2=r_1^2$,$C_2: x^2+y^2=r_2^2$,और $C_3: x^2+y^2=r_3^2$ है।
माना $P(x_1, y_1)$ वृत्त $C_1$ पर एक बिंदु है,इसलिए $x_1^2+y_1^2=r_1^2$ है।
$P$ से वृत्त $C_2$ पर स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा का समीकरण $T=0$ है,जो $x x_1+y y_1-r_2^2=0$ है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $C_3$ को स्पर्श करती है,इसलिए मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r_3$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|0 \cdot x_1+0 \cdot y_1-r_2^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}=r_3$।
$x_1^2+y_1^2=r_1^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{r_2^2}{\sqrt{r_1^2}}=r_3$ प्राप्त होता है,जो $r_2^2=r_1 r_3$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,$r_1, r_2, r_3$ $GP$ में हैं।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है और बिंदु $A(x_1, y_1)$ है।
तब स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ है,जो सरल होकर $(x_1 + g)x + (y_1 + f)y + (gx_1 + fy_1 + c) = 0$ बनता है।
माना एक अन्य बिंदु $B(x_2, y_2)$ है जिससे जीवा गुजरती है,अतः $x_1x_2 + gx_2 + y_1y_2 + fy_2 + gx_1 + fy_1 + c = 0$ ... $(i)$।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - (x_1 + x_2)x - (y_1 + y_2)y + x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ ... $(ii)$ बनता है।
दो वृत्त $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ लंबकोणीय रूप से काटते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
हमारे वृत्तों के लिए,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = 2g(-\frac{x_1 + x_2}{2}) + 2f(-\frac{y_1 + y_2}{2}) = -gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2$।
समीकरण $(i)$ से,$-gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + c$।
अतः,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$,जो दर्शाता है कि वृत्त लंबकोणीय रूप से काटते हैं।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 8 = 0$ है।
माना स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(a, b)$ है। बिंदु $P(a, b)$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$xa + yb - (x + a) - 3(y + b) - 8 = 0$
$(a - 1)x + (b - 3)y - (a + 3b + 8) = 0$
यह स्पर्श जीवा दी गई रेखा $5x + y + 1 = 0$ के समान है।
दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a - 1}{5} = \frac{b - 3}{1} = \frac{-(a + 3b + 8)}{1}$
$\frac{a - 1}{5} = \frac{b - 3}{1}$ से,हमें $a - 1 = 5b - 15 \Rightarrow a - 5b = -14$ $(i)$ मिलता है।
$\frac{b - 3}{1} = -(a + 3b + 8)$ से,हमें $b - 3 = -a - 3b - 8 \Rightarrow a + 4b = -5$ (ii) मिलता है।
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $(a - 5b) - (a + 4b) = -14 - (-5)$ $\Rightarrow -9b = -9$ $\Rightarrow b = 1$
(ii) में $b = 1$ रखने पर: $a + 4(1) = -5 \Rightarrow a = -9$
अतः,बिंदु $(-9, 1)$ है।
$5a + b = 5(-9) + 1 = -45 + 1 = -44$.

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x+2y+1=0$ है।
केंद्र $C = (-2, -1)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
बिंदु $(2,1)$ के लिए स्पर्श-जीवा का समीकरण $2x + y + 3 = 0$ है।
केंद्र से जीवा पर लंब की लंबाई $CM = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
जीवा की आधी लंबाई $PM = \sqrt{r^2 - CM^2} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ है।
अतः,जीवा की कुल लंबाई $PQ = 2 \times PM = \frac{8}{\sqrt{5}}$ है।

(C) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2+y^2-4x+6y-3=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$
मानक रूप में समीकरण:
$S_1: (x-2)^2+(y+3)^2 = 16 = 4^2$. केंद्र $C_1 = (2, -3)$,त्रिज्या $r_1 = 4$.
$S_2: (x+1)^2+(y-1)^2 = 4 = 2^2$. केंद्र $C_2 = (-1, 1)$,त्रिज्या $r_2 = 2$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} = 5$.
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर लंब है। माना उभयनिष्ठ जीवा $C_1C_2$ को $M$ पर काटती है। $AM = h$ और $C_1M = x$ लेने पर,$C_2M = 5-x$.
$\triangle AC_1M$ में,$h^2 + x^2 = 16$.
$\triangle AC_2M$ में,$h^2 + (5-x)^2 = 4$.
घटाने पर: $x^2 - (5-x)^2 = 12$ $\Rightarrow 10x = 37$ $\Rightarrow x = 3.7$.
$h^2 = 16 - (3.7)^2 = 2.31 = \frac{231}{100}$.
$h = \frac{\sqrt{231}}{10}$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $AB = 2h = \frac{\sqrt{231}}{5}$.