Chord of contact of tangent and common chord Questions in Hindi

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x-2y-7=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+2y+k=0$ हैं।
चूंकि वे लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
यहाँ,$g_1=-1, f_1=-1, c_1=-7$ और $g_2=2, f_2=1, c_2=k$.
$2(-1)(2) + 2(-1)(1) = -7 + k$ $\Rightarrow -4 - 2 = -7 + k$ $\Rightarrow k = 1$.
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2-2x-2y-7) - (x^2+y^2+4x+2y+1) = 0$ $\Rightarrow -6x - 4y - 8 = 0$ $\Rightarrow 3x + 2y + 4 = 0$.
वृत्त $S_1$ के लिए,केंद्र $C = (1, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2+1^2-(-7)} = \sqrt{9} = 3$.
केंद्र $C(1, 1)$ से जीवा $3x+2y+4=0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|3(1)+2(1)+4|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{3^2 - (\frac{9}{\sqrt{13}})^2} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{13}} = 2\sqrt{\frac{117-81}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ इकाई है।

(D) वृत्तों के समीकरण $x^2 + y^2 = b^2$ और $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ हैं।
रेखा $y = mx - b \sqrt{1 + m^2}$ पहले वृत्त की स्पर्श रेखा है।
दूसरे वृत्त $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = m(x - a) \pm b \sqrt{1 + m^2}$ है।
दोनों को बराबर करने पर:
$mx - b \sqrt{1 + m^2} = mx - ma \pm b \sqrt{1 + m^2}$.
धनात्मक चिह्न लेने पर:
$ma = 2b \sqrt{1 + m^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$m^2 a^2 = 4b^2 (1 + m^2) = 4b^2 + 4b^2 m^2$.
$m^2 (a^2 - 4b^2) = 4b^2$.
$m = \frac{2b}{\sqrt{a^2 - 4b^2}}$.

(D) वृत्त $C_1$ के लिए केंद्र $O_1(1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $C_2$ के लिए केंद्र $O_2(-2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
बाह्य समानता केंद्र $S$,$O_1O_2$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है,अतः $S = (-5, -7)$ है।
$S$ से गुजरने वाली रेखा $mx-y+5m-7=0$ है।
$O_1$ से दूरी $2$ लेने पर,$8m^2-24m+15=0$ प्राप्त होता है।
संयुक्त समीकरण $15(x+5)^2 - 24(x+5)(y+7) + 8(y+7)^2 = 0$ है,जिसे सरल करने पर $15x^2-24xy+8y^2-18x-8y-73=0$ प्राप्त होता है।

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+5kx+2y+k=0$ और $S_2: x^2+y^2+kx+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $(x^2+y^2+5kx+2y+k) - (x^2+y^2+kx+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $4kx + \frac{1}{2}y + k + \frac{1}{2} = 0$ प्राप्त होता है,जो $8kx + y + 2k + 1 = 0$ है।
हमें दिया गया है कि रेखा $4x+5y-k=0$ उभयनिष्ठ जीवा है।
दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{8k}{4} = \frac{1}{5} = \frac{2k+1}{-k}$.
$\frac{8k}{4} = \frac{1}{5}$ से,हमें $2k = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{2k+1}{-k}$ से,हमें $-k = 10k+5$ प्राप्त होता है,इसलिए $11k = -5$,जिसका अर्थ है $k = -\frac{5}{11}$.
चूंकि $k$ के मान सुसंगत नहीं हैं,इसलिए $k$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए दी गई रेखा उभयनिष्ठ जीवा हो।

(A) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+x-3y-10=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-y-20=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है,जो $(x^2+y^2+x-3y-10) - (x^2+y^2+2x-y-20) = 0$ है।
यह $-x-2y+10=0$ या $x+2y-10=0$ में सरल हो जाता है।
$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ है।
$(x^2+y^2+x-3y-10) + \lambda(x+2y-10) = 0$.
$x^2+y^2+(1+\lambda)x+(-3+2\lambda)y+(-10-10\lambda) = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{1+\lambda}{2}, \frac{3-2\lambda}{2})$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $x+2y-10=0$ व्यास है,इसलिए केंद्र को उस पर स्थित होना चाहिए:
$-\frac{1+\lambda}{2} + 2(\frac{3-2\lambda}{2}) - 10 = 0$.
$-1-\lambda + 6-4\lambda - 20 = 0 \implies -5\lambda - 15 = 0 \implies \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^2+y^2+(1-3)x+(-3-6)y+(-10+30) = 0$.
$x^2+y^2-2x-9y+20=0$.
$x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha=-2, \beta=-9, \gamma=20$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+2\beta+\gamma = -2 + 2(-9) + 20 = -2 - 18 + 20 = 0$.

(B) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2=16$ है।
वृत्त $C_2$ का समीकरण $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=25$ है,जो $x^2-2\alpha x+\alpha^2+y^2-2\beta y+\beta^2=25$ के रूप में विस्तारित होता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_2-C_1=0$ द्वारा दिया जाता है,जो $-2\alpha x-2\beta y+\alpha^2+\beta^2=9$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का ढाल $m = -\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए $\alpha = -3\lambda$ और $\beta = 4\lambda$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की अधिकतम लंबाई के लिए,इसे छोटे वृत्त $C_1$ का व्यास होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि जीवा को $C_1$ के केंद्र $(0,0)$ से गुजरना चाहिए।
$(0,0)$ को जीवा के समीकरण में रखने पर: $-2\alpha(0)-2\beta(0)+\alpha^2+\beta^2=9$,अतः $\alpha^2+\beta^2=9$।
$\alpha$ और $\beta$ को $\lambda$ के पदों में रखने पर: $(-3\lambda)^2+(4\lambda)^2=9$ $\Rightarrow 25\lambda^2=9$ $\Rightarrow \lambda = \pm \frac{3}{5}$।
यदि $\lambda = \frac{3}{5}$ है,तो $\alpha = -\frac{9}{5}$ और $\beta = \frac{12}{5}$,इसलिए $\alpha+\beta = \frac{3}{5}$।

(D) माना $S \equiv x^2+y^2+3x+5y+4=0$ और $S' \equiv x^2+y^2+5x+3y+4=0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S-S'=0$ है।
$\Rightarrow (x^2+y^2+3x+5y+4) - (x^2+y^2+5x+3y+4) = 0$
$\Rightarrow -2x+2y=0$
$\Rightarrow x-y=0$.
$S=0$ का केंद्र $C\left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} - 4} = \sqrt{\frac{34}{4} - \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
माना $p$,$C$ से रेखा $x-y=0$ पर डाले गए लंब की लंबाई है:
$p = \frac{|-\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2})|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $AB = 2\sqrt{r^2-p^2}$ है।
$AB = 2\sqrt{\frac{9}{2} - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{8}{2}} = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4$।

(D) दो वृत्तों की रेडिकल अक्ष का समीकरण दोनों समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2+y^2+ax+by+c) - (x^2+y^2+bx+ay+c) = 0$.
यह सरल होकर $(a-b)x + (b-a)y = 0$ हो जाता है,जो $(a-b)(x-y) = 0$ है।
मान लीजिए $a \neq b$,तो रेडिकल अक्ष रेखा $x-y=0$ या $y=x$ है।
पहले वृत्त के समीकरण में $y=x$ रखने पर: $x^2+x^2+ax+bx+c=0 \Rightarrow 2x^2+(a+b)x+c=0$.
मान लीजिए मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। तब $x_1+x_2 = -\frac{a+b}{2}$ और $x_1x_2 = \frac{c}{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, x_1)$ और $(x_2, x_2)$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई इन बिंदुओं के बीच की दूरी है: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (x_2-x_1)^2} = \sqrt{2(x_2-x_1)^2} = \sqrt{2} |x_2-x_1|$.
$|x_2-x_1| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{\frac{(a+b)^2}{4} - 2c} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,लंबाई $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,कथन-$I$ असत्य है।
कथन-$II$ वृत्तों की ज्यामिति का एक मानक प्रमेय है,जो सत्य है।
अतः,कथन-$I$ असत्य है और कथन-$II$ सत्य है।

(B) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x+4y-4=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x-6y-3=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2+y^2-2x+4y-4) - (x^2+y^2+4x-6y-3) = 0$.
$-6x + 10y - 1 = 0$,जिसे $6x - 10y + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|6(1) - 10(2) + 1|}{\sqrt{6^2 + (-10)^2}}$.
$d = \frac{|6 - 20 + 1|}{\sqrt{36 + 100}} = \frac{|-13|}{\sqrt{136}} = \frac{13}{\sqrt{136}}$ इकाई।

(D) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। \\ दिए गए वृत्त हैं: \\ $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ \\ $S_2: x^2+y^2-5x-6y+4=0$ \\ $S_1$ में से $S_2$ को घटाने पर: \\ $(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2-5x-6y+4) = 0$ \\ $(2x - (-5x)) + (3y - (-6y)) + (1 - 4) = 0$ \\ $7x + 9y - 3 = 0$ \\ अतः,उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $7x+9y-3=0$ है।

(C) वृत्तों $S_1: x^2+y^2-8x=0$ और $S_2: x^2+y^2-9=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2-8x) + \lambda(x^2+y^2-9) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 8x - 9\lambda = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{8}{1+\lambda}x - \frac{9\lambda}{1+\lambda} = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $C\left(\frac{4}{1+\lambda}, 0\right)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है,जो $8x = 9$ है।
चूँकि उभयनिष्ठ जीवा व्यास है,केंद्र $C$ रेखा $8x = 9$ पर स्थित है।
$8\left(\frac{4}{1+\lambda}\right) = 9$
$32 = 9(1+\lambda) = 9 + 9\lambda$
$9\lambda = 23 \Rightarrow \lambda = \frac{23}{9}$.
$\lambda = \frac{23}{9}$ का मान रखने पर:
$\frac{32}{9}x^2 + \frac{32}{9}y^2 - 8x - 23 = 0$
$9$ से गुणा करने पर,$32x^2 + 32y^2 - 72x - 207 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+3x+5y+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+5x+3y+4=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+3x+5y+4) - (x^2+y^2+5x+3y+4) = 0$.
$-2x + 2y = 0$,जो $y = x$ में सरल हो जाता है।
$y = x$ को $S_1$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + x^2 + 3x + 5x + 4 = 0$,अर्थात $2x^2 + 8x + 4 = 0$ या $x^2 + 4x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$ हैं।
चूँकि $y = x$,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(-2+\sqrt{2}, -2+\sqrt{2})$ और $Q(-2-\sqrt{2}, -2-\sqrt{2})$ हैं।
जीवा $PQ$ की लंबाई $\sqrt{(-2-\sqrt{2} - (-2+\sqrt{2}))^2 + (-2-\sqrt{2} - (-2+\sqrt{2}))^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$ है।

(A) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+2y+1=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+6y+4=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है:
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+4x+6y+4) = 0$
$-2x - 4y - 3 = 0 \Rightarrow 2x + 4y + 3 = 0$.
वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda(L) = 0$ के रूप में:
$x^2+y^2+2x+2y+1 + \lambda(2x+4y+3) = 0$
$x^2+y^2+2x(1+\lambda) + 2y(1+2\lambda) + (1+3\lambda) = 0$.
केंद्र $(- (1+\lambda), -(1+2\lambda))$ है।
चूंकि व्यास उभयनिष्ठ जीवा पर स्थित है,केंद्र $2x+4y+3=0$ को संतुष्ट करेगा:
$2(-(1+\lambda)) + 4(-(1+2\lambda)) + 3 = 0$
$-10\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{10}$.
मान रखने पर:
$10x^2+10y^2+14x+8y+1=0$.

(A) माना दो वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-6x-7=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2-10x+16=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2-6x-7) - (x^2+y^2-10x+16) = 0$
$4x - 23 = 0 \Rightarrow x = \frac{23}{4}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $x = \frac{23}{4}$ को $S_1$ में रखने पर प्राप्त होते हैं:
$(\frac{23}{4})^2 + y^2 - 6(\frac{23}{4}) - 7 = 0$
$\frac{529}{16} + y^2 - \frac{138}{4} - 7 = 0$
$y^2 = \frac{135}{16}$.
अतः,$y = \pm \frac{3\sqrt{15}}{4}$.
व्यास के अंतिम बिंदु $(\frac{23}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{4})$ और $(\frac{23}{4}, -\frac{3\sqrt{15}}{4})$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है।
$(x-\frac{23}{4})^2 + y^2 - \frac{135}{16} = 0$
$x^2 - \frac{23}{2}x + \frac{529}{16} + y^2 - \frac{135}{16} = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{23}{2}x + \frac{197}{8} = 0$
$8$ से गुणा करने पर: $8x^2 + 8y^2 - 92x + 197 = 0$.

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2x+2y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
$-2x-y-1=0$,जो $2x+y+1=0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त $S_1$ का केंद्र $(-1, -1)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2-1} = 1$ है।
केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा $2x+y+1=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2(-1)+(-1)+1|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2-d^2} = 2\sqrt{1-\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा अभीष्ट वृत्त का व्यास है,इसलिए व्यास $D = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $R = \frac{D}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।

(A) दिया है,$S \equiv x^2+y^2-2x-4y+1=0$.
$y$-अक्ष के लिए,$x=0$ रखने पर,$y^2-4y+1=0$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए हल करने पर,$y = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
चूंकि $OA > OB$,इसलिए $A(0, 2+\sqrt{3})$ और $B(0, 2-\sqrt{3})$ है।
मूल अक्ष का समीकरण $S-S^{\prime}=0$ है।
$(x^2+y^2-2x-4y+1) - (x^2+y^2-4x-2y+4) = 0 \Rightarrow 2x-2y-3=0$.
$y$-अक्ष के लिए,$x=0$ रखने पर,$-2y-3=0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}$.
अतः,$C$ बिंदु $(0, -\frac{3}{2})$ है।
माना $C, AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $-\frac{3}{2} = \frac{k(2-\sqrt{3}) + 1(2+\sqrt{3})}{k+1}$.
हल करने पर $k = \frac{7+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-7}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $(7+2\sqrt{3}) : (-7+2\sqrt{3})$ है।

(A) प्रथम वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दूसरे वृत्त $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ प्राप्त होता है।
मूल अक्ष दोनों समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होती है: $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$,जो सरल होकर $(4g-3)x + 4(f-2)y = 0$ हो जाता है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है,जिसे $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-1, -1)$ है और त्रिज्या $1$ है।
केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा $(4g-3)x + 4(f-2)y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $1$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|(4g-3)(-1) + 4(f-2)(-1)|}{\sqrt{(4g-3)^2 + (4(f-2))^2}} = 1$.
$|-(4g-3) - 4(f-2)| = \sqrt{(4g-3)^2 + 16(f-2)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(4g-3)^2 + 16(f-2)^2 + 8(4g-3)(f-2) = (4g-3)^2 + 16(f-2)^2$.
इससे $8(4g-3)(f-2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(4g-3)(f-2) = 0$।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+6x+4y-12=0$ है।
त्रिज्या $r = 5$ प्राप्त होती है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{r^2 - (d/2)^2} = 2\sqrt{17}$ से $d = 4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\sin(\theta/2) = \frac{L}{2r} = \frac{\sqrt{17}}{5}$ होता है।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण $C_1: x^2+y^2-6x-4y+9=0$ और $C_2: x^2+y^2+2x+2y-7=0$ हैं।
$C_1$ को $C_2$ से घटाने पर, हमें स्पर्श बिंदु पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त होता है:
$(x^2+y^2+2x+2y-7) - (x^2+y^2-6x-4y+9) = 0$
$8x+6y-16=0 \implies 4x+3y=8$.
इससे, $y = \frac{8-4x}{3}$.
इसे $C_1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + (\frac{8-4x}{3})^2 - 6x - 4(\frac{8-4x}{3}) + 9 = 0$.
$9$ से गुणा करने पर: $9x^2 + (64 - 64x + 16x^2) - 54x - 12(8-4x) + 81 = 0$.
$25x^2 - 70x + 49 = 0 \implies (5x-7)^2 = 0$.
अतः, $x = \alpha = \frac{7}{5}$.
तब $y = \beta = \frac{8-4(7/5)}{3} = \frac{4}{5}$.
हमें $7\beta$ का मान ज्ञात करना है।
$7\beta = 7 \times \frac{4}{5} = \frac{28}{5}$.
चूंकि $\alpha = \frac{7}{5}$, इसलिए $4\alpha = 4 \times \frac{7}{5} = \frac{28}{5}$.
अतः, $7\beta = 4\alpha$.

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा ज्ञात करने के लिए,$S_1$ में से $S_2$ को घटाएं:
$(x^2+y^2-2x-4y-4) - (x^2+y^2+2x+4y-11) = 0$
$-4x-8y+7 = 0$
$4x+8y-7 = 0$.
चूंकि मूलाक्ष (उभयनिष्ठ जीवा) मौजूद है,इसलिए वृत्त $4x+8y-7=0$ रेखा पर स्थित दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(C) माना कि दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x+3y+2=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-3y-4=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2+y^2+2x+3y+2) - (x^2+y^2+2x-3y-4) = 0$
$6y + 6 = 0 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ को $S_1 = 0$ में रखने पर:
$x^2 + (-1)^2 + 2x + 3(-1) + 2 = 0$
$x^2 + 1 + 2x - 3 + 2 = 0$
$x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = -2$.
व्यास के अंतिम बिंदु $(0, -1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(x-0)(x+2) + (y+1)(y+1) = 0$
$x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ है। इसका केंद्र $C(2, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)} = \sqrt{4+1+4} = 3$ है।
माना $P = (-3, 1)$ है। व्यास $PC$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - (-3))(x - 2) + (y - 1)(y - (-1)) = 0$ होगा।
यह सरल होकर $(x+3)(x-2) + (y-1)(y+1) = 0$ बनता है,जो $x^2+x-6 + y^2-1 = 0$ या $x^2+y^2+x-7=0$ है।
स्पर्श बिंदु $A$ और $B$ इस वृत्त पर स्थित हैं क्योंकि $\angle PAC = 90^\circ$ और $\angle PBC = 90^\circ$ है।
अतः,$\triangle PAB$ के परिवृत्त का समीकरण वह वृत्त है जिसका व्यास $PC$ है,जो $x^2+y^2+x-7=0$ है।

(C) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ और $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ हैं।
$S_1$ का केंद्र $C_1 = (-1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
$S_2$ का केंद्र $C_2 = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = 2\sqrt{2}$ है।
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$C_1 C_2$ को $1:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,अतः $P = (0, 0)$ है।
$(0, 0)$ से $S_1$ पर स्पर्श रेखाओं का युग्म $T^2 = S_1 S_{11}$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + 1)^2 = (x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1)(1)$.
$x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y = x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1$.
$2xy = 0 \Rightarrow xy = 0$.

(C) मान लीजिए बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(h, k)$ और $(p, q)$ हैं।
वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के सापेक्ष बिंदु $P(h, k)$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $xh+yk=a^2$ है।
चूंकि यह जीवा $Q(p, q)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $ph+qk=a^2$ है।
$P$ और $Q$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई $l_1 = \sqrt{h^2+k^2-a^2}$ और $l_2 = \sqrt{p^2+q^2-a^2}$ है।
इनका वर्ग करने पर,$l_1^2 = h^2+k^2-a^2$ और $l_2^2 = p^2+q^2-a^2$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(h-p)^2+(k-q)^2} = \sqrt{h^2+k^2+p^2+q^2-2(hp+kq)}$.
$hp+kq=a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$PQ = \sqrt{(h^2+k^2)+(p^2+q^2)-2a^2}$ प्राप्त होता है।
$h^2+k^2 = l_1^2+a^2$ और $p^2+q^2 = l_2^2+a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$PQ = \sqrt{(l_1^2+a^2)+(l_2^2+a^2)-2a^2} = \sqrt{l_1^2+l_2^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x-10y+5=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-4)^2+(y-5)^2 = 36 = 6^2$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $C(4, 5)$ और त्रिज्या $r = 6$ है।
बिंदु $P(-2, -3)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{4+9+16+30+5} = 8$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle CAP$ में,$\angle CAP = 90^\circ$ है।
माना $\angle APC = \frac{\theta}{2}$ है। तब $\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{CA}{PA} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \frac{2 \tan(\frac{\theta}{2})}{1-\tan^2(\frac{\theta}{2})}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \frac{2(\frac{3}{4})}{1-(\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{24}{7}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-2gx-2hy+h^2=0$.
केंद्र $C = (g, h)$,त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+h^2-h^2} = |g|$.
स्पर्श रेखा की लंबाई $OP = OQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{h^2} = |h|$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \cdot OP \cdot OQ \cdot \sin(2\theta) = \frac{1}{2} h^2 \sin(2\theta)$.
$\triangle OPC$ में,$\angle OPC = 90^{\circ}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{PC}{OP} = \frac{|g|}{|h|}$.
अब,$\sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{2|g||h|}{h^2+g^2}$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} h^2 \cdot \frac{2|g||h|}{h^2+g^2} = \frac{|g|h^3}{h^2+g^2}$ वर्ग इकाई।

(D) मान लीजिए कि दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या $r$ है। ऐसे वृत्त का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है।
चूंकि वृत्त $A=(1,2)$ से गुजरता है,हमारे पास $(1-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$,जो $r^2 - 6r + 5 = 0$ में सरल हो जाता है।
$r$ के लिए हल करने पर,$(r-1)(r-5) = 0$,इसलिए $r=1$ या $r=5$ है।
दो वृत्त $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ और $C_2: (x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$C_1: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 - 10x - 10y + 25 = 0$
$C_1$ से $C_2$ घटाने पर: $8x + 8y - 24 = 0$,या $x + y = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A=(1,2)$ रेखा $x+y=3$ पर स्थित है,बिंदु $B$ केंद्रों $(1,1)$ और $(5,5)$ को जोड़ने वाली रेखा के सापेक्ष $A$ का प्रतिबिंब है। केंद्रों की रेखा $y=x$ है।
$y=x$ के सापेक्ष $(1,2)$ का प्रतिबिंब $(2,1)$ है। अतः $B=(2,1)$ है।
लंबाई $AB = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=125$ है।
दिया गया है कि $P(8, \beta)$ जीवा का मध्यबिंदु है।
मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ होता है,जो $xx_1+yy_1=x_1^2+y_1^2$ है।
$(8, \beta)$ प्रतिस्थापित करने पर,$8x+\beta y = 64+\beta^2$,या $8x+\beta y - (64+\beta^2) = 0$ प्राप्त होता है।
इस जीवा की ढाल $m = -\frac{8}{\beta}$ है।
$m$ के पूर्णांक होने के लिए,$\beta$ को $8$ का विभाजक होना चाहिए। अतः,$\beta \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \}$।
चूंकि बिंदु $P(8, \beta)$ वृत्त के अंदर स्थित होना चाहिए,$8^2+\beta^2 < 125$,जिसका अर्थ है $64+\beta^2 < 125$,अर्थात $\beta^2 < 61$।
मानों की जाँच करने पर:
यदि $\beta = \pm 1$,$\beta^2 = 1 < 61$ (मान्य,$m = \mp 8$)।
यदि $\beta = \pm 2$,$\beta^2 = 4 < 61$ (मान्य,$m = \mp 4$)।
यदि $\beta = \pm 4$,$\beta^2 = 16 < 61$ (मान्य,$m = \mp 2$)।
यदि $\beta = \pm 8$,$\beta^2 = 64 > 61$ (अमान्य)।
अतः,$\beta$ के संभावित मान $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ हैं,जो कुल $6$ मान देते हैं।

(B) दो वृत्तों $C_1: x^2+y^2-2x+2y+1=0$ और $C_2: x^2+y^2-2x-2y-2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2-2x+2y+1) - (x^2+y^2-2x-2y-2) = 0$
$4y + 3 = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}$.
चूंकि यह उभयनिष्ठ जीवा वृत्त $S$ का व्यास है,इसलिए वृत्त $S$ का केंद्र रेखा $y = -\frac{3}{4}$ पर स्थित होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$y$-निर्देशांक $-\frac{3}{4}$ वाले बिंदु $\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$,$\left(1, -\frac{3}{4}\right)$,और $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ हैं।
वृत्त $S$ का केंद्र $(1, -\frac{3}{4})$ है।

(A) वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-2x-1=0$ का केंद्र $C(1,0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2}$ है।
वृत्त $S_2 \equiv x^2+y^2-2x=0$ का केंद्र $C(1,0)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
चूंकि $P$,$S_1$ पर स्थित है,$PA$ और $PB$,$P$ से $S_2$ पर स्पर्श रेखाएं हैं। अतः $CA \perp PA$ और $CB \perp PB$.
$\triangle CAB$ में,$CA = CB = r_2 = 1$. स्पर्श जीवा $AB$,$CP$ के लंबवत है।
मान लीजिए $M$,$AB$ का मध्य बिंदु है। $\triangle CAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए इसका परिकेंद्र $O$,$CP$ रेखा पर स्थित है।
$CM = \frac{r_2^2}{CP} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
परित्रिज्या $R_{circum} = \frac{CA^2}{2CM} = \frac{1}{2(1/\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$O(h,k)$ की $C(1,0)$ से दूरी $1/\sqrt{2}$ है।
$(h-1)^2 + k^2 = 1/2 \Rightarrow 2h^2 + 2k^2 - 4h + 1 = 0$.
अतः,बिंदुपथ $2x^2 + 2y^2 - 4x + 1 = 0$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=3$ है। वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1+yy_1=r^2$ होता है।
बिंदु $(2,0)$ के लिए,$L_1: 2x+0y=3 \Rightarrow 2x-3=0$.
बिंदु $(1,-2)$ के लिए,$L_2: 1x-2y=3 \Rightarrow x-2y-3=0$.
बिंदु $(4,4)$ के लिए,$L_3: 4x+4y=3 \Rightarrow 4x+4y-3=0$.
संगामी होने की जांच के लिए,$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर: $x=\frac{3}{2}$,$y=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}-3) = -\frac{3}{4}$.
बिंदु $(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$ को $L_3$ में रखने पर: $4(\frac{3}{2})+4(-\frac{3}{4})-3 = 6-3-3 = 0$.
चूंकि यह बिंदु $L_3$ को संतुष्ट करता है,इसलिए रेखाएं संगामी हैं।

(C) रेखा $3x-y+k=0$ वृत्त $x^2+y^2+4x-6y+3=0$ को स्पर्श करती है।
वृत्त का केंद्र $(-2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - 3} = \sqrt{10}$ है।
चूंकि रेखा वृत्त को स्पर्श करती है,केंद्र $(-2, 3)$ से रेखा $3x-y+k=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होगी।
$\frac{|3(-2) - (3) + k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \sqrt{10}$
$|k-9| = 10$
$k = 19$ या $k = -1$ प्राप्त होता है।
$k_1 < k_2$ होने के कारण,$k_1 = -1$ और $k_2 = 19$ है।
बिंदु $(-1, 19)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण:
$-x + 19y + 2(x-1) - 3(y+19) + 3 = 0$
$x + 16y - 56 = 0$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+x+3y=0$ है।
माना $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(h, k)$ है।
स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T=0$ द्वारा दिया जाता है:
$xh + yk + \frac{x+h}{2} + 3\left(\frac{y+k}{2}\right) = 0$
$x\left(h+\frac{1}{2}\right) + y\left(k+\frac{3}{2}\right) + \frac{h+3k}{2} = 0$.
इसे दी गई रेखा $x+y+1=0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{h+1/2}{1} = \frac{k+3/2}{1} = \frac{(h+3k)/2}{1}$.
$h+1/2 = k+3/2$ से,हमें $h-k=1$ प्राप्त होता है।
$h+1/2 = (h+3k)/2$ से,हमें $2h+1 = h+3k$ प्राप्त होता है,यानी $h-3k = -1$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $k=1$ और $h=2$ प्राप्त होता है। अतः $P=(2, 1)$ है।
$A$ और $B$ से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $x^2+y^2+x+3y + \lambda(x+y+1) = 0$ है।
चूंकि यह वृत्त $P(2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $4+1+2+3 + \lambda(2+1+1) = 0$,जो $10 + 4\lambda = 0$ देता है,अतः $\lambda = -5/2$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+x+3y - \frac{5}{2}(x+y+1) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x^2+y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{5}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{-3/2}{2}, -\frac{1/2}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right)$ है।

(B) रेखा $L \equiv -mx+y-1=0$,वृत्त $S \equiv x^2+y^2-1=0$ की एक जीवा है और यह वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-4x+1=0$ को स्पर्श करती है।
$S_1$ का केंद्र $(2, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+0^2-1} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि रेखा वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(2, 0)$ से रेखा $L$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{3}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|-m(2) + 0 - 1|}{\sqrt{(-m)^2 + 1^2}} = \sqrt{3}$
$\frac{|-2m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(2m+1)^2}{m^2+1} = 3$
$4m^2 + 4m + 1 = 3m^2 + 3$
$m^2 + 4m - 2 = 0$
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$.
$m$ का मान $L$ में रखने पर: $y - (-2 \pm \sqrt{6})x - 1 = 0$,जो सरल होकर $y + (2 \mp \sqrt{6})x - 1 = 0$ हो जाता है।
$S \equiv x^2+y^2-1=0$ के सापेक्ष बिंदु $(h, k)$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $hx + ky - 1 = 0$ है।
$hx + ky - 1 = 0$ की तुलना $(2 \mp \sqrt{6})x + y - 1 = 0$ से करने पर,हमें $h = 2 \mp \sqrt{6}$ और $k = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(2 \pm \sqrt{6}, 1)$ है।

(A) माना कि $(h, k)$ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इन स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा है।
दोनों वृत्तों $x^2+y^2=12$ और $x^2+y^2-5x+3y-2=0$ के समीकरणों को घटाने पर उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण प्राप्त होता है:
$(x^2+y^2-5x+3y-2) - (x^2+y^2-12) = 0$
$-5x+3y+10=0$,जिसे $5x-3y-10=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(h, k)$ के सापेक्ष वृत्त $x^2+y^2=12$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $hx+ky=12$ या $hx+ky-12=0$ है।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए उनके गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{h}{5} = \frac{k}{-3} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.
$k$ के लिए अनुपात की तुलना करने पर:
$\frac{k}{-3} = \frac{6}{5} \Rightarrow k = -\frac{18}{5}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि $-\frac{18}{5}$ है।

(A) वृत्त $S_1: x^2+y^2-6x-8y+9=0$ के लिए,केंद्र $C_1(3, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
वृत्त $S_2: x^2+y^2+2x-2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2(-1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = 5$ है।
चूंकि $C_1C_2 = r_1 + r_2$ है,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2+y^2-6x-8y+9) - (x^2+y^2+2x-2y+1) = 0$.
$-8x - 6y + 8 = 0$.
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें $4x + 3y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-2x+18y+78=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+8x-6y-200=0$ हैं।
केंद्र $C_1 = (1, -9)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
केंद्र $C_2 = (-4, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = 15$ है।
दूरी $C_1C_2 = 13$ है।
चूंकि $r_2 - r_1 = 13 = C_1C_2$,वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$-10x + 24y + 278 = 0$ या $-5x + 12y + 139 = 0$।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $-5\left(\frac{-2}{5}\right) + 12\left(\frac{-47}{4}\right) + 139 = 2 - 141 + 139 = 0$।
अतः,बिंदु $\left(\frac{-2}{5}, \frac{-47}{4}\right)$ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा पर स्थित है।

(B) वृत्तों के समीकरण $C_1: x^2+y^2-6x+5=0$ और $C_2: x^2+y^2+4y-5=0$ हैं।
दोनों समीकरणों को घटाने पर उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण प्राप्त होता है: $(x^2+y^2-6x+5) - (x^2+y^2+4y-5) = 0$,जो सरल होकर $-6x-4y+10=0$ या $3x+2y-5=0$ हो जाता है।
$C_1$ का केंद्र $(3, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+0^2-5} = 2$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $3x+2y-5=0$ की दूरी $d = \frac{|3(3)+2(0)-5|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{13}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2-d^2} = 2\sqrt{2^2 - (\frac{4}{\sqrt{13}})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{16}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है।

(D) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-4x-12=0$ और $C_2: x^2+y^2+4x-12=0$ हैं।
उनके केंद्र $A(-2, 0)$ और $B(2, 0)$ हैं, और दोनों की त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+0^2+12} = 4$ है।
उभयनिष्ठ जीवा समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होती है: $(x^2+y^2+4x-12) - (x^2+y^2-4x-12) = 0$, जो $8x = 0$ अर्थात $x = 0$ ($y$-अक्ष) देता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $C$ और $D$, $x=0$ को $x^2+y^2-4x-12=0$ में रखने पर प्राप्त होते हैं, जो $y^2 = 12$ देता है, इसलिए $y = \pm 2\sqrt{3}$। अतः, $C(0, 2\sqrt{3})$ और $D(0, -2\sqrt{3})$ हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण $AB$ (लंबाई $d_1 = 4$) और $CD$ (लंबाई $d_2 = 4\sqrt{3}$) हैं।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) वृत्तों $S_1$ और $S_2$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$।
$S_1$ और $S_2$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2+4\lambda)x + (3+3\lambda)y + (1+2\lambda) = 0$।
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{2+4\lambda}{2(1+\lambda)}, -\frac{3+3\lambda}{2(1+\lambda)})$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $x = -\frac{1}{2}$ व्यास है,केंद्र इस रेखा पर स्थित है।
$-\frac{2+4\lambda}{2(1+\lambda)} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 3\lambda = -1$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$।
मान रखने पर,$2x^2+2y^2+2x+6y+1=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+4y=0$ और $S_2: x^2+y^2-4x-5=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $(x^2+y^2+4y) - (x^2+y^2-4x-5) = 0$ अर्थात $4x+4y+5=0$ है।
माना वृत्त $S=0$ का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि उभयनिष्ठ जीवा वृत्त $S=0$ का व्यास है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ उभयनिष्ठ जीवा $4x+4y+5=0$ पर स्थित होगा। अतः,$4h+4k+5=0$ है।
वृत्त $S=0$ का केंद्र उभयनिष्ठ जीवा का मध्यबिंदु भी है। $S_1$ का केंद्र $C_1(0, -2)$ है और $S_2$ का केंद्र $C_2(2, 0)$ है।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = \frac{-2-0}{0-2}(x-2)$ अर्थात $y = x-2$ या $x-y-2=0$ है।
वृत्त $S=0$ का केंद्र $(h, k)$ उभयनिष्ठ जीवा $4x+4y+5=0$ और केंद्रों की रेखा $x-y-2=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
समीकरणों को हल करने पर:
$4x+4y = -5$
$x-y = 2 \Rightarrow y = x-2$
पहले समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $4x + 4(x-2) = -5$ $\Rightarrow 8x - 8 = -5$ $\Rightarrow 8x = 3$ $\Rightarrow x = \frac{3}{8}$।
अतः,केंद्र का भुज $\frac{3}{8}$ है।

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-4x-8y+4=0$ और $S_2: x^2+y^2-8x-12y+16=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ है।
$(x^2+y^2-4x-8y+4) - (x^2+y^2-8x-12y+16) = 0$
$4x+4y-12=0 \implies x+y-3=0$.
$S_1$ के लिए: $(x-2)^2+(y-4)^2 = 16$. केंद्र $O(2, 4)$,त्रिज्या $r_1 = 4$.
केंद्र $O(2, 4)$ से रेखा $x+y-3=0$ की लंबवत दूरी $d$:
$d = \frac{|2+4-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{r_1^2-d^2}$.
$L = 2\sqrt{16 - \frac{9}{2}} = 2\sqrt{\frac{23}{2}} = \sqrt{46}$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ हैं।
$S_1$ से $S_2$ को घटाने पर,$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$,जो $-2x - 1 = 0$ या $x = -\frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।
$x = -\frac{1}{2}$ को पहले वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(-\frac{1}{2})^2 + y^2 + 2(-\frac{1}{2}) + 3y + 1 = 0$.
$\frac{1}{4} + y^2 - 1 + 3y + 1 = 0 \Rightarrow y^2 + 3y + \frac{1}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,$4y^2 + 12y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 16}}{8} = \frac{-12 \pm 8\sqrt{2}}{8} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{2}$.
उभयनिष्ठ जीवा के अंतिम बिंदु $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} + \sqrt{2})$ और $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} - \sqrt{2})$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई इन बिंदुओं के बीच की दूरी है: $\sqrt{(-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + ((-\frac{3}{2} + \sqrt{2}) - (-\frac{3}{2} - \sqrt{2}))^2} = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2}$ इकाई।

(A) पहला वृत्त $x^2+y^2-2x-6y+(10-r^2)=0$ है। इसका केंद्र $C_1 = (1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+3^2-(10-r^2)} = |r|$ है।
दूसरा वृत्त $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ है। इसका केंद्र $C_2 = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4^2+(-1)^2-8} = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = 5$ है।
दो वृत्तों में उभयनिष्ठ जीवा होने के लिए,उन्हें दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना चाहिए,जिसके लिए शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है।
मान रखने पर: $| |r| - 3 | < 5 < |r| + 3$.
इसे हल करने पर हमें $2 < |r| < 8$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $S \equiv x^2+y^2-4=0$,अतः $C_1(0,0)$ और $r_1=2$ है।
माना $S^{\prime}=0$ का केंद्र $C_2(h, k)$ और त्रिज्या $r_2=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ है।
$S^{\prime}=0$ का समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2+y^2-2xh-2yk+h^2+k^2-\frac{25}{2}=0$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S-S^{\prime}=0$ है,जो $2xh+2yk = h^2+k^2-\frac{17}{2}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का ढाल $-\frac{h}{k} = \frac{1}{4} \Rightarrow k = -4h$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई अधिकतम तब होती है जब वह छोटे वृत्त के केंद्र $C_1(0,0)$ से होकर गुजरती है।
$(0,0)$ को जीवा के समीकरण में रखने पर: $h^2+k^2 = \frac{17}{2}$ प्राप्त होता है।
$k=-4h$ को $h^2+k^2=\frac{17}{2}$ में रखने पर,$h^2+(-4h)^2 = \frac{17}{2}$ $\Rightarrow 17h^2 = \frac{17}{2}$ $\Rightarrow h = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ प्राप्त होता है।
यदि $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$,तो $k = -2\sqrt{2}$ है।
यदि $h = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,तो $k = 2\sqrt{2}$ है।
अतः,केंद्र $C_2$ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2}\right)$ या $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2}\right)$ है।

(A) दिया है $S_1: x^2+y^2=16$। केंद्र $B(0,0)$ है और त्रिज्या $r_1=4$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई अधिकतम है,यह $S_1$ का व्यास होगा।
माना $PQ$ उभयनिष्ठ जीवा है। जीवा की लंबाई $2 \times 4 = 8$ है।
माना $S_2$ का केंद्र $A(h, k)$ है और त्रिज्या $r_2=5$ है।
केंद्र $A(h, k)$ से उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ की दूरी $d = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती है और इसका ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
रेखा $AB$,जीवा $PQ$ के लंबवत है,इसलिए $AB$ का ढाल $-\frac{4}{3}$ है।
$AB$ की दूरी $3$ है।
प्राचलिक रूप का उपयोग करने पर,केंद्र $\left(\mp \frac{9}{5}, \pm \frac{12}{5}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए वृत्त $C_1: (x-a)^2+y^2=a^2$ और $C_2: x^2+(y-a)^2=a^2$ हैं।
इनका विस्तार करने पर,$x^2+y^2-2ax=0$ और $x^2+y^2-2ay=0$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ है,जिससे $-2ax + 2ay = 0 \Rightarrow x-y=0$ प्राप्त होता है।
$y=x$ को $x^2+y^2-2ax=0$ में रखने पर,$2x^2-2ax=0 \Rightarrow 2x(x-a)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(a,a)$ हैं।
जीवा का मध्य-बिंदु $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ है।
जीवा की लंबाई $\sqrt{2}a$ है।
केंद्र $(a,0)$ से रेखा $x-y=0$ की दूरी $d = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,विकल्प $D$ सत्य नहीं है।

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-3x+y-10=0$ और $S_2: x^2+y^2-x+2y-20=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ अर्थात $2x+y-10=0$ है।
वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $(\frac{3+\lambda}{2(1+\lambda)}, \frac{-(1+2\lambda)}{2(1+\lambda)})$ है।
केंद्र $2x+y-10=0$ पर स्थित है,जिससे $\lambda = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ का मान रखने पर,$x^2+y^2-9x-2y+20=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरणों को घटाने पर उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण प्राप्त होता है: $(x^2+y^2-6x-4y+9) - (x^2+y^2-8x-6y+23) = 0$
यह $2x + 2y - 14 = 0$ या $x + y - 7 = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-4y+9=0$ के लिए,केंद्र $(3, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + 2^2 - 9} = 2$ है।
केंद्र $(3, 2)$ से रेखा $x + y - 7 = 0$ पर लंबवत दूरी $d = \frac{|3 + 2 - 7|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$ है।