Chord of contact of tangent and common chord Questions in Hindi

(A) उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+\alpha x+3y+2) = 0$
$(2-\alpha)x - y - 1 = 0$.
प्रथम वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ के लिए,केंद्र $(-1, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 - 1} = 1$ है।
केंद्र $(-1, -1)$ से उभयनिष्ठ जीवा $(2-\alpha)x - y - 1 = 0$ पर लंबवत दूरी $p$ है:
$p = \frac{|(2-\alpha)(-1) - (-1) - 1|}{\sqrt{(2-\alpha)^2 + (-1)^2}} = \frac{|\alpha-2+1-1|}{\sqrt{(2-\alpha)^2+1}} = \frac{|\alpha-2|}{\sqrt{\alpha^2-4\alpha+5}}$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-p^2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
अतः,$\sqrt{r^2-p^2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow r^2-p^2 = \frac{1}{5}$.
चूंकि $r=1$,हमें $1 - p^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow p^2 = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
$\frac{(\alpha-2)^2}{\alpha^2-4\alpha+5} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5(\alpha^2-4\alpha+4) = 4(\alpha^2-4\alpha+5)$.
$5\alpha^2-20\alpha+20 = 4\alpha^2-16\alpha+20$.
$\alpha^2 - 4\alpha = 0 \Rightarrow \alpha(\alpha-4) = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 0$,इसलिए $\alpha = 4$ है।

(A) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2+y^2-6x-4y+13-c^2=0$
$S_2: x^2+y^2-4x-6y+13-c^2=0$
केंद्र $C_1(3,2)$ और $C_2(2,3)$ हैं और त्रिज्या $r_1=r_2=c$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-6x-4y+13-c^2)-(x^2+y^2-4x-6y+13-c^2)=0$
$-2x+2y=0 \Rightarrow x-y=0$.
मान लीजिए $M$ उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। $C_1M$,$C_1(3,2)$ से रेखा $x-y=0$ की लंबवत दूरी है:
$C_1M = \frac{|3-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\triangle AC_1M$ में,$AM^2 = AC_1^2 - C_1M^2 = c^2 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = c^2 - \frac{1}{2}$.
$AM = \sqrt{c^2 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{4c^2-2}}{2}$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $AB = 2AM = 2 \times \frac{\sqrt{4c^2-2}}{2} = \sqrt{4c^2-2}$.

(B) वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2-2ax=0$
$S_2: x^2+y^2-2by=0$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है:
$(x^2+y^2-2ax) - (x^2+y^2-2by) = 0$
$-2ax + 2by = 0$
$ax - by = 0$
वृत्त $S_1$ का केंद्र $C_1(a, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = a$ है।
केंद्र $C_1(a, 0)$ से उभयनिष्ठ जीवा $ax - by = 0$ पर लंबवत दूरी $d$ है:
$d = \frac{|a(a) - b(0)|}{\sqrt{a^2 + (-b)^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2 - d^2}$ है:
$= 2\sqrt{a^2 - \left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}$
$= 2\sqrt{a^2 - \frac{a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^2(a^2+b^2) - a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^4 + a^2b^2 - a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}}$
$= \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(D) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$x^2+y^2-4y=0$ $(1)$
$x^2+y^2-8x-4y+11=0$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर,उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण प्राप्त होता है:
$(x^2+y^2-8x-4y+11) - (x^2+y^2-4y) = 0$
$-8x+11=0$ $\Rightarrow 8x=11$ $\Rightarrow x=\frac{11}{8}$
प्रथम वृत्त $x^2+y^2-4y=0$ के लिए,केंद्र $C(0, 2)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
केंद्र $(0, 2)$ से रेखा $x = \frac{11}{8}$ की लंबवत दूरी $d = |0 - \frac{11}{8}| = \frac{11}{8}$ है।
जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$
$L = 2\sqrt{2^2 - (\frac{11}{8})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{121}{64}} = 2\sqrt{\frac{135}{64}} = \frac{\sqrt{135}}{4} \text{ इकाई}$.

(C) माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 15$ और $r_2 = 20$ हैं। उनके केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = 25$ है।
यहाँ $r_1^2 + r_2^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = d^2$ है।
चूँकि त्रिज्याओं के वर्गों का योग केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के बराबर है,इसलिए $\triangle AC_1C_2$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle C_1AC_2 = 90^\circ$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $C_1C_2$ पर लंब है। माना प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ है।
$\triangle AC_1C_2$ में,कर्ण $C_1C_2$ पर डाला गया शीर्षलंब $AD$ उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई का आधा है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल से: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times r_1 \times r_2 = \frac{1}{2} \times d \times AD$.
$15 \times 20 = 25 \times AD$.
$AD = \frac{300}{25} = 12$.
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $= 2 \times AD = 2 \times 12 = 24$ इकाई।

(A) माना मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले चर वृत्त $S=0$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $x-y=0$ को स्पर्श करता है,केंद्र $(-g, -f)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{g^2+f^2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|-g+f|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \sqrt{g^2+f^2} \Rightarrow \frac{(g-f)^2}{2} = g^2+f^2$.
$g^2+f^2-2gf = 2g^2+2f^2$ $\Rightarrow g^2+f^2+2gf = 0$ $\Rightarrow (g+f)^2 = 0$ $\Rightarrow f = -g$.
$f = -g$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर,$S = x^2+y^2+2gx-2gy = 0$ प्राप्त होता है।
$S=0$ और $x^2+y^2+6x+8y-7=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2gx-2gy) - (x^2+y^2+6x+8y-7) = 0$.
$(2g-6)x - (2g+8)y + 7 = 0$.
$2g(x-y) - (6x+8y-7) = 0$.
यह रेखाओं का एक परिवार है जो $x-y=0$ और $6x+8y-7=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $x=y$,अतः $6x+8x-7=0$ $\Rightarrow 14x=7$ $\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
अतः,स्थिर बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+3y+2=0$ हैं।
चूंकि वृत्त $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ होगा।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$।
$AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण $2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) उनके सभी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं को समद्विभाजित करती है।
पहले,$A(1, 1)$ और $B(0, 1)$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें:
$M = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
फिर,$C\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ और $D\left(-\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ का मध्य-बिंदु $N$ ज्ञात करें:
$N = \left(\frac{1}{5}, \frac{11}{10}\right)$.
मूलाक्ष $M$ और $N$ से होकर गुजरती है। रेखा $MN$ की ढाल $m$:
$m = -\frac{1}{3}$.
रेखा $MN$ का समीकरण:
$y - 1 = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)$
$2x + 6y = 7$.

(A) दिया गया वृत्त $S^{\prime} \equiv x^2+y^2-2x+2y-7=0$ है।
केंद्र $C_1(1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
रेखाएँ $5x^2-xy-5x+y=0$ अर्थात $(x-1)(5x-y)=0$ हैं।
अतः,$S=0$ का केंद्र $C_2(1, 5)$ है।
बाह्य रूप से स्पर्श करने के कारण,$C_1C_2 = r_1 + r_2$ $\Rightarrow 6 = 3 + r_2$ $\Rightarrow r_2 = 3$।
$S=0$ का समीकरण: $(x-1)^2 + (y-5)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 10y + 17 = 0$।
$C_1(1, -1)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $T=0$ है।
$x(1) + y(-1) - 1(x+1) - 5(y-1) + 17 = 0$।
$-6y + 21 = 0 \Rightarrow 2y-7=0$।

(C) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,बशर्ते $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान हों।
दिया गया है $S_1 = px^2 + py^2 + 2g'x + 2f'y + d = 0$,इसे $p$ से विभाजित करके सामान्यीकृत करने पर:
$\frac{S_1}{p} = x^2 + y^2 + \frac{2g'}{p}x + \frac{2f'}{p}y + \frac{d}{p} = 0$.
अब,उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $\frac{S_1}{p} - S_2 = 0$ है।
$p$ से गुणा करने पर,हमें $S_1 - pS_2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^{2}+y^{2}-4x-4y=0$ और $2x^{2}+2y^{2}=32$ हैं।
दूसरे समीकरण को सरल करने पर,$x^{2}+y^{2}=16$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण दोनों समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होता है: $(x^{2}+y^{2}-4x-4y) - (x^{2}+y^{2}-16) = 0$.
यह $-4x-4y+16=0$,अर्थात $x+y=4$ हो जाता है।
माना मूलबिंदु $O(0,0)$ है। वृत्त $x^{2}+y^{2}-4x-4y=0$ मूलबिंदु से होकर गुजरता है।
प्रथम वृत्त का केंद्र $C(2,2)$ है और त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$ है।
केंद्र $C(2,2)$ से रेखा $x+y-4=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2+2-4|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = 0$ है।
अतः,उभयनिष्ठ जीवा प्रथम वृत्त का व्यास है।
वृत्त का व्यास परिधि पर स्थित किसी भी बिंदु पर समकोण अंतरित करता है। इसलिए,मूलबिंदु पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$ (केंद्र $C_{1} = (0,0)$,त्रिज्या $r_{1} = 2$)
$C_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1$ (केंद्र $C_{2} = (2,0)$,त्रिज्या $r_{2} = 1$)
मान लीजिए $N$ उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ और केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $C_{1}C_{2}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(x^{2}+y^{2}) - ((x-2)^{2}+y^{2}) = 4 - 1$
$4x - 4 = 3 \implies x = \frac{7}{4}$
चूंकि $N$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए $N$ के निर्देशांक $(\frac{7}{4}, 0)$ हैं।
दूरी $C_{1}N = \frac{7}{4}$ और $C_{2}N = |2 - \frac{7}{4}| = \frac{1}{4}$ है।
दोनों त्रिभुजों $\Delta C_{1}PQ$ और $\Delta C_{2}PQ$ का आधार $PQ$ समान है।
अतः,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके शीर्षलंबों के अनुपात के बराबर होगा:
$\frac{\text{Area}(\Delta C_{1}PQ)}{\text{Area}(\Delta C_{2}PQ)} = \frac{C_{1}N}{C_{2}N} = \frac{7/4}{1/4} = 7: 1$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।