यदि int frac{x-sin x}{1+cos x} dx = x tan lef | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x-\sin x}{1+\cos x} dx$. सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ और $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ का उ

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$-4$

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(A) माना $I = \int \frac{x-\sin x}{1+\cos x} dx$. सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ और $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर: $I = \int \frac{x}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx - \int \frac{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx$ $I = \frac{1}{2} \int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx - \int 	an(\frac{x}{2}) dx$. प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx = x(2	an(\frac{x}{2})) - \int 1 \cdot 2	an(\frac{x}{2}) dx = 2x	an(\frac{x}{2}) - 2 \int 	an(\frac{x}{2}) dx$. इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{2} [2x	an(\frac{x}{2}) - 2 \int 	an(\frac{x}{2}) dx] - \int 	an(\frac{x}{2}) dx$ $I = x	an(\frac{x}{2}) - \int 	an(\frac{x}{2}) dx - \int 	an(\frac{x}{2}) dx = x	an(\frac{x}{2}) - 2 \int 	an(\frac{x}{2}) dx$. चूंकि $\int 	an(\frac{x}{2}) dx = 2 \log |\sec(\frac{x}{2})|$,इसलिए: $I = x	an(\frac{x}{2}) - 2(2 \log |\sec(\frac{x}{2})|) + C = x	an(\frac{x}{2}) - 4 \log |\sec(\frac{x}{2})| + C$. दिए गए व्यंजक $x 	an(\frac{x}{2}) + p \log |\sec(\frac{x}{2})| + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = -4$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{x-\sin x}{1+\cos x} dx = x \tan \left(\frac{x}{2}\right) + p \log \left|\sec \left(\frac{x}{2}\right)\right| + C$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin^{6} x dx =$

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