समीकरण $(1+y+x^2 y) dx+(x+x^3) dy=0$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) है

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x^2+11x+13}{x^3+6x^2+11x+6}\right)y = \frac{x+3}{x+1}$,जहाँ $x > -1$,का हल वक्र है,जो बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f^{\prime}(x)+f(x)=\int \limits_0^2 f(t) dt$ है। यदि $f(0)=e^{-2}$ है,तो $2f(0)-f(2)$ का मान $.........$ है।

एक फलन $y=f(x)$,$f(x) \sin 2x + \sin x - (1 + \cos^2 x) f'(x) = 0$ को $f(0) = 0$ शर्त के साथ संतुष्ट करता है। तो $f(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \to R$ इस प्रकार है कि सभी $x, y \in R$ के लिए $f(xy) = f(x)f(y)$ और $f(0) \ne 0$ है। मान लीजिए $g: [1, \infty) \to R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 f(t) - t g(t)) dt$ है। तो $g(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ का हल ज्ञात कीजिए।