यदि $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)$ है,तो $x = \sqrt{3}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $[0, 5\pi]$ में समीकरण $2\tan^{-1}(\cos^2 x) = \tan^{-1}(2\csc^2 x)$ के हलों की संख्या $m$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि ${\tan ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}\frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = {\sin ^{ - 1}}\frac{3}{{\sqrt {10} }}$ और $x$ तथा $y$ दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $(x, y)$ के संभावित मान क्या हैं?

मान लीजिए $\alpha = 3 \sin^{-1}(\frac{6}{11})$ और $\beta = 3 \cos^{-1}(\frac{4}{9})$,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं। नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: $\cos(\alpha + \beta) > 0$.
कथन $II$: $\cos(\alpha) < 0$.
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

यदि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं और $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ भी समांतर श्रेणी में हैं,जहाँ $x, z > 0$ और $xz < 1, y < 1$,तो

यदि $y = \tan^{-1} \left( \frac{\ln(e/x^2)}{\ln(ex^2)} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{3 + 2 \ln x}{1 - 6 \ln x} \right)$ है,तो $\frac{d^2y}{dx^2} =$