tan ^{-1} x+cos ^{-1}left(frac{y}{sqrt{1+y^2} | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $	an ^{-1} x + \cos ^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}ight) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}ight)$.हम जानते हैं कि $y >

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$2$

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(C) दिया गया समीकरण: $	an ^{-1} x + \cos ^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}ight) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}ight)$.हम जानते हैं कि $y > 0$ के लिए $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}ight) = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{y}ight)$.साथ ही,$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}ight) = 	an ^{-1}(3)$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $	an ^{-1} x + 	an ^{-1}\left(\frac{1}{y}ight) = 	an ^{-1}(3)$.सूत्र $	an ^{-1} A + 	an ^{-1} B = 	an ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}ight)$ का उपयोग करने पर: $	an ^{-1}\left(\frac{x + \frac{1}{y}}{1 - \frac{x}{y}}ight) = 	an ^{-1}(3)$.इससे $\frac{xy + 1}{y - x} = 3$ प्राप्त होता है,जो $xy + 1 = 3y - 3x$ में सरल हो जाता है।पदों को व्यवस्थित करने पर: $xy + 3x - 3y = -1$.गुणनखंड करने के लिए दोनों पक्षों में $9$ जोड़ने पर: $x(y+3) - 3(y+3) + 9 = -1 + 9$.$(x-3)(y+3) = 8$.चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक पूर्णांक हैं,$x \ge 1$ और $y \ge 1$. अतः,$y+3 \ge 4$.$8$ के गुणनखंड जिनके लिए $y+3 \ge 4$ है,वे हैं:$1) y+3 = 4 \implies y=1$. तब $x-3 = 2 \implies x=5$.$2) y+3 = 8 \implies y=5$. तब $x-3 = 1 \implies x=4$.अतः,$(5, 1)$ और $(4, 5)$ दो धनात्मक पूर्णांक हल हैं।इसलिए,कुल $2$ हल हैं।

$\tan ^{-1} x+\cos ^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?

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