समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा frac{x}{2} | vedclass

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Question

(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,अतः इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$,$\vec{v}_1 = (2,

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$x-2y+z=0$

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(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,अतः इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$,$\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ के लंबवत है।माना $P_2$ वह समतल है जो रेखाओं $L_2: \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $L_3: \frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करता है।$P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2$,$L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है:$\vec{n}_2 = (3, 4, 2) 	imes (4, 2, 3) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 4 & 2 \ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12-4) - \hat{j}(9-8) + \hat{k}(6-16) = (8, -1, -10)$.अतः,समतल $P_2$ का समीकरण $8x - y - 10z = 0$ है।चूंकि $P_1$,$P_2$ के लंबवत है,इसका अभिलंब $\vec{n}_1$,$\vec{n}_2 = (8, -1, -10)$ के लंबवत है।साथ ही,$\vec{n}_1$,$\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ के भी लंबवत है।इसलिए,$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 	imes \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 4 \ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = \hat{i}(-30+4) - \hat{j}(-20-32) + \hat{k}(-2-24) = (-26, 52, -26)$.$-26$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $(1, -2, 1)$ प्राप्त होता है।समतल का समीकरण $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ अर्थात $x - 2y + z = 0$ है।

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रेखा $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $XOY$-समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश है:

$c$ के किस मान के लिए रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-1}$ वक्र $xy = c^2, z = 0$ को प्रतिच्छेद करती है?

वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें समतल $2x + 3y + 5z = 1$ बिंदुओं $(1, 0, -3)$ और $(1, -5, 7)$ को जोड़ने वाली रेखा को विभाजित करता है।

बिंदु $(2,-1,-3)$ से गुजरने वाले और रेखाओं $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-4}$ तथा $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-2}{2}$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$z$-अक्ष और रेखा $x + y + 2z - 3 = 0 = 2x + 3y + 4z - 4$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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