फलन f(x)=log (1+x)-frac{2 x}{2+x} किस अंतराल | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$f(x)=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.फलन के परिभाषित होने के लिए,$1+x > 0$ होना चाहिए,अर्थात $x > -1$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f^{\p

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$(-1, \infty)$

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(C) दिया गया है,$f(x)=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.फलन के परिभाषित होने के लिए,$1+x > 0$ होना चाहिए,अर्थात $x > -1$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{(2+x)(1) - x(1)}{(2+x)^2} \right]$$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{2+x-x}{(2+x)^2} \right] = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$$f^{\prime}(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+x^2+4x-4-4x}{(1+x)(2+x)^2}$$f^{\prime}(x) = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.चूंकि $x^2 \ge 0$ और $(2+x)^2 > 0$ सभी $x > -1$ के लिए है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ का चिह्न $\frac{1}{1+x}$ पर निर्भर करता है।फलन के वर्धमान होने के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ होना चाहिए।$x > -1$ के लिए $1+x > 0$ होता है,अतः $x \in (-1, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ प्राप्त होता है।अतः,फलन $(-1, \infty)$ पर वर्धमान है।

फलन $f(x)=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$ किस अंतराल पर वर्धमान है?

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यदि $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2-2, \forall x \neq 0$ और $y=9 x^2 f(x)$ है,तो $y$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान (strictly increasing) है:

वह अधिकतम अंतराल जिसमें वक्र $y=x^4+5x^3+9x^2+6x+2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की ढाल बढ़ती है,है

फलन $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ किस अंतराल में ह्रासमान (decreasing) है?

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