$A(1, 2, 3)$,$B(1, 3, a)$,$C(3, 8, 6)$ और $D(3, 7, 3)$ शीर्षों वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\sqrt{265}$ वर्ग इकाई है,तो $a=$

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ एक त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $QR, RP, PQ$ की दिशाओं में तीन इकाई सदिश हैं।
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ ज्ञात कीजिए।
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ यदि त्रिभुज $PQR$ बदलता है,तो $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ और $(2)$ के लिए सही विकल्प चुनें।

$\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $-\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ के समतल के लंबवत $10 \sqrt{3}$ परिमाण वाले सभी सदिश ज्ञात कीजिए।

यदि $a = i + j - k$,$b = -i + 2j + k$ और $c = -i + 2j - k$ है,तो $a + b$ और $b + c$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश क्या है?

बिंदुओं $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है:

यदि $a=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$c=\hat{j}-\hat{k}$,$a \times b=c$,और $a \cdot b=3$ है,तो $b=$