यदि समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसके किना | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $12$ है। अतः,अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] =

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$4 	ext{ (इकाई)}^3$

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(A) दिया गया है कि सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $12$ है। अतः,अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 12$ है। चतुष्फलक का आयतन जिसके किनारे $\bar{u}, \bar{v}, \bar{w}$ हैं,का सूत्र $\frac{1}{6} |[\bar{u} \bar{v} \bar{w}]|$ होता है। यहाँ,किनारे $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ हैं। हम अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हैं: $[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}] = (\bar{a}+\bar{b}) \cdot ((\bar{b}+\bar{c}) 	imes (\bar{c}+\bar{a}))$ $= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{b} 	imes \bar{c} + \bar{b} 	imes \bar{a} + \bar{c} 	imes \bar{c} + \bar{c} 	imes \bar{a})$ चूँकि $\bar{c} 	imes \bar{c} = 0$,यह सरल होकर प्राप्त होता है: $= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{b} 	imes \bar{c} + \bar{b} 	imes \bar{a} + \bar{c} 	imes \bar{a})$ $= \bar{a} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} 	imes \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} 	imes \bar{a})$ $= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$ $= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2(12) = 24$. अतः,चतुष्फलक का आयतन $\frac{1}{6} 	imes 24 = 4 	ext{ (इकाई)}^3$ है।

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