यदि $a, b, c$ अऋणात्मक भिन्न संख्याएँ हैं और $a \hat{\imath}+a \hat{\jmath}+c \hat{k}$,$\hat{\imath}+\hat{k}$ तथा $c \hat{\imath}+c \hat{\jmath}+b \hat{k}$ समतलीय सदिश हैं,तो

$[a, b, a \times b]$ का मान क्या है?

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी किनारे $\bar{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\bar{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,और $\bar{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं,$1$ घन इकाई है। यदि $\theta$,$\bar{u}$ और $\bar{w}$ के बीच का कोण है,तो $\cos \theta$ का मान है:

यदि बिंदु $2a+3b-c, a-2b+3c, 3a+\lambda b-2c$ और $a-6b+6c$ समतलीय हैं,तो सदिश $\lambda \hat{i}-2\lambda \hat{j}+\hat{k}$ की दिक्कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\vec{p}, \vec{q}$,तथा $\vec{r}$ को $\vec{p}=\frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q}=\frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r}=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c}+\vec{a}) \cdot \vec{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overline{a}, \overline{b}$ और $\overline{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot[(\overline{a}+\overline{b}) \times(\overline{a}+\overline{c})]$ किसके बराबर है?