यदि [bar{a} quad bar{b} quad bar{c}]=4 है,तो | vedclass

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Question

(A) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणन $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v}

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(A) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणन $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = 4$.हमें $\bar{a}+2 \bar{b}$,$\bar{b}+2 \bar{c}$,और $\bar{c}+2 \bar{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात करना है।आयतन $= [(\bar{a}+2 \bar{b}) \quad (\bar{b}+2 \bar{c}) \quad (\bar{c}+2 \bar{a})]$.$= (\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot [(\bar{b}+2 \bar{c}) 	imes (\bar{c}+2 \bar{a})]$.$= (\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot [(\bar{b} 	imes \bar{c}) + 2(\bar{b} 	imes \bar{a}) + 2(\bar{c} 	imes \bar{c}) + 4(\bar{c} 	imes \bar{a})]$.चूँकि $\bar{c} 	imes \bar{c} = 0$,इसलिए:$= (\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot [(\bar{b} 	imes \bar{c}) + 2(\bar{b} 	imes \bar{a}) + 4(\bar{c} 	imes \bar{a})]$.$= \bar{a} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{c}) + 2\bar{a} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{a}) + 4\bar{a} \cdot (\bar{c} 	imes \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{c}) + 4\bar{b} \cdot (\bar{b} 	imes \bar{a}) + 8\bar{b} \cdot (\bar{c} 	imes \bar{a})$.अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यदि कोई भी दो सदिश समान हैं तो मान शून्य होता है:$= [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + 8[\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}]$.चूँकि $[\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = 4$,आयतन $= 4 + 8(4) = 4 + 32 = 36 	ext{ units}^3$.

यदि $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]=4$ है,तो $\bar{a}+2 \bar{b}$,$\bar{b}+2 \bar{c}$,और $\bar{c}+2 \bar{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन क्या होगा?

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यदि सदिश $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c \hat{k}$ समतलीय हैं,जहाँ $(a, b, c \neq 1)$,तो $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $d = \lambda (a \times b) + \mu (b \times c) + \nu (c \times a)$ और $[a, b, c] = \frac{1}{8}$ है,तो $\lambda + \mu + \nu$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\hat{j}+\alpha \hat{k}$ और $\alpha \hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होने के लिए $\alpha$ का मान है

$(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot [(\hat{j} \times \hat{k}) \times (\hat{k} \times \hat{i})]$

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