यदि f(x) = frac{x}{x^2+1} एक वर्धमान फलन है,त | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$।यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम भागफल नियम का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ निकाल

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$(-1, 1)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$।यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम भागफल नियम का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$।$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।चूंकि $(x^2+1)^2$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $1-x^2 > 0$।यह $x^2 - 1 इस असमिका को हल करने पर,हमें $x \in (-1, 1)$ प्राप्त होता है।

यदि $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ एक वर्धमान फलन है,तो $x$ का मान किस अंतराल में स्थित है?

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$K$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f(x) = \sin x - \cos x - Kx + 5$,$x$ के सभी धनात्मक वास्तविक मानों के लिए ह्रासमान (decreasing) है।

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