यदि f(x) = begin{cases} x^2 + alpha, & x ge 0 | vedclass

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Question

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।$\lim_{x 	o 0^+} (x^2 + \alpha) = \lim_{x 	o 0^-} (2\sqrt{x^2 + 1

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$\frac{25}{8}$

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(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।$\lim_{x 	o 0^+} (x^2 + \alpha) = \lim_{x 	o 0^-} (2\sqrt{x^2 + 1} + \beta)$$0^2 + \alpha = 2\sqrt{0^2 + 1} + \beta$$\alpha = 2 + \beta \implies \alpha - \beta = 2 . . . (1)$दिया गया है कि $f(\frac{1}{2}) = 2$ है। चूंकि $\frac{1}{2} \ge 0$,हम फलन के पहले भाग का उपयोग करेंगे:$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 + \alpha = 2$$\frac{1}{4} + \alpha = 2$$\alpha = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$समीकरण $(1)$ में $\alpha = \frac{7}{4}$ रखने पर:$\frac{7}{4} - \beta = 2$$\beta = \frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4}$अब,$\alpha^2 + \beta^2$ की गणना करते हैं:$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{7}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2$$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{49}{16} + \frac{1}{16} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8}$

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 + \alpha, & x \ge 0 \\ 2\sqrt{x^2 + 1} + \beta, & x < 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है और $f(\frac{1}{2}) = 2$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \begin{cases} 2^{1/x}, & x \ne 0 \\ 3, & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} [\tan(\frac{\pi}{4} + x)]^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ K, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $K = ?$

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