शब्द $HULULULU$ के अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है। तीनों $L$ के एक साथ होने की प्रायिकता क्या है?

$1$ से $30$ तक की संख्याओं में से तीन संख्याओं को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि सभी सम संख्याओं के चयन को बाहर रखा जा सके।

यदि $6000$ से बड़ी और $10000$ से छोटी सभी संख्याएँ अंकों $3, 5, 6, 7, 8$ का उपयोग करके अंकों की पुनरावृत्ति के बिना बनाई जाती हैं,तो उनमें विषम संख्याओं और सम संख्याओं की संख्या के बीच का अंतर क्या है?

पाँच अलग-अलग रंगों की गेंदों को तीन अलग-अलग आकारों के बक्सों में रखा जाना है। गेंदों को बक्सों में रखने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे।

कक्षा $10$ में $5$ छात्र,कक्षा $11$ में $6$ छात्र और कक्षा $12$ में $8$ छात्र हैं। यदि उनमें से $10$ छात्रों का चयन इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक कक्षा से कम से कम $2$ छात्र शामिल हों और कक्षा $10$ और $11$ के कुल $11$ छात्रों में से अधिकतम $5$ छात्र हों,तो तरीकों की संख्या $100k$ है,तो $k$ का मान $......$ है।

यदि कुछ $m, n$ के लिए,${ }^6 C_{m}+2({ }^6 C_{m+1})+{ }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$ और ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$ है,तो ${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m$ का मान ज्ञात कीजिए।