MHT CET 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x=3 \cos \theta$ और $y=3 \sin \theta$ हैं।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $x^2+y^2 = 9(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 9$ प्राप्त होता है,जो $r=3$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श बिंदु $x_1 = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$ और $y_1 = 3 \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें $x(\frac{3}{\sqrt{2}}) + y(\frac{3}{\sqrt{2}}) = 9$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\frac{\sqrt{2}}{3}$ से गुणा करने पर,हमें $x+y = 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x-4y+9=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3, f=-2, c=9$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-3)^{2}+(-2)^{2}-9} = \sqrt{9+4-9} = \sqrt{4} = 2$ है।
यह जांचने के लिए कि रेखा $4x+3y-8=0$ एक स्पर्शरेखा है या नहीं,हम केंद्र $(3, 2)$ से रेखा की लंबवत दूरी $d$ की गणना करते हैं:
$d = \left|\frac{4(3)+3(2)-8}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\right| = \left|\frac{12+6-8}{\sqrt{16+9}}\right| = \left|\frac{10}{5}\right| = 2$.
चूंकि लंबवत दूरी $d$ त्रिज्या $r$ के बराबर है $(d=r=2)$,इसलिए यह रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ है।
केंद्र $(3, -2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
रेखा $4x+3y+5=0$ के समानांतर रेखा का समीकरण $4x+3y+k=0$ है।
केंद्र से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर होती है:
$\frac{|4(3)+3(-2)+k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} = 5$
$|6+k| = 25$
$k = 19$ या $k = -31$।
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $4x+3y+19=0$ और $4x+3y-31=0$ हैं।

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ है।
वृत्त पर किसी बिंदु $P$ को $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ है।
बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_{t} = -\cot \theta$ है।
इसलिए,अभिलंब की ढाल $m_{n} = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ होगी।
अभिलंब का समीकरण:
$y - r \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - r \cos \theta)$.
$y \cos \theta - r \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - r \sin \theta \cos \theta$.
$x \sin \theta - y \cos \theta = 0$.

(C) फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर $\Delta$ को $\Delta u_{n} = u_{n+1} - u_{n}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
तीसरे क्रम के फॉरवर्ड डिफरेंस के लिए,हम सूत्र $\Delta^{3} u_{0} = (E-1)^{3} u_{0}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $E$ एक शिफ्ट ऑपरेटर है ताकि $E u_{n} = u_{n+1}$ हो।
ऑपरेटर का विस्तार करने पर,हमें $\Delta^{3} u_{0} = (E^{3} - 3E^{2} + 3E - 1) u_{0}$ प्राप्त होता है।
यह $\Delta^{3} u_{0} = u_{3} - 3u_{2} + 3u_{1} - u_{0}$ में सरल हो जाता है।
दिए गए मानों $u_{0}=8, u_{1}=3, u_{2}=12, u_{3}=51$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta^{3} u_{0} = 51 - 3(12) + 3(3) - 8$.
$\Delta^{3} u_{0} = 51 - 36 + 9 - 8$.
$\Delta^{3} u_{0} = 15 + 9 - 8 = 24 - 8 = 16$.

(B) दिए गए वक्र का समीकरण $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ है।
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{9x^{2}}{225} + \frac{25y^{2}}{225} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ हो जाता है।
यह $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप का एक दीर्घवृत्त है,जहाँ $a^{2} = 25$ और $b^{2} = 9$ है।
अतः,$a = 5$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,वक्र पर किसी भी बिंदु की नाभीय दूरियों का योग दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
इसलिए,नाभीय दूरियों का योग $= 2 \times 5 = 10$ है।

(A) दिया गया वक्र $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ है।
$144$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ है।
माना कि स्पर्श रेखा का समीकरण $x + y = k$ है,जिसे $y = -x + k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,हमें $m = -1$ और $c = k$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ है।
मान रखने पर,हमें $k^{2} = 16(-1)^{2} + 9$ प्राप्त होता है।
$k^{2} = 16 + 9 = 25$.
$k = \pm 5$.
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x + y = 5$ और $x + y = -5$ हैं।

(C) $x = 0, 1, 2, 4$ पर दिए गए मानों को देखते हुए,हम मानते हैं कि फलन $f(x)$ $3$ या उससे कम घात का बहुपद है,जिसका अर्थ है कि चौथा अंतर शून्य है: $\Delta^{4} f(0) = 0$.
$E$ ऑपरेटर का उपयोग करते हुए,जहाँ $Ef(x) = f(x+1)$,हमें मिलता है $(E-1)^{4} f(0) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें मिलता है $(E^{4}-4E^{3}+6E^{2}-4E+1) f(0) = 0$.
यह समीकरण $f(4) - 4f(3) + 6f(2) - 4f(1) + f(0) = 0$ में बदल जाता है।
ज्ञात मानों $f(0)=1, f(1)=3, f(2)=9, f(4)=81$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$81 - 4f(3) + 6(9) - 4(3) + 1 = 0$.
$81 - 4f(3) + 54 - 12 + 1 = 0$.
$124 - 4f(3) = 0$.
$4f(3) = 124$.
$f(3) = 31$.

(B) दिए गए वक्रों के समीकरण $16x^{2}-9y^{2}=144$ और $9x^{2}-16y^{2}=144$ हैं।
दोनों को $144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ और $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ होती है।
पहले वक्र के लिए,$a^{2}=9$ और $b^{2}=16$,इसलिए $e_{1} = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$।
दूसरे वक्र के लिए,$a^{2}=16$ और $b^{2}=9$,इसलिए $e_{2} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$।
अब,$\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$।

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसे सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2n^{2}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+n}{2n^2}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}$
जैसे $n \rightarrow \infty$,$\frac{1}{n} \rightarrow 0$.
अतः,सीमा का मान $\frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{15^{x}-5^{x}-3^{x}+1}{1-\cos 2 x}$
अंश का गुणनखंड करने पर: $15^{x}-5^{x}-3^{x}+1 = 5^{x}(3^{x}-1) - 1(3^{x}-1) = (3^{x}-1)(5^{x}-1)$
सर्वसमिका $1-\cos 2x = 2\sin^{2}x$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3^{x}-1)(5^{x}-1)}{2\sin^{2}x}$
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\frac{3^{x}-1}{x})(\frac{5^{x}-1}{x})}{2(\frac{\sin x}{x})^{2}}$
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} = \log a$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\log 3)(\log 5)}{2(1)^{2}} = \frac{(\log 3)(\log 5)}{2}$

(B) दिया गया व्यंजक: $(x \cdot y)+[(x+y') \cdot y]'$
डी मॉर्गन के नियम $(a \cdot b)' = a' + b'$ का उपयोग करते हुए:
$= (x \cdot y) + [(x+y')' + y']$
डी मॉर्गन के नियम $(a+b)' = a' \cdot b'$ और इनवोल्यूशन नियम $(y')' = y$ का उपयोग करते हुए:
$= (x \cdot y) + [x' \cdot (y')' + y']$
$= (x \cdot y) + [x' \cdot y + y']$
$= x \cdot y + x' \cdot y + y'$
पहले दो पदों से $y$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= y \cdot (x + x') + y'$
चूंकि $x + x' = 1$:
$= y \cdot 1 + y'$
$= y + y'$
चूंकि $y + y' = 1$:
$= 1$

(A) बूलियन व्यंजक का द्वैत (dual) ज्ञात करने के लिए,हम $OR$ ऑपरेटर $(+)$ को $AND$ ऑपरेटर $(\cdot)$ से बदलते हैं और इसके विपरीत,साथ ही $0$ को $1$ से और $1$ को $0$ से बदलते हैं।
दिया गया व्यंजक: $(x+y) \cdot (x^{\prime} \cdot 1)$.
$+$ को $\cdot$ से और $\cdot$ को $+$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है: $(x \cdot y) + (x^{\prime} + 1)$.

(B) $(p \wedge q) \vee \sim p = \sim p \vee (p \wedge q)$ (क्रमविनिमेय नियम द्वारा)
$= (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$ (वितरण नियम द्वारा)
$= (p \vee \sim p) \wedge (\sim p \vee q)$ (क्रमविनिमेय नियम द्वारा)
$= t \wedge (\sim p \vee q)$ (पूरक नियम द्वारा,जहाँ $t$ एक पुनरुक्ति है)
$= \sim p \vee q$ (तत्समक नियम द्वारा)

(B) दिए गए सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।
सबसे पहले,घटकों का मूल्यांकन करें:
$\sim q = \sim F = T$
$\sim p = \sim T = F$
अब,कोष्ठक में दिए गए व्यंजकों का मूल्यांकन करें:
$p \wedge \sim q = T \wedge T = T$
$\sim p \vee r = F \vee F = F$
अंत में,निहितार्थ (implication) का मूल्यांकन करें:
$(p \wedge \sim q)$ $\rightarrow (\sim p \vee r) = T$ $\rightarrow F = F$.
अतः,सत्यता मान $F$ है।

(B) इस परिपथ में दो स्विच $p$ और $\sim p$ समानांतर (parallel) जुड़े हुए हैं,जो बाद में एक स्विच $q$ के साथ श्रेणी (series) में जुड़े हैं।
$p$ और $\sim p$ के समानांतर संयोजन के लिए तार्किक व्यंजक $(p \lor \sim p)$ है।
चूंकि $(p \lor \sim p) = T$ (एक पुनरुक्ति,जिसे स्विचिंग परिपथ में $1$ के रूप में दर्शाया जाता है),इसलिए व्यंजक $1 \land q$ हो जाता है।
अतः,आउटपुट $1 \cdot q = q$ है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली और $m_{1}=3$ तथा $m_{2}=-\frac{1}{3}$ ढाल वाली रेखाओं के समीकरण $y=3x$ और $y=-\frac{1}{3}x$ हैं।
इन्हें $(y-3x)=0$ और $(3y+x)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखाओं के युग्म का संयुक्त समीकरण उनके व्यक्तिगत समीकरणों के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$(y-3x)(3y+x)=0$
$3y^{2}+xy-9xy-3x^{2}=0$
$3y^{2}-8xy-3x^{2}=0$.

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}-xy-6y^{2}-7x+31y-18=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=-6$,और $2h=-1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h=-\frac{1}{2}$।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2} - (1)(-6)}}{1+(-6)} \right|$।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}+6}}{-5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}}}{-5} \right|$।
$\tan \theta = \left| \frac{2 \times \frac{5}{2}}{-5} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = |-1| = 1$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(C) $(0,0)$ शीर्ष वाले और $x$-अक्ष की दिशा में खुलने वाले परवलय का मानक समीकरण $y^{2} = 4ax$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = \frac{16}{3}$ दी गई है।
$4a = \frac{16}{3}$ को $y^{2} = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^{2} = \frac{16}{3}x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,$3y^{2} = 16x$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया परवलय $y^{2}=8x$ है। $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$,अतः $a=2$ प्राप्त होता है।
परवलय की कोई भी स्पर्शरेखा $y=mx+\frac{a}{m}$ के रूप में होती है,जिसे $mx-y+\frac{2}{m}=0$ लिखा जा सकता है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{2}$) की स्पर्शरेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4}{m^{2}}=2(m^{2}+1)$ $\Rightarrow 2=m^{2}(m^{2}+1)$ $\Rightarrow m^{4}+m^{2}-2=0$.
माना $t=m^{2}$,तो $t^{2}+t-2=0 \Rightarrow (t+2)(t-1)=0$. चूँकि $m^{2} \geq 0$,इसलिए $m^{2}=1$,अतः $m=\pm 1$.
यदि $m=1$ है,तो स्पर्शरेखा $x-y+2=0 \Rightarrow y=x+2$ है।
यदि $m=-1$ है,तो स्पर्शरेखा $-x-y-2=0 \Rightarrow x+y=-2$ है।
$x+y=-2$ की तुलना दिए गए समीकरण $x+y=k$ से करने पर,$k=-2$ प्राप्त होता है।

(C) $7$ अलग-अलग अंकों का उपयोग करके चार अंकों की संख्या बनाने के कुल तरीके $P(7, 4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ हैं।
संख्या के $> 4000$ होने के लिए,पहला अंक (हजार का स्थान) $4, 5, 6,$ या $7$ होना चाहिए।
पहले अंक के लिए $4$ विकल्प हैं।
पहला अंक चुनने के बाद,शेष $3$ स्थानों को शेष $6$ अंकों द्वारा $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,अनुकूल मामलों की संख्या $4 \times 120 = 480$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{480}{840} = \frac{4}{7}$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
संभावित योग $2$ से $12$ तक होता है।
इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणाम:
योग $= 2$: $(1, 1)$ - $1$ स्थिति
योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ - $2$ स्थितियाँ
योग $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ - $4$ स्थितियाँ
योग $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ - $6$ स्थितियाँ
योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ - $2$ स्थितियाँ
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y^{2} = ax^{2} + b$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 2ax$
$\frac{dy}{dx} = \frac{ax}{y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{a(2)}{3} = \frac{2a}{3}$ है।
दी गई स्पर्शरेखा का समीकरण $y = 4x - 5$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है,अतः ढाल $m = 4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{2a}{3} = 4 \Rightarrow 2a = 12 \Rightarrow a = 6$।
चूंकि बिंदु $(2, 3)$ वक्र पर स्थित है,यह वक्र के समीकरण $y^{2} = ax^{2} + b$ को संतुष्ट करेगा:
$(3)^{2} = 6(2)^{2} + b$
$9 = 6(4) + b$
$9 = 24 + b$
$b = 9 - 24 = -15$।
अतः,$a = 6$ और $b = -15$ है।

(A) $x$-अक्ष के परितः $x = a$ से $x = b$ तक वक्र $y = f(x)$ को घुमाने से उत्पन्न ठोस का आयतन $V = \int_{a}^{b} \pi y^{2} dx$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ वक्र $y^{2} = 4x$ और सीमाएँ $x = 4$ से $x = 5$ दी गई हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \int_{4}^{5} \pi (4x) dx$
$V = 4\pi \int_{4}^{5} x dx$
$V = 4\pi \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{4}^{5}$
$V = 2\pi [x^{2}]_{4}^{5}$
$V = 2\pi (5^{2} - 4^{2})$
$V = 2\pi (25 - 16)$
$V = 2\pi (9) = 18\pi$ घन इकाई।

(D) फलन $f(x)$ के $[-\pi, \pi]$ में सतत होने के लिए,इसे $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होना चाहिए।
$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.
$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+} (a \sin x + b) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) + b = -a + b$.
इन्हें बराबर करने पर,$-a + b = 2$ (समीकरण $1$)।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (a \sin x + b) = a \sin(\frac{\pi}{2}) + b = a + b$.
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
इन्हें बराबर करने पर,$a + b = 0$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$(-a + b) + (a + b) = 2 + 0 \Rightarrow 2b = 2 \Rightarrow b = 1$.
$b = 1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$.
अतः,$a = -1$ और $b = 1$ प्राप्त होते हैं।

(C) माना $I = \int_{4}^{7} \frac{(11-x)^{2}}{x^{2}+(11-x)^{2}} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{4}^{7} \frac{(11-(11-x))^{2}}{(11-x)^{2}+(11-(11-x))^{2}} d x$
$I = \int_{4}^{7} \frac{x^{2}}{(11-x)^{2}+x^{2}} d x$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{4}^{7} \frac{(11-x)^{2} + x^{2}}{x^{2}+(11-x)^{2}} d x$
$2I = \int_{4}^{7} 1 d x$
$2I = [x]_{4}^{7} = 7 - 4 = 3$
$I = \frac{3}{2}$

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ है।
चूंकि $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\log (\operatorname{cosec} x) = \log (\sin x)^{-1} = -\log \sin x$ होता है।
अतः,$I = -\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x$ होगा।
निश्चित समाकलन के मानक परिणाम $\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -(-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2$।

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \, dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(x)$.
चूंकि $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{0}^{1} \left( \frac{\pi}{4} - \tan ^{-1}(x) \right) \, dx$.
$I = \int_{0}^{1} \frac{\pi}{4} \, dx - \int_{0}^{1} \tan ^{-1}(x) \, dx$.
$I = \left[ \frac{\pi}{4} x \right]_{0}^{1} - p$.
$I = \frac{\pi}{4}(1 - 0) - p$.
$I = \frac{\pi}{4} - p$.

(D) दिया गया समीकरण $a e^{x} + b e^{2x} + c e^{3x} + d = 0$ है।
इस समीकरण में $4$ स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) $a, b, c,$ और $d$ मौजूद हैं।
परिभाषा के अनुसार,किसी अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ $4$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $4$ होगी।

(D) $x$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ है।
इस समीकरण में दो स्वेच्छ अचर $a$ और $r$ हैं,इसलिए इसका दो बार अवकलन करने पर अवकल समीकरण प्राप्त होता है।
प्रथम अवकलन करने पर: $2(x-a) + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow x-a = -y \frac{dy}{dx}$।
पुनः अवकलन करने पर: $1 - ((\frac{dy}{dx})^2 + y \frac{d^2y}{dx^2}) = 0$।
इसे सरल करने पर $y \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$ है।
चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{1}{y} dy$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
बाएँ पक्ष के समाकलन को अलग करने पर:
$\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
$\log |u| + \log |x| = \log |y| + \log |c|$.
$u = \log x$ का मान वापस रखने पर:
$\log |\log x| + \log |x| = \log |y| + \log |c|$.
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\log |x \log x| = \log |yc|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$x \log x = yc$.

(D) दिया गया है,$x^{2} y^{5}=(x+y)^{7}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$2 \ln x + 5 \ln y = 7 \ln (x+y)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2}{x} + \frac{5}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{7}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5}{y} - \frac{7}{x+y}\right) = \frac{7}{x+y} - \frac{2}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5x + 5y - 7y}{y(x+y)}\right) = \frac{7x - 2x - 2y}{x(x+y)}$.
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5x - 2y}{y(x+y)}\right) = \frac{5x - 2y}{x(x+y)}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{x(y/x) - y}{x^{2}} = \frac{y - y}{x^{2}} = 0$.

(C) दिया गया है,$x = \sec \theta$ और $y = \tan \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = \sec^2 \theta$
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\sec \theta \tan \theta} = \frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \csc \theta$।
अब,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\csc \theta) = \frac{d}{d\theta}(\csc \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$
$= (-\csc \theta \cot \theta) \cdot \frac{1}{\sec \theta \tan \theta} = -\cot^3 \theta$।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\cot^3(\frac{\pi}{4}) = -(1)^3 = -1$।

(C) माना $u = (\log x)^{x}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log u = x \log(\log x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot 1$.
अतः,$\frac{du}{dx} = (\log x)^{x} \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right]$.
माना $v = \log x$. तब $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$.
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{(\log x)^{x} [ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) ]}{1/x}$ ज्ञात करना है।
इसलिए,$\frac{du}{dv} = x(\log x)^{x} \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right]$.

(D) दिया गया है,$x=f(t)$ और $y=g(t)$।
सबसे पहले,हम चेन रूल का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = f'(t)$ और $\frac{dy}{dt} = g'(t)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$.
अब,हम $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) \cdot \frac{dt}{dx}$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) = \frac{f'(t)g''(t) - g'(t)f''(t)}{\{f'(t)\}^2}$.
चूंकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{f'(t)}$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \left[ \frac{f'(t)g''(t) - g'(t)f''(t)}{\{f'(t)\}^2} \right] \cdot \frac{1}{f'(t)} = \frac{f'(t)g''(t) - g'(t)f''(t)}{\{f'(t)\}^3}$.

(C) हम जानते हैं कि शिफ्ट ऑपरेटर $E$ को $E = 1 + \Delta$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\Delta$ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है।
अतः,$(1+\Delta)^{n} f(a) = E^{n} f(a)$.
शिफ्ट ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार,$E^{n} f(a) = f(a+nh)$.
इसलिए,$(1+\Delta)^{n} f(a) = f(a+nh)$.

(A) फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$ की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $f(4) - f(3) = \Delta f(3)$ है।
चूंकि $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$,हम लिख सकते हैं $f(3) = f(2) + \Delta f(2)$।
अतः,$\Delta f(3) = \Delta [f(2) + \Delta f(2)] = \Delta f(2) + \Delta^2 f(2)$।
इसके अलावा,चूंकि $\Delta^2 f(x) = \Delta^2 f(x-1) + \Delta^3 f(x-1)$,हम $\Delta^2 f(2)$ को $\Delta^2 [f(1) + \Delta f(1)] = \Delta^2 f(1) + \Delta^3 f(1)$ के रूप में विस्तारित करते हैं।
इस मान को वापस रखने पर,हमें $f(4) - f(3) = \Delta f(2) + \Delta^2 f(1) + \Delta^3 f(1)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $g$,$f$ का प्रतिलोम है,इसलिए $g(x) = f^{-1}(x)$.
इसका अर्थ है $f(g(x)) = x$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
इसलिए,$g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$.
दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$,इसलिए $x$ के स्थान पर $g(x)$ रखने पर:
$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+[g(x)]^{2}}$.
इस मान को $g^{\prime}(x)$ के व्यंजक में रखने पर:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+[g(x)]^{2}}} = 1 + [g(x)]^{2}$.

(C) हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x = \frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$.
दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{16 x^{2}+9} d x$ है।
हर से $16$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{1}{16} \int \frac{1}{x^{2}+\frac{9}{16}} d x = \frac{1}{16} \int \frac{1}{x^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} d x$.
$a = \frac{3}{4}$ के साथ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{16} \times \frac{1}{3/4} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{3/4}\right)+c$.
$I = \frac{1}{16} \times \frac{4}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{3}\right)+c$.
$I = \frac{1}{12} \tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{3}\right)+c$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = x$ और $g(x) = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $f(g(x))$ ज्ञात करते हैं:
$f(g(x)) = f(\sin x) = \sin x$।
अब,हम समाकलन का मान निकालते हैं:
$\int f(g(x)) \, dx = \int \sin x \, dx$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \sin x \, dx = -\cos x + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int f(g(x)) \, dx = -\cos x + c$।

(B) माना $I = \int e^{\tan x}(\sec ^{2} x + \sec ^{3} x \sin x) d x$.
चूंकि $\sec ^{3} x \sin x = \sec ^{2} x \cdot \sec x \sin x = \sec ^{2} x \tan x$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int e^{\tan x}(\sec ^{2} x + \sec ^{2} x \tan x) d x$.
$I = \int e^{\tan x}(1 + \tan x) \sec ^{2} x d x$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec ^{2} x d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^{t}(1 + t) d t$.
$I = \int (e^{t} + t e^{t}) d t$.
खंडशः समाकलन के सूत्र $\int (f(t) + f'(t)) e^{t} d t = f(t) e^{t} + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t$ और $f'(t) = 1$:
$I = t e^{t} + c$.
$t = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = \tan x e^{\tan x} + c$.

(B) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) बाधाओं $x + y \leq 7$,$2x + 3y \leq 16$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(0, 16/3)$,$B(5, 2)$ और $C(7, 0)$ हैं।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $Z = 3x + 2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$O(0, 0)$ पर: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$
$A(0, 16/3)$ पर: $Z = 3(0) + 2(16/3) = 32/3 \approx 10.67$
$B(5, 2)$ पर: $Z = 3(5) + 2(2) = 15 + 4 = 19$
$C(7, 0)$ पर: $Z = 3(7) + 2(0) = 21$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $21$ है जो बिंदु $C(7, 0)$ पर प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$।
आव्यूह $A$ के सारणिक को $|A|$ या $\det(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$|A| = (a \times d) - (b \times c) = ad - bc$।
व्यंजक $|A|^{-1}$ सारणिक के मान $|A|$ का गुणात्मक प्रतिलोम दर्शाता है।
अतः,$|A|^{-1} = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{ad - bc}$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (\cos \theta)(-\cos \theta) - (-\sin \theta)(-\sin \theta) = -\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -1$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A)$ ज्ञात करते हैं,जिसमें मुख्य विकर्ण के तत्वों को आपस में बदलते हैं और अन्य तत्वों के चिह्न बदलते हैं:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
$A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = A$ है।

(C) जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ होती है।
माना $X$ चितों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
$X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(X=0) = P(TT) = \frac{1}{4}$
$P(X=1) = P(HT, TH) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=2) = P(HH) = \frac{1}{4}$
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि यह द्विपद बंटन का पालन करता है जहाँ $n=2$ और $p=\frac{1}{2}$,इसलिए $E(X) = np = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

(A) $(3, 4, -1)$ और $(2, -1, 5)$ बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(2-3, -1-4, 5-(-1)) = (-1, -5, 6)$ हैं।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-1, -5, 6)$ है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $(2, -3, 1)$ और अभिलंब $(-1, -5, 6)$ का उपयोग करने पर:
$-1(x-2) - 5(y+3) + 6(z-1) = 0$
$-x + 2 - 5y - 15 + 6z - 6 = 0$
$-x - 5y + 6z - 19 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,$x + 5y - 6z + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना रेखा पर स्थित बिंदु $(x, y, z)$ है। रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4} = k$ है।
इससे हमें $x = 2k+1$,$y = -3k+2$,और $z = 4k-3$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह बिंदु समतल $2x+4y-z=1$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2k+1) + 4(-3k+2) - (4k-3) = 1$
$4k + 2 - 12k + 8 - 4k + 3 = 1$
$-12k + 13 = 1$
$-12k = -12$
$k = 1$.
$k=1$ का मान निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(1)+1 = 3$
$y = -3(1)+2 = -1$
$z = 4(1)-3 = 1$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, -1, 1)$ है।

(D) माना शीर्षों $A$,$B$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 4\hat{i}-2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
हमें $\angle ABC$ ज्ञात करना है,जो सदिशों $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ के बीच का कोण है।
सबसे पहले,$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ की गणना करें।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$ ज्ञात करें।
चूंकि $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए ये सदिश एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,$\angle ABC = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) सह-अंतस्थ किनारों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए किनारे $2\vec{a}, 2\vec{b}, 2\vec{c}$ हैं।
आयतन $= [2\vec{a} \ 2\vec{b} \ 2\vec{c}]$
$= (2\vec{a} \times 2\vec{b}) \cdot 2\vec{c}$
$= 4(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot 2\vec{c}$
$= 8(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$
$= 8[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}, \overrightarrow{q}=\frac{\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}, \overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$.
हमें $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r}$ की गणना करनी है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} \cdot \frac{\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = 1$.
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q} = \overrightarrow{b} \cdot \frac{\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = 1$.
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} \cdot \frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{c} \overrightarrow{a} \overrightarrow{b}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = 1$.
अतः,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r} = 1+1+1 = 3$.