MHT CET 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x=3 \cos \theta$ અને $y=3 \sin \theta$ છે.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $x^2+y^2 = 9(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 9$ મળે છે,જે $r=3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ સ્પર્શબિંદુ $x_1 = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$ અને $y_1 = 3 \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x(\frac{3}{\sqrt{2}}) + y(\frac{3}{\sqrt{2}}) = 9$ મળે છે.
બંને બાજુ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ વડે ગુણતા,આપણને $x+y = 3\sqrt{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x-4y+9=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3, f=-2, c=9$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-3)^{2}+(-2)^{2}-9} = \sqrt{9+4-9} = \sqrt{4} = 2$ છે.
રેખા $4x+3y-8=0$ સ્પર્શક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,કેન્દ્ર $(3, 2)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $d$ શોધીએ:
$d = \left|\frac{4(3)+3(2)-8}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\right| = \left|\frac{12+6-8}{\sqrt{16+9}}\right| = \left|\frac{10}{5}\right| = 2$.
અહીં લંબ અંતર $d$ એ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું $(d=r=2)$ હોવાથી,આ રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
રેખા $4x+3y+5=0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $4x+3y+k=0$ છે.
કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય છે:
$\frac{|4(3)+3(-2)+k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} = 5$
$|6+k| = 25$
$k = 19$ અથવા $k = -31$.
તેથી,સ્પર્શકોના સમીકરણો $4x+3y+19=0$ અને $4x+3y-31=0$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ છે.
વર્તુળ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{t} = -\cot \theta$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ થશે.
અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - r \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - r \cos \theta)$.
$y \cos \theta - r \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - r \sin \theta \cos \theta$.
$x \sin \theta - y \cos \theta = 0$.

(C) ફોરવર્ડ ડિફરન્સ ઓપરેટર $\Delta$ ને $\Delta u_{n} = u_{n+1} - u_{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ત્રીજા ક્રમના ફોરવર્ડ ડિફરન્સ માટે,આપણે $\Delta^{3} u_{0} = (E-1)^{3} u_{0}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $E$ એ શિફ્ટ ઓપરેટર છે જેથી $E u_{n} = u_{n+1}$ થાય.
ઓપરેટરનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\Delta^{3} u_{0} = (E^{3} - 3E^{2} + 3E - 1) u_{0}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\Delta^{3} u_{0} = u_{3} - 3u_{2} + 3u_{1} - u_{0}$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો $u_{0}=8, u_{1}=3, u_{2}=12, u_{3}=51$ મૂકતા:
$\Delta^{3} u_{0} = 51 - 3(12) + 3(3) - 8$.
$\Delta^{3} u_{0} = 51 - 36 + 9 - 8$.
$\Delta^{3} u_{0} = 15 + 9 - 8 = 24 - 8 = 16$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ છે.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{9x^{2}}{225} + \frac{25y^{2}}{225} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ થાય.
આ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a^{2} = 25$ અને $b^{2} = 9$.
તેથી,$a = 5$ અને $b = 3$.
ઉપવલય માટે,વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુની નાભિ ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,નાભિ ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $= 2 \times 5 = 10$ થાય.

(A) આપેલ વક્ર $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + y = k$ છે,જેને $y = -x + k$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = -1$ અને $c = k$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $k^{2} = 16(-1)^{2} + 9$ મળે છે.
$k^{2} = 16 + 9 = 25$.
$k = \pm 5$.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $x + y = 5$ અને $x + y = -5$ છે.

(C) $x = 0, 1, 2, 4$ પરની કિંમતો જોતા,આપણે ધારીએ છીએ કે વિધેય $f(x)$ એ $3$ કે તેથી ઓછી ઘાતવાળી બહુપદી છે,જેનો અર્થ છે કે ચોથા ક્રમનો તફાવત શૂન્ય છે: $\Delta^{4} f(0) = 0$.
$E$ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $Ef(x) = f(x+1)$,આપણને મળે છે $(E-1)^{4} f(0) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $(E^{4}-4E^{3}+6E^{2}-4E+1) f(0) = 0$.
આ સમીકરણ $f(4) - 4f(3) + 6f(2) - 4f(1) + f(0) = 0$ માં પરિણમે છે.
જાણીતી કિંમતો $f(0)=1, f(1)=3, f(2)=9, f(4)=81$ મૂકતા:
$81 - 4f(3) + 6(9) - 4(3) + 1 = 0$.
$81 - 4f(3) + 54 - 12 + 1 = 0$.
$124 - 4f(3) = 0$.
$4f(3) = 124$.
$f(3) = 31$.

(B) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $16x^{2}-9y^{2}=144$ અને $9x^{2}-16y^{2}=144$ છે.
બંનેને $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ અને $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ મળે છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ છે.
પ્રથમ વક્ર માટે,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=16$,તેથી $e_{1} = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$.
બીજા વક્ર માટે,$a^{2}=16$ અને $b^{2}=9$,તેથી $e_{2} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
હવે,$\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2n^{2}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+n}{2n^2}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}$
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{1}{n} \rightarrow 0$.
તેથી,લક્ષની કિંમત $\frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(A) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{15^{x}-5^{x}-3^{x}+1}{1-\cos 2 x}$
અંશનું અવયવીકરણ કરતા: $15^{x}-5^{x}-3^{x}+1 = 5^{x}(3^{x}-1) - 1(3^{x}-1) = (3^{x}-1)(5^{x}-1)$
નિત્યસમ $1-\cos 2x = 2\sin^{2}x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3^{x}-1)(5^{x}-1)}{2\sin^{2}x}$
અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\frac{3^{x}-1}{x})(\frac{5^{x}-1}{x})}{2(\frac{\sin x}{x})^{2}}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} = \log a$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\log 3)(\log 5)}{2(1)^{2}} = \frac{(\log 3)(\log 5)}{2}$

(B) આપેલ પદાવલિ: $(x \cdot y)+[(x+y') \cdot y]'$
ડી મોર્ગનના નિયમ $(a \cdot b)' = a' + b'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (x \cdot y) + [(x+y')' + y']$
ડી મોર્ગનના નિયમ $(a+b)' = a' \cdot b'$ અને ઇન્વોલ્યુશનના નિયમ $(y')' = y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (x \cdot y) + [x' \cdot (y')' + y']$
$= (x \cdot y) + [x' \cdot y + y']$
$= x \cdot y + x' \cdot y + y'$
પ્રથમ બે પદોમાંથી $y$ સામાન્ય લેતા:
$= y \cdot (x + x') + y'$
કારણ કે $x + x' = 1$:
$= y \cdot 1 + y'$
$= y + y'$
કારણ કે $y + y' = 1$:
$= 1$

(A) બુલિયન અભિવ્યક્તિનું દ્વૈત (dual) શોધવા માટે,આપણે $OR$ ઓપરેટર $(+)$ ને $AND$ ઓપરેટર $(\cdot)$ સાથે બદલીએ છીએ અને તેનાથી ઉલટું,તેમજ $0$ ને $1$ સાથે અને $1$ ને $0$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ અભિવ્યક્તિ: $(x+y) \cdot (x^{\prime} \cdot 1)$.
$+$ ને $\cdot$ સાથે અને $\cdot$ ને $+$ સાથે બદલતા,આપણને મળે છે: $(x \cdot y) + (x^{\prime} + 1)$.

(B) $(p \wedge q) \vee \sim p = \sim p \vee (p \wedge q)$ (ક્રમનો નિયમ વાપરતા)
$= (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$ (વિભાજનનો નિયમ વાપરતા)
$= (p \vee \sim p) \wedge (\sim p \vee q)$ (ક્રમનો નિયમ વાપરતા)
$= t \wedge (\sim p \vee q)$ (પૂરક નિયમ વાપરતા,જ્યાં $t$ એ નિત્યસત્ય છે)
$= \sim p \vee q$ (તદેવતાનો નિયમ વાપરતા)

(B) આપેલ સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.
પ્રથમ,ઘટકોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$\sim q = \sim F = T$
$\sim p = \sim T = F$
હવે,કૌંસમાં આપેલા પદોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$p \wedge \sim q = T \wedge T = T$
$\sim p \vee r = F \vee F = F$
છેલ્લે,શરતી વિધાનનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(p \wedge \sim q)$ $\rightarrow (\sim p \vee r) = T$ $\rightarrow F = F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે સ્વીચો $p$ અને $\sim p$ સમાંતર જોડાયેલી છે,જે પછી $q$ સ્વીચ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે.
$p$ અને $\sim p$ ના સમાંતર જોડાણ માટેનું તાર્કિક પદ $(p \lor \sim p)$ છે.
કારણ કે $(p \lor \sim p) = T$ (એક નિત્યસત્ય,જે સ્વીચિંગ સર્કિટમાં $1$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે),તેથી પદ $1 \land q$ બને છે.
આમ,આઉટપુટ $1 \cdot q = q$ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m_{1}=3$ તથા $m_{2}=-\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓના સમીકરણો $y=3x$ અને $y=-\frac{1}{3}x$ છે.
આને $(y-3x)=0$ અને $(3y+x)=0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાઓની જોડીનું સંયુક્ત સમીકરણ તેમના વ્યક્તિગત સમીકરણોના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$(y-3x)(3y+x)=0$
$3y^{2}+xy-9xy-3x^{2}=0$
$3y^{2}-8xy-3x^{2}=0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-xy-6y^{2}-7x+31y-18=0$ છે.
આને વ્યાપક સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-6$,અને $2h=-1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h=-\frac{1}{2}$.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2} - (1)(-6)}}{1+(-6)} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}+6}}{-5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}}}{-5} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2 \times \frac{5}{2}}{-5} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = |-1| = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) $(0,0)$ શિરોબિંદુ ધરાવતા અને $x$-અક્ષ પર ખુલ્લા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = \frac{16}{3}$ આપેલ છે.
$4a = \frac{16}{3}$ ને $y^{2} = 4ax$ માં મૂકતા,આપણને $y^{2} = \frac{16}{3}x$ મળે છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,$3y^{2} = 16x$ મળે છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^{2}=8x$ છે. $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8$,તેથી $a=2$ મળે છે.
પરવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y=mx+\frac{a}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જેને $mx-y+\frac{2}{m}=0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=2$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{2}$) નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4}{m^{2}}=2(m^{2}+1)$ $\Rightarrow 2=m^{2}(m^{2}+1)$ $\Rightarrow m^{4}+m^{2}-2=0$.
ધારો કે $t=m^{2}$,તો $t^{2}+t-2=0 \Rightarrow (t+2)(t-1)=0$. $m^{2} \geq 0$ હોવાથી,$m^{2}=1$,તેથી $m=\pm 1$.
જો $m=1$ હોય,તો સ્પર્શક $x-y+2=0 \Rightarrow y=x+2$ મળે.
જો $m=-1$ હોય,તો સ્પર્શક $-x-y-2=0 \Rightarrow x+y=-2$ મળે.
$x+y=-2$ ને આપેલ સમીકરણ $x+y=k$ સાથે સરખાવતા,$k=-2$ મળે છે.

(C) $7$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને ચાર અંકની સંખ્યા બનાવવાની કુલ રીતો $P(7, 4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ છે.
સંખ્યા $> 4000$ હોય તે માટે,પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $4, 5, 6,$ અથવા $7$ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ અંક માટે $4$ વિકલ્પો છે.
પ્રથમ અંક પસંદ કર્યા પછી,બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $6$ અંકો દ્વારા $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ રીતે ભરી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ કિસ્સાઓની સંખ્યા $4 \times 120 = 480$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{480}{840} = \frac{4}{7}$ છે.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
શક્ય સરવાળો $2$ થી $12$ સુધીનો છે.
આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
દરેક સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો:
સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ - $1$ કિસ્સો
સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ - $2$ કિસ્સા
સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ - $4$ કિસ્સા
સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ - $6$ કિસ્સા
સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ - $2$ કિસ્સા
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^{2} = ax^{2} + b$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 2ax$
$\frac{dy}{dx} = \frac{ax}{y}$.
બિંદુ $(2, 3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{a(2)}{3} = \frac{2a}{3}$ થાય.
આપેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 4x - 5$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = 4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2a}{3} = 4 \Rightarrow 2a = 12 \Rightarrow a = 6$.
બિંદુ $(2, 3)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,તે વક્રના સમીકરણ $y^{2} = ax^{2} + b$ નું સમાધાન કરશે:
$(3)^{2} = 6(2)^{2} + b$
$9 = 6(4) + b$
$9 = 24 + b$
$b = 9 - 24 = -15$.
આમ,$a = 6$ અને $b = -15$ મળે છે.

(A) $x$-અક્ષની આસપાસ $x = a$ થી $x = b$ સુધી વક્ર $y = f(x)$ ને પરિભ્રમણ કરાવવાથી બનતા ઘનનું ઘનફળ $V = \int_{a}^{b} \pi y^{2} dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
અહીં વક્ર $y^{2} = 4x$ અને સીમાઓ $x = 4$ થી $x = 5$ આપેલ છે।
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \int_{4}^{5} \pi (4x) dx$
$V = 4\pi \int_{4}^{5} x dx$
$V = 4\pi \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{4}^{5}$
$V = 2\pi [x^{2}]_{4}^{5}$
$V = 2\pi (5^{2} - 4^{2})$
$V = 2\pi (25 - 16)$
$V = 2\pi (9) = 18\pi$ ઘન એકમ।

(D) વિધેય $f(x)$ એ $[-\pi, \pi]$ માં સતત હોવા માટે,તે $x = -\frac{\pi}{2}$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$x = -\frac{\pi}{2}$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.
$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+} (a \sin x + b) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) + b = -a + b$.
આ બંનેને સરખાવતા,$-a + b = 2$ (સમીકરણ $1$).
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (a \sin x + b) = a \sin(\frac{\pi}{2}) + b = a + b$.
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
આ બંનેને સરખાવતા,$a + b = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(-a + b) + (a + b) = 2 + 0 \Rightarrow 2b = 2 \Rightarrow b = 1$.
$b = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$.
આમ,$a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{4}^{7} \frac{(11-x)^{2}}{x^{2}+(11-x)^{2}} d x$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{4}^{7} \frac{(11-(11-x))^{2}}{(11-x)^{2}+(11-(11-x))^{2}} d x$
$I = \int_{4}^{7} \frac{x^{2}}{(11-x)^{2}+x^{2}} d x$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{4}^{7} \frac{(11-x)^{2} + x^{2}}{x^{2}+(11-x)^{2}} d x$
$2I = \int_{4}^{7} 1 d x$
$2I = [x]_{4}^{7} = 7 - 4 = 3$
$I = \frac{3}{2}$

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$.
કારણ કે $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,તેથી $\log (\operatorname{cosec} x) = \log (\sin x)^{-1} = -\log \sin x$ થાય.
તેથી,$I = -\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x$.
નિશ્ચિત સંકલનના પ્રમાણિત પરિણામ $\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x = -\frac{\pi}{2} \log 2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = -(-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \, dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(x)$.
કારણ કે $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,સંકલન આ મુજબ થશે:
$I = \int_{0}^{1} \left( \frac{\pi}{4} - \tan ^{-1}(x) \right) \, dx$.
$I = \int_{0}^{1} \frac{\pi}{4} \, dx - \int_{0}^{1} \tan ^{-1}(x) \, dx$.
$I = \left[ \frac{\pi}{4} x \right]_{0}^{1} - p$.
$I = \frac{\pi}{4}(1 - 0) - p$.
$I = \frac{\pi}{4} - p$.

(D) આપેલ સમીકરણ $a e^{x} + b e^{2x} + c e^{3x} + d = 0$ છે.
આ સમીકરણમાં $4$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $a, b, c,$ અને $d$ રહેલા છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિકલ સમીકરણની કક્ષા તેના સામાન્ય ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
અહીં $4$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $4$ થશે.

(D) $x$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ છે.
આ સમીકરણમાં બે સ્વૈર અચળાંકો $a$ અને $r$ છે,તેથી તેનું બે વાર વિકલન કરવાથી વિકલ સમીકરણ મળે છે.
પ્રથમ વિકલન કરતા: $2(x-a) + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow x-a = -y \frac{dy}{dx}$.
બીજી વાર વિકલન કરતા: $1 - ((\frac{dy}{dx})^2 + y \frac{d^2y}{dx^2}) = 0$.
જેને સાદું રૂપ આપતા $y \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 + 1 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$ છે.
ચલને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{1}{y} dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
ડાબી બાજુના સંકલનને અલગ કરતા:
$\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$.
$\log |u| + \log |x| = \log |y| + \log |c|$.
$u = \log x$ પાછું મૂકતા:
$\log |\log x| + \log |x| = \log |y| + \log |c|$.
ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log |x \log x| = \log |yc|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$x \log x = yc$.

(D) આપેલ છે કે,$x^{2} y^{5}=(x+y)^{7}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$2 \ln x + 5 \ln y = 7 \ln (x+y)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2}{x} + \frac{5}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{7}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5}{y} - \frac{7}{x+y}\right) = \frac{7}{x+y} - \frac{2}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5x + 5y - 7y}{y(x+y)}\right) = \frac{7x - 2x - 2y}{x(x+y)}$.
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5x - 2y}{y(x+y)}\right) = \frac{5x - 2y}{x(x+y)}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{x(y/x) - y}{x^{2}} = \frac{y - y}{x^{2}} = 0$.

(C) આપેલ છે,$x = \sec \theta$ અને $y = \tan \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = \sec^2 \theta$
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\sec \theta \tan \theta} = \frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \csc \theta$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\csc \theta) = \frac{d}{d\theta}(\csc \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$
$= (-\csc \theta \cot \theta) \cdot \frac{1}{\sec \theta \tan \theta} = -\cot^3 \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\cot^3(\frac{\pi}{4}) = -(1)^3 = -1$.

(C) ધારો કે $u = (\log x)^{x}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log u = x \log(\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot 1$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = (\log x)^{x} \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right]$.
ધારો કે $v = \log x$. તો $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$.
આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{(\log x)^{x} [ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) ]}{1/x}$ શોધવાનું છે.
તેથી,$\frac{du}{dv} = x(\log x)^{x} \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right]$.

(D) આપેલ છે કે,$x=f(t)$ અને $y=g(t)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dx}{dt} = f'(t)$ અને $\frac{dy}{dt} = g'(t)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$.
હવે,આપણે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને દ્વિતીય વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) \cdot \frac{dt}{dx}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) = \frac{f'(t)g''(t) - g'(t)f''(t)}{\{f'(t)\}^2}$.
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{f'(t)}$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \left[ \frac{f'(t)g''(t) - g'(t)f''(t)}{\{f'(t)\}^2} \right] \cdot \frac{1}{f'(t)} = \frac{f'(t)g''(t) - g'(t)f''(t)}{\{f'(t)\}^3}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે શિફ્ટ ઓપરેટર $E$ ને $E = 1 + \Delta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta$ એ ફોરવર્ડ ડિફરન્સ ઓપરેટર છે.
આમ,$(1+\Delta)^{n} f(a) = E^{n} f(a)$.
શિફ્ટ ઓપરેટરની વ્યાખ્યા મુજબ,$E^{n} f(a) = f(a+nh)$.
તેથી,$(1+\Delta)^{n} f(a) = f(a+nh)$.

(A) ફોરવર્ડ ડિફરન્સ ઓપરેટર $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$ ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $f(4) - f(3) = \Delta f(3)$.
કારણ કે $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$,આપણે લખી શકીએ કે $f(3) = f(2) + \Delta f(2)$.
આમ,$\Delta f(3) = \Delta [f(2) + \Delta f(2)] = \Delta f(2) + \Delta^2 f(2)$.
વધુમાં,કારણ કે $\Delta^2 f(x) = \Delta^2 f(x-1) + \Delta^3 f(x-1)$,આપણે $\Delta^2 f(2)$ ને $\Delta^2 [f(1) + \Delta f(1)] = \Delta^2 f(1) + \Delta^3 f(1)$ તરીકે વિસ્તૃત કરીએ છીએ.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે $f(4) - f(3) = \Delta f(2) + \Delta^2 f(1) + \Delta^3 f(1)$.

(A) આપેલ છે કે $g$ એ $f$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $g(x) = f^{-1}(x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $f(g(x)) = x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
તેથી,$g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $g(x)$ મૂકતા:
$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+[g(x)]^{2}}$.
આ કિંમત $g^{\prime}(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+[g(x)]^{2}}} = 1 + [g(x)]^{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x = \frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$.
આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1}{16 x^{2}+9} d x$ છે.
છેદમાંથી $16$ સામાન્ય લેતા:
$I = \frac{1}{16} \int \frac{1}{x^{2}+\frac{9}{16}} d x = \frac{1}{16} \int \frac{1}{x^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} d x$.
$a = \frac{3}{4}$ લઈને સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{16} \times \frac{1}{3/4} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{3/4}\right)+c$.
$I = \frac{1}{16} \times \frac{4}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{3}\right)+c$.
$I = \frac{1}{12} \tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{3}\right)+c$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x$ અને $g(x) = \sin x$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંયોજિત વિધેય $f(g(x))$ શોધીએ:
$f(g(x)) = f(\sin x) = \sin x$.
હવે,આપણે સંકલન મેળવીએ:
$\int f(g(x)) \, dx = \int \sin x \, dx$.
પ્રમાણિત સંકલનના સૂત્ર $\int \sin x \, dx = -\cos x + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\int f(g(x)) \, dx = -\cos x + c$.

(B) ધારો કે $I = \int e^{\tan x}(\sec ^{2} x + \sec ^{3} x \sin x) d x$.
અહીં $\sec ^{3} x \sin x = \sec ^{2} x \cdot \sec x \sin x = \sec ^{2} x \tan x$ હોવાથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int e^{\tan x}(\sec ^{2} x + \sec ^{2} x \tan x) d x$.
$I = \int e^{\tan x}(1 + \tan x) \sec ^{2} x d x$.
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec ^{2} x d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^{t}(1 + t) d t$.
$I = \int (e^{t} + t e^{t}) d t$.
ખંડશઃ સંકલનના સૂત્ર $\int (f(t) + f'(t)) e^{t} d t = f(t) e^{t} + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = t$ અને $f'(t) = 1$:
$I = t e^{t} + c$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા:
$I = \tan x e^{\tan x} + c$.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ પ્રતિબંધો $x + y \leq 7$,$2x + 3y \leq 16$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(0, 16/3)$,$B(5, 2)$ અને $C(7, 0)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 2y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$O(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$
$A(0, 16/3)$ પર: $Z = 3(0) + 2(16/3) = 32/3 \approx 10.67$
$B(5, 2)$ પર: $Z = 3(5) + 2(2) = 15 + 4 = 19$
$C(7, 0)$ પર: $Z = 3(7) + 2(0) = 21$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $21$ છે જે બિંદુ $C(7, 0)$ પર મળે છે.

(B) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $|A|$ અથવા $\det(A)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$|A| = (a \times d) - (b \times c) = ad - bc$.
પદ $|A|^{-1}$ એ નિશ્ચાયકની કિંમત $|A|$ નો વ્યસ્ત દર્શાવે છે.
તેથી,$|A|^{-1} = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{ad - bc}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (\cos \theta)(-\cos \theta) - (-\sin \theta)(-\sin \theta) = -\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -1$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) $\text{adj}(A)$ શોધીએ,જેમાં મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોની અદલાબદલી કરીએ અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીએ:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
$A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = A$ થાય છે.

(C) જ્યારે બે સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ થાય છે.
ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
$X$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(X=0) = P(TT) = \frac{1}{4}$
$P(X=1) = P(HT, TH) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=2) = P(HH) = \frac{1}{4}$
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,આ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $n=2$ અને $p=\frac{1}{2}$,તેથી $E(X) = np = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

(A) $(3, 4, -1)$ અને $(2, -1, 5)$ બિંદુઓને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2-3, -1-4, 5-(-1)) = (-1, -5, 6)$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-1, -5, 6)$ થશે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $(2, -3, 1)$ અને અભિલંબ $(-1, -5, 6)$ મૂકતા:
$-1(x-2) - 5(y+3) + 6(z-1) = 0$
$-x + 2 - 5y - 15 + 6z - 6 = 0$
$-x - 5y + 6z - 19 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,$x + 5y - 6z + 19 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખા પરનું બિંદુ $(x, y, z)$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4} = k$ છે.
આથી,$x = 2k+1$,$y = -3k+2$,અને $z = 4k-3$ મળે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+4y-z=1$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2k+1) + 4(-3k+2) - (4k-3) = 1$
$4k + 2 - 12k + 8 - 4k + 3 = 1$
$-12k + 13 = 1$
$-12k = -12$
$k = 1$.
$k=1$ ની કિંમત યામોમાં મૂકતા:
$x = 2(1)+1 = 3$
$y = -3(1)+2 = -1$
$z = 4(1)-3 = 1$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(3, -1, 1)$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4\hat{i}-2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}$,અને $\vec{c} = -\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}$ છે.
આપણે $\angle ABC$ શોધવાનો છે,જે સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સૌ પ્રથમ,$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ મેળવો.
હવે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$ શોધો.
અહીં $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ નો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આ સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\angle ABC = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(C) સહ-અંતિમ ધારાઓ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલી ધારાઓ $2\vec{a}, 2\vec{b}, 2\vec{c}$ છે.
ઘનફળ $= [2\vec{a} \ 2\vec{b} \ 2\vec{c}]$
$= (2\vec{a} \times 2\vec{b}) \cdot 2\vec{c}$
$= 4(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot 2\vec{c}$
$= 8(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$
$= 8[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}, \overrightarrow{q}=\frac{\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}, \overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$.
આપણે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} \cdot \frac{\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = 1$.
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q} = \overrightarrow{b} \cdot \frac{\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = 1$.
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} \cdot \frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{c} \overrightarrow{a} \overrightarrow{b}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = \frac{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]} = 1$.
તેથી,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r} = 1+1+1 = 3$.