MHT CET 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g^{\prime} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2}$
यहाँ ऊँचाई $h = nR$ दी गई है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g^{\prime} = g \left( \frac{R}{R+nR} \right)^{2}$
$g^{\prime} = g \left( \frac{R}{R(1+n)} \right)^{2}$
$g^{\prime} = g \left( \frac{1}{1+n} \right)^{2}$
अब,पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ और उस ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $(g^{\prime})$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{g}{g^{\prime}} = \frac{g}{g \left( \frac{1}{1+n} \right)^{2}}$
$\frac{g}{g^{\prime}} = (1+n)^{2}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $(n+1)^{2}$ है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{GM}{R^2}$।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है,इसलिए हम इसे $g$ के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi \rho G R$।
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि जब त्रिज्या $R$ स्थिर रहती है,तो $g \propto \rho$ होता है।
अतः,$\frac{g_2}{g_1} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$।
दिया गया है कि घनत्व दोगुना कर दिया जाता है,यानी $\rho_2 = 2\rho_1$।
इस प्रकार,$g_2 = 2 \times g_1 = 2 \times 9.8 \ m/s^2 = 19.6 \ m/s^2$।

(B) गैस के गतिज सिद्धांत के अनुसार गैस द्वारा लगाया गया दबाव $p$ इस प्रकार दिया जाता है:
$p = \frac{1}{3} \rho \bar{v}^2$
जहाँ $\rho$ घनत्व है और $\bar{v}^2$ माध्य वर्ग गति है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{V}$,हम लिख सकते हैं:
$p = \frac{1}{3} \frac{M}{V} \bar{v}^2$
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \frac{M}{V} \bar{v}^2 \right)$
यहाँ,$\frac{1}{2} M \bar{v}^2$ गैस के अणुओं की कुल गतिज ऊर्जा है।
इस प्रकार,$\frac{1}{2} \frac{M}{V} \bar{v}^2$ प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा को दर्शाता है,जिसे $E$ के रूप में दिया गया है।
इसलिए,$p = \frac{2}{3} E$.

(C) औसत वेग $(v_{av})$ की गणना वेगों के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है:
$v_{av} = \frac{v_{1} + v_{2} + v_{3} + v_{4}}{N} = \frac{1 + 3 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 \ km/s$
रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ वेग $(v_{rms})$ की गणना वेगों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में की जाती है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + v_{4}^{2}}{N}} = \sqrt{\frac{1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{1 + 9 + 25 + 49}{4}} = \sqrt{\frac{84}{4}} = \sqrt{21} \approx 4.583 \ km/s$
$RMS$ वेग और औसत वेग के बीच का अंतर है:
$v_{rms} - v_{av} = 4.583 \ km/s - 4 \ km/s = 0.583 \ km/s$

(A) जब कोई कण घूमती हुई डिस्क पर फिसलना शुरू करता है,तो आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu m g$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
अतः,$m r \omega^2 = \mu m g$.
चूंकि $\mu$,$m$,और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए $r \omega^2 = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $r \propto \frac{1}{\omega^2}$।
दिया गया है कि $\omega_1 = \omega$ पर $r_1 = 4 \ cm$ है।
जब $\omega_2 = 2\omega$ हो,तो $\frac{r_1}{r_2} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{4}{r_2} = \frac{(2\omega)^2}{\omega^2} = \frac{4\omega^2}{\omega^2} = 4$।
इसलिए,$r_2 = \frac{4}{4} = 1 \ cm$।

(A) द्रव के भीतर स्थित अणु सभी तरफ से अन्य अणुओं से घिरे होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उन पर लगने वाला कुल आकर्षण बल शून्य होता है। हालाँकि,सतह पर स्थित अणु केवल अपने नीचे के अणुओं द्वारा आकर्षित होते हैं,क्योंकि सतह के ऊपर कोई द्रव के अणु नहीं होते हैं। किसी अणु को द्रव के भीतर से सतह पर लाने के लिए,इन आंतरिक आकर्षण बलों के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कार्य स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। इसलिए,साम्यावस्था में द्रव की सतह पर स्थित अणुओं में द्रव के भीतर स्थित अणुओं की तुलना में अधिकतम स्थितिज ऊर्जा होती है।

(D) यंग मापांक $(Y)$,दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$Y = 2 \eta (1 + \sigma)$
अतः,सही संबंध $Y = 2 \eta (1 + \sigma)$ है।

(D) बल्क मापांक $K$ का सूत्र $K = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}$ है।
यहाँ हमें बल्क मापांक $K = 2100 \, MPa = 2100 \times 10^3 \, kPa$ दिया गया है।
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.008 \, \% = \frac{0.008}{100} = 8 \times 10^{-5}$ है।
दबाव में वृद्धि $\Delta p$ ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं: $\Delta p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$।
मान रखने पर: $\Delta p = (2100 \times 10^3 \, kPa) \times (8 \times 10^{-5})$।
$\Delta p = 2100 \times 8 \times 10^{-2} \, kPa = 21 \times 8 \, kPa = 168 \, kPa$।

(A) विस्तार $\Delta L$ सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार समान पदार्थ के हैं और समान भार से खींचे गए हैं,इसलिए $F$ और $Y$ स्थिर हैं।
अतः,$\Delta L \propto \frac{L}{r^2}$।
प्रत्येक मामले के लिए आनुपातिकता कारक $\frac{L}{r^2}$ की गणना करने पर:
$A$ के लिए: $\frac{100}{1^2} = 100$.
$B$ के लिए: $\frac{200}{3^2} = \frac{200}{9} \approx 22.22$.
$C$ के लिए: $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$.
$D$ के लिए: $\frac{400}{4^2} = \frac{400}{16} = 25$.
मानों की तुलना करने पर,$L=100 \ cm$ और $r=1 \ mm$ वाले तार का $\frac{L}{r^2}$ मान सबसे अधिक है,इसलिए यह सबसे अधिक विस्तारित होगा।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले और $v$ चाल से गति कर रहे कण की गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m v^2$ है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,अभिकेंद्र त्वरण $(a)$ का सूत्र $a = \frac{v^2}{r}$ है,जिसका अर्थ है कि $v^2 = a r$.
अब,$v^2 = a r$ को गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर:
$E = \frac{1}{2} m (a r)$
त्वरण $(a)$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$2 E = m a r$
$a = \frac{2 E}{m r}$

(C) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{0} = 1200 \text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 40\pi \text{ rad/s}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
कोणीय मंदन $\alpha = 4 \text{ rad/s}^{2}$.
गति के समीकरण $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} - 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (40\pi)^{2} - 2(4)\theta$
$8\theta = 1600\pi^{2}$
$\theta = 200\pi^{2} \text{ rad}$.
चूंकि कुल कोण $\theta = 2\pi n$ है,जहाँ $n$ चक्करों की संख्या है:
$2\pi n = 200\pi^{2}$
$n = 100\pi = 100 \times 3.14159 \approx 314 \text{ चक्कर}$.

(B) दोलन करते कण (सरल आवर्त गति) की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -k x$ है।
स्थितिज ऊर्जा के समीकरण से,हम लिख सकते हैं:
$2 U = k x^{2}$
समीकरण में $k = -\frac{F}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 U = -\left( \frac{F}{x} \right) x^{2}$
$2 U = -F x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 U}{F} = -x$
अतः:
$\frac{2 U}{F} + x = 0$

(C) $SHM$ कर रहे कण का त्वरण $a = -\omega^{2} x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
एक पूर्ण दोलन (समय अवधि $T$) पर औसत त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम $[0, T]$ अंतराल पर त्वरण का समाकलन करते हैं और इसे $T$ से विभाजित करते हैं।
$\text{औसत त्वरण} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} a(t) dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} -\omega^{2} A \sin(\omega t + \phi) dt$.
चूंकि एक पूर्ण आवर्तकाल पर साइन फलन का समाकलन शून्य होता है,इसलिए औसत त्वरण $0$ है।

(B) $SHM$ में एक कण का अधिकतम वेग $v = a \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ विस्थापन का आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
इससे,हम कोणीय आवृत्ति ज्ञात कर सकते हैं: $\omega = \frac{v}{a}$.
अधिकतम त्वरण (त्वरण का आयाम) $A_{max} = \omega^2 a$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण के सूत्र में $\omega$ का मान रखने पर:
$A_{max} = \left(\frac{v}{a}\right)^2 \times a = \frac{v^2}{a^2} \times a = \frac{v^2}{a}$.

(B) $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान वाली एक पतली एकसमान छड़ की उसके द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ है।
द्रव्यमान केंद्र से दिए गए अक्ष की दूरी $x = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{CM} + M x^2$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{6} \right)^2$.
$I = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{36}$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$I = \frac{3 M L^2 + M L^2}{36} = \frac{4 M L^2}{36} = \frac{M L^2}{9}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{4} M R^2$ होता है।
इससे हमें $M R^2 = 4 I$ प्राप्त होता है।
डिस्क के तल के लंबवत और उसकी परिधि से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{rim} = I_{cm} + M R^2$ होता है।
$I_{cm} = \frac{1}{2} M R^2$ रखने पर,$I_{rim} = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$ प्राप्त होता है।
अब,$M R^2 = 4 I$ का मान रखने पर,$I_{rim} = \frac{3}{2} (4 I) = 6 I$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. विकल्प $A$ सही है: $\tau = I \alpha$,जो न्यूटन के गति के दूसरे नियम $(F = ma)$ का घूर्णी अनुरूप है।
$2$. विकल्प $B$ सही है: $\tau = p \times B$ (या $\mu \times B$),जो चुंबकीय क्षेत्र में द्विध्रुव पर लगने वाले टॉर्क को दर्शाता है।
$3$. विकल्प $C$ गलत है: सही संबंध $I = \frac{\tau}{\alpha}$ है। दिया गया संबंध $I = \tau \times \alpha$ आयामी और भौतिक रूप से गलत है।
$4$. विकल्प $D$ गलत है: कोणीय संवेग के लिए सही संबंध $L = I \omega$ है। रेखीय संवेग $p = mv$ होता है। संबंध $p = I \omega$ भौतिक रूप से गलत है।
नोट: चूंकि प्रश्न में गलत संबंध पूछा गया है और $C$ और $D$ दोनों गलत हैं,$C$ घूर्णी गतिशीलता की परिभाषाओं में सबसे मौलिक त्रुटि है।

(A) एक अपारदर्शी वस्तु किसी भी विकिरण को संचारित नहीं करती है।
परिभाषा के अनुसार,संचरण गुणांक $(t)$ संचारित ऊर्जा और आपतित ऊर्जा का अनुपात है।
चूंकि अपारदर्शी वस्तु से कोई विकिरण नहीं गुजरता है,इसलिए संचारित ऊर्जा $0$ होती है।
अतः,एक अपारदर्शी वस्तु के लिए संचरण गुणांक $0$ है।

(C) किसी पिंड द्वारा विकिरित ऊर्जा स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $Q = A \varepsilon \sigma T^{4} t$.
चूंकि समय $t$,उत्सर्जन क्षमता $\varepsilon$,और स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $\sigma$ दोनों के लिए समान हैं,इसलिए विकिरित ऊर्जा $Q$,$A T^{4}$ के समानुपाती है।
चूंकि $A = 4 \pi r^{2}$,इसलिए $Q \propto r^{2} T^{4}$ है।
तापमान को केल्विन में बदलने पर: $T_{1} = 127 + 273 = 400 \ K$ और $T_{2} = 527 + 273 = 800 \ K$.
विकिरित ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{4}$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \left(\frac{8}{2}\right)^{2} \left(\frac{400}{800}\right)^{4}$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = (4)^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{4}$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.

(C) तापमान में वृद्धि के साथ द्रव का पृष्ठ तनाव घटता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जो पृष्ठ तनाव के लिए जिम्मेदार अंतर-आणविक आकर्षण बलों को कमजोर कर देती है।
द्रव का पृष्ठ तनाव उसके क्वथनांक पर शून्य हो जाता है और क्रांतिक तापमान पर यह समाप्त हो जाता है।
क्रांतिक तापमान पर,द्रव और गैसों के लिए अंतर-आणविक बल समान हो जाते हैं और द्रव बिना किसी प्रतिबंध के फैल सकता है।
छोटे तापमान अंतर के लिए,तापमान के साथ पृष्ठ तनाव में परिवर्तन रैखिक होता है और इसे $T_{t} = T_{0}(1 - \alpha t)$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T_{t}$ और $T_{0}$ क्रमशः $t^{\circ}C$ और $0^{\circ}C$ पर पृष्ठ तनाव हैं और $\alpha$ पृष्ठ तनाव का तापमान गुणांक है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
संबंध $E = h \nu$ से,जहाँ $E$ ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $\nu$ आवृत्ति है।
$h = \frac{E}{\nu}$।
ऊर्जा $E$ की विमा $[ML^2 T^{-2}]$ है।
आवृत्ति $\nu$ की विमा $[T^{-1}]$ है।
अतः,$h$ की विमा $= \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2 T^{-1}]$।
अब,बल,विस्थापन और समय के गुणनफल की विमा की जाँच करते हैं:
बल $F$ की विमा $= [MLT^{-2}]$।
विस्थापन $d$ की विमा $= [L]$।
समय $t$ की विमा $= [T]$।
गुणनफल की विमा $= [MLT^{-2}] \times [L] \times [T] = [ML^2 T^{-1}]$।
यह प्लांक नियतांक की विमा के समान है।

(B) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu = \rho A = \rho (\pi R^2)$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,हमारे पास है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $v \propto \frac{1}{R}$।
चूँकि $R_{1} > R_{2}$,मोटे तार में वेग $v_{1}$ पतले तार के वेग $v_{2}$ से कम होगा $(v_{1} < v_{2})$।
इसलिए,अनुप्रस्थ तरंग पतले तार में तेजी से चलती है।

(A) साइन तरंग में,एक कण का विस्थापन $y = A \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \cos(kx - \omega t)$ है।
कण की गति $|v_p| = |A\omega \cos(kx - \omega t)|$ है।
दो कणों की गति समान होती है यदि उनके विस्थापन का परिमाण समान हो,अर्थात $|y_1| = |y_2|$।
साइन तरंग के लिए,समान गति वाले बिंदु वे होते हैं जिनका माध्य स्थिति से विस्थापन का परिमाण समान होता है।
विशेष रूप से,श्रृंग $(A)$ और गर्त $(B)$ पर स्थित बिंदुओं का वेग शून्य (गति = $0$) होता है। एक श्रृंग और उसके निकटतम गर्त के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
वैकल्पिक रूप से,माध्य स्थिति या चरम स्थितियों के सापेक्ष सममित किन्हीं भी दो बिंदुओं की गति समान होगी। ऐसे दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{\lambda}{2}$ है।

(A) तरंग का दिया गया समीकरण $y=A \sin (100 \pi t-3 x)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t-kx)$ से करने पर,हमें तरंग संख्या $k=3 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ होता है।
यहाँ कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\frac{\pi}{3} = 3 \cdot \Delta x$ प्राप्त होता है।
दूरी $\Delta x$ के लिए हल करने पर,$\Delta x = \frac{\pi}{3 \times 3} = \frac{\pi}{9} \ m$ प्राप्त होता है।

(A) एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n_{1} = \frac{v}{4 l_{1}}$ है,जिससे $l_{1} = \frac{v}{4 n_{1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों सिरों पर खुले पाइप की मूल आवृत्ति $n_{2} = \frac{v}{2 l_{2}}$ है,जिससे $l_{2} = \frac{v}{2 n_{2}}$ प्राप्त होता है।
जब दोनों पाइपों को एक-दूसरे से जोड़ा जाता है,तो नया पाइप एक सिरे पर बंद और दूसरे पर खुला होता है,जिसकी कुल लंबाई $L = l_{1} + l_{2}$ है।
इस नए बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4 L} = \frac{v}{4 (l_{1} + l_{2})}$ द्वारा दी जाती है।
$l_{1}$ और $l_{2}$ के मान रखने पर: $\frac{1}{4 n} = \frac{1}{4 n_{1}} + \frac{1}{2 n_{2}}$।
$4$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{2}{n_{2}} = \frac{n_{2} + 2 n_{1}}{n_{1} n_{2}}$।
अतः,$n = \frac{n_{1} n_{2}}{n_{2} + 2 n_{1}}$।

(A) एक सिरे पर बंद पाइप के फंडामेंटल मोड में,पाइप की लंबाई $l$ तरंगदैर्ध्य के एक-चौथाई के बराबर होती है,अर्थात $l = \frac{\lambda}{4}$,जिसका अर्थ है $\lambda = 4l$।
यह दिया गया है कि तरंग को पाइप की लंबाई $l$ तय करने में लगा समय $t = 0.01 \ s$ है,इसलिए ध्वनि की गति $v = \frac{l}{t}$ द्वारा दी जाती है।
फंडामेंटल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{v}{\lambda}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $n = \frac{l/t}{4l} = \frac{1}{4t}$।
$t = 0.01 \ s$ का मान रखने पर,हमें मिलता है $n = \frac{1}{4 \times 0.01} = \frac{1}{0.04} = 25 \ Hz$।

(D) $L-C-R$ परिपथ की औसत शक्ति का सूत्र निम्नलिखित है:
$P_{\text{av}} = V_{\text{rms}} \cdot I_{\text{rms}} \cos \phi$
जहाँ:
$V_{\text{rms}}$ विद्युत वाहक बल (emf) का वर्ग माध्य मूल मान है,
$I_{\text{rms}}$ धारा का वर्ग माध्य मूल मान है,
$\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase difference) है।
अतः,औसत शक्ति धारा,emf और कलांतर पर निर्भर करती है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का आवर्तकाल $T$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{4 \varepsilon_{0}^{2} n^{3} h^{3}}{m Z^{2} e^{4}}$.
चूंकि कक्षीय आवृत्ति $f$, आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है $(f = 1/T)$, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$f \propto \frac{1}{n^{3}}$.
अतः, कक्षीय आवृत्ति $n^{-3}$ के समानुपाती होती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का रैखिक संवेग $p = mv = \frac{mZe^2}{2 \epsilon_0 nh}$ द्वारा दिया जाता है। हाइड्रोजन के लिए $Z=1$ है,इसलिए $p \propto \frac{1}{n}$ होता है।
$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$,बोहर के क्वांटमीकरण प्रतिबंध के अनुसार $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है। अतः,$L \propto n$ होता है।
रैखिक संवेग और कोणीय संवेग का गुणनफल $p \times L \propto \left(\frac{1}{n}\right) \times n = n^0$ होता है।
इसे $n^x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।

(C) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र इस प्रकार है:
$C = \frac{k \varepsilon_{0} A}{d}$
जहाँ $k$ परावैद्युत स्थिरांक है,$\varepsilon_{0}$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
सूत्र से हम देख सकते हैं कि $C \propto A$ है।
अतः,यदि प्लेट का क्षेत्रफल बढ़ाया जाता है तो संधारित्र की धारिता बढ़ जाती है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ होता है।
दिया गया है: $C = 48 \mu F = 48 \times 10^{-6} \ F$,$q_1 = 0.1 \ C$,$q_2 = 0.5 \ C$.
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ इस प्रकार है:
$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{q_2^2}{2C} - \frac{q_1^2}{2C} = \frac{1}{2C} (q_2^2 - q_1^2)$
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{1}{2 \times 48 \times 10^{-6}} ((0.5)^2 - (0.1)^2)$
$\Delta U = \frac{1}{96 \times 10^{-6}} (0.25 - 0.01)$
$\Delta U = \frac{0.24}{96 \times 10^{-6}}$
$\Delta U = \frac{0.24 \times 10^6}{96} = \frac{240000}{96} = 2500 \ J$.

(B) माना गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $I_g$ है।
जब $100 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $(100 + R)$ होता है। वोल्टेज परास $V$,$V = I_g(100 + R)$ द्वारा दी जाती है --- $(i)$
जब $1000 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नई परास $2V$ होती है। कुल प्रतिरोध $(1000 + R)$ है। अतः,$2V = I_g(1000 + R)$ --- (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2V}{V} = \frac{I_g(1000 + R)}{I_g(100 + R)}$
$2 = \frac{1000 + R}{100 + R}$
$2(100 + R) = 1000 + R$
$200 + 2R = 1000 + R$
$2R - R = 1000 - 200$
$R = 800 \Omega$

(D) पोटेंशियोमीटर शून्य विक्षेप विधि के सिद्धांत पर कार्य करता है।
संतुलित अवस्था में,सेल के सिरों के बीच विभवांतर को परिपथ से बिना कोई धारा लिए मापा जाता है।
चूंकि संतुलन बिंदु पर द्वितीयक परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए पोटेंशियोमीटर सही $EMF$ या विभवांतर को मापता है।
इसके विपरीत,वोल्टमीटर का प्रतिरोध सीमित होता है और यह परिपथ से कुछ धारा खींचता है,जिससे स्रोत के आंतरिक प्रतिरोध में वोल्टेज ड्रॉप होता है,जिसके परिणामस्वरूप रीडिंग सटीक नहीं होती है।

(B) बोर के क्वांटाइजेशन अभिधारणा के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग इस प्रकार दिया जाता है:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2\pi r = \frac{nh}{mv}$
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को $\lambda = \frac{h}{mv}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$2\pi r = n\lambda$
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
समीकरण में $n = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda = 2\pi r$

(B) छड़ के स्थिर सिरे से $r$ दूरी पर $dr$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
जैसे ही छड़ $\omega$ कोणीय वेग से घूमती है,इस अवयव का रैखिक वेग $v = r\omega$ होता है।
इस छोटे अवयव में प्रेरित गतिकीय emf $de = B v dr = B (r\omega) dr$ द्वारा दिया जाता है।
छड़ की पूरी लंबाई में प्रेरित कुल emf $e$ ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का $r = 0$ से $r = l$ तक समाकलन करते हैं:
$e = \int_{0}^{l} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2} B l^2 \omega$.

(C) स्व-प्रेरकत्व $L$ का सूत्र $L = \frac{N\phi}{i}$ है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$\phi$ चुंबकीय फ्लक्स है और $i$ विद्युत धारा है।
दिए गए मान $N = 100$,$\phi = 5 \times 10^{-5} \ Wb$ और $i = 2 \ A$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{100 \times 5 \times 10^{-5}}{2}$
$L = \frac{500 \times 10^{-5}}{2}$
$L = 250 \times 10^{-5} \ H$
$L = 2.5 \times 10^{-3} \ H$

(D) पृथ्वी के समताप मंडल (stratosphere) में स्थित ओजोन परत सूर्य के हानिकारक पराबैंगनी $(UV)$ विकिरण के अधिकांश भाग को अवशोषित कर लेती है। यह अवशोषण अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह पृथ्वी पर जीवित जीवों को उच्च-ऊर्जा वाली $UV$ किरणों के हानिकारक प्रभावों,जैसे कि त्वचा कैंसर और मोतियाबिंद से बचाता है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या वाले एक समान रूप से आवेशित गोलाकार कोश के केंद्र से $r$ $(r > R)$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{q}{4\pi R^{2}}$ है,इसलिए $q = \sigma(4\pi R^{2})$ होगा।
विद्युत क्षेत्र के सूत्र में $q$ का मान रखने पर:
$E = \frac{\sigma(4\pi R^{2})}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} = \frac{\sigma R^{2}}{\varepsilon_{0}r^{2}}$।

(B) मान लीजिए कि तार की लंबाई $l$ है।
वृत्ताकार लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = l$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{l}{2 \pi}$ है।
वृत्ताकार लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M_{1} = i A_{1} = i \pi r^{2}$ है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $M_{1} = i \pi \left(\frac{l}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{i l^{2}}{4 \pi}$ प्राप्त होता है।
वर्गाकार लूप के लिए,परिमाप $4 a = l$ है,इसलिए भुजा की लंबाई $a = \frac{l}{4}$ है।
वर्गाकार लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M_{2} = i A_{2} = i a^{2}$ है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $M_{2} = i \left(\frac{l}{4}\right)^{2} = \frac{i l^{2}}{16}$ प्राप्त होता है।
द्विध्रुव आघूर्णों का अनुपात $\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{i l^{2} / 4 \pi}{i l^{2} / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$ है।

(A) टोरॉइड एक खोखली गोलाकार वलय (रिंग) होती है जिस पर धातु के तार के बहुत सारे फेरे पास-पास लपेटे जाते हैं।
इसे एक ऐसी परिनालिका के रूप में माना जा सकता है जिसे गोलाकार आकार में मोड़कर एक बंद लूप बनाया गया हो।
इसलिए,टोरॉइड एक वलय के आकार का बंद परिनालिका है।

(A) लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ होता है।
कण $a$ के लिए त्रिज्या $r_{a} = \frac{m_{a} v_{a}}{q B}$ है।
कण $b$ के लिए त्रिज्या $r_{b} = \frac{m_{b} v_{b}}{q B}$ है।
प्रश्न के अनुसार $r_{a} > r_{b}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{m_{a} v_{a}}{q B} > \frac{m_{b} v_{b}}{q B}$.
चूंकि आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए उन्हें निरस्त किया जा सकता है।
अतः,$m_{a} v_{a} > m_{b} v_{b}$ प्राप्त होता है।

(B) जब एक चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश काटा जाता है,तो ध्रुव प्रबलता समान रहती है,लेकिन जब इसे उसकी लंबाई के लंबवत काटा जाता है,तो ध्रुव प्रबलता आधी हो जाती है।
इस मामले में,चुंबक को एक बार उसकी लंबाई के अनुदिश (अक्ष के समानांतर) और एक बार उसकी लंबाई के लंबवत काटकर चार समान भागों में विभाजित किया जाता है।
$1$. लंबाई के अनुदिश काटने पर ध्रुव प्रबलता $m$,$m/2$ और $m/2$ में विभाजित हो जाती है।
$2$. लंबाई के लंबवत काटने पर चुंबक दो भागों में बंट जाता है,लेकिन प्रत्येक अनुप्रस्थ काट की ध्रुव प्रबलता $m/2$ ही रहती है।
इसलिए,परिणामी चार भागों में से प्रत्येक के लिए,ध्रुव प्रबलता $m^{\prime} = m/2$ होगी।

(B) टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता का सूत्र $RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ टेलीस्कोप का द्वारक है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता द्वारक के सीधे समानुपाती होती है $(RP \propto D)$।
अतः,यदि टेलीस्कोप का द्वारक घटाया जाता है,तो उसकी विभेदन क्षमता भी घट जाएगी।

(D) $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
$t$ दूरी तय करने में लगा समय $(T)$ सूत्र $T = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,हमें $T = \frac{t}{v} = \frac{t}{(c/\mu)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = \frac{\mu t}{c}$।

(B) $NAND$ गेट का उपयोग करके $AND$ गेट बनाने के लिए,हम पहले इनपुट $A$ और $B$ को एक $NAND$ गेट से गुजारते हैं जिससे $\overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,इस आउटपुट को दूसरे $NAND$ गेट से गुजारते हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कॉन्फ़िगर किया गया है (इसके इनपुट को शॉर्ट करके)।
मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $X = \overline{A \cdot B}$ है।
दूसरा $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$AND$ गेट बनाने के लिए दो $NAND$ गेट की आवश्यकता होती है।

(A) जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड को अग्र अभिनत (forward biased) किया जाता है,तो विभव प्राचीर (potential barrier) कम हो जाता है,जिससे $n$-क्षेत्र के इलेक्ट्रॉन और $p$-क्षेत्र के कोटर (holes) जंक्शन को पार कर सकते हैं।
जंक्शन पर,ये आवेश वाहक पुनर्संयोजित (recombine) होते हैं,और इस प्रक्रिया के दौरान मुक्त होने वाली ऊर्जा फोटॉन के रूप में उत्सर्जित होती है।
गैलियम आर्सेनाइड या इंडियम फॉस्फाइड जैसी विशिष्ट अर्धचालक सामग्रियों से बने डायोड में,यह ऊर्जा दृश्य प्रकाश स्पेक्ट्रम के अनुरूप होती है।
ऐसे उपकरण को प्रकाश उत्सर्जक डायोड $(LED)$ कहा जाता है।

(A) उदासीन तापमान $(T_{n})$,ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_{c})$ और व्युत्क्रमण तापमान $(T_{i})$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T_{n} = \frac{T_{c} + T_{i}}{2}$
दिया गया है:
$T_{i} = 600^{\circ} C$
$T_{n} = 320^{\circ} C$
सूत्र में मान रखने पर:
$320^{\circ} = \frac{T_{c} + 600^{\circ}}{2}$
$640^{\circ} = T_{c} + 600^{\circ}$
$T_{c} = 640^{\circ} - 600^{\circ}$
$T_{c} = 40^{\circ} C$
अतः,ठंडे जंक्शन का तापमान $40^{\circ} C$ है।

(C) व्यतिकरण प्रयोग में,परिणामी तीव्रता $I$ का मान $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ दो व्यतिकारी तरंगों के बीच का कलांतर है।
तीव्रता तब न्यूनतम होती है जब $\cos \phi = -1$ हो।
यह तब होता है जब कलांतर $\phi$,$\pi$ का विषम गुणज हो।
अतः,न्यूनतम तीव्रता के लिए शर्त $\phi = (2n-1) \pi$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब अध्रुवित प्रकाश किसी पारदर्शी माध्यम पर ध्रुवण कोण $i$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण पूर्णतः समतल ध्रुवित होती है।
इस स्थिति में,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
अंतरापृष्ठ पर परावर्तन और अपवर्तन की ज्यामिति से,आपतन कोण $i$,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $(90^{\circ})$,और अपवर्तन कोण $r$ का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए (क्योंकि वे अंतरापृष्ठ पर एक सीधी रेखा बनाते हैं)।
इसलिए,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = 180^{\circ} - 90^{\circ} - i = 90^{\circ} - i$ प्राप्त होता है।

(A) हवा में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d} = 2 \,mm$ है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ हो जाती है।
यहाँ $\beta = 2 \,mm$ और $\mu = 1.33$ दिया गया है,इसलिए $\beta' = \frac{2}{1.33} \approx 1.5 \,mm$।
फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \beta - \beta' = 2 \,mm - 1.5 \,mm = 0.5 \,mm$ है।