वह बिंदु जहाँ रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}$ समतल $2x+4y-z=1$ से मिलती है,है:

मान लीजिए $P(3, 2, 6)$ अंतरिक्ष में एक बिंदु है और $Q$ रेखा $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$ पर एक बिंदु है। तो $\mu$ का वह मान जिसके लिए सदिश $\vec{PQ}$ समतल $x - 4y + 3z = 1$ के समानांतर है,है

मान लीजिए $\pi_1$ वह समतल है जो सदिशों $\bar{i}+\bar{j}$ और $\bar{i}+\bar{k}$ द्वारा निर्धारित होता है,और $\pi_2$ वह समतल है जो सदिशों $\bar{j}-\bar{k}$ और $\bar{k}-\bar{i}$ द्वारा निर्धारित होता है। मान लीजिए $\bar{a}$ समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर एक गैर-शून्य सदिश है। यदि $\bar{b}=\bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ है,तो सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है और $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,तो रेखा $PQ$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) क्या हैं?

रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करने वाले और रेखाओं $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $(1, \alpha, \beta)$ रेखाओं $\frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2}$ और $\frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}, z=1$ के बीच की न्यूनतम दूरी की रेखा पर स्थित है,तो $\alpha+\beta=$