int_{0}^{pi / 2} log (operatorname{cosec} x) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ है। चूंकि $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\log (\operatorname{c

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$\frac{\pi}{2} \log 2$

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(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ है। चूंकि $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\log (\operatorname{cosec} x) = \log (\sin x)^{-1} = -\log \sin x$ होता है। अतः,$I = -\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x$ होगा। निश्चित समाकलन के मानक परिणाम $\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = -(-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2$।

$\int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ का मान है

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मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $[0, a]$ पर सतत फलन हैं,इस प्रकार कि $f(x)=f(a-x)$ और $g(x)+g(a-x)=4$,तो $\int_0^a f(x) g(x) d x$ का मान क्या होगा?

किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,समाकलन $\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3(2n+1)x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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