એક જથ્થાબંધ વેપારી $Rs \ 24000$ સાથે અનાજનો વ્યવસાય શરૂ કરવા માંગે છે. ઘઉંનો ભાવ $Rs \ 400$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ અને ચોખાનો ભાવ $Rs \ 600$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ છે. તેની પાસે $200$ ક્વિન્ટલ અનાજ સંગ્રહ કરવાની ક્ષમતા છે. તે ઘઉં પર $Rs \ 25$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ અને ચોખા પર $Rs \ 40$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ નફો મેળવે છે. જો તે $x$ ક્વિન્ટલ ચોખા અને $y$ ક્વિન્ટલ ઘઉંનો સંગ્રહ કરે,તો મહત્તમ નફા માટે હેતુલક્ષી વિધેય (objective function) શું છે?

$z=x+y$ ને મહત્તમ કરવા માટેની $L$.$P$.$P$.,જેની શરતો $x+y \leq 30, x \leq 15, y \leq 20, x+y \geq 15$ અને $x, y \geq 0$ છે,તે:

એક ઉત્પાદક બાઇકના બે મોડેલ બનાવે છે: મોડેલ $X$ અને મોડેલ $Y$. મોડેલ $X$ ને બનાવવા માટે પ્રતિ એકમ $6$ માનવ-કલાક લાગે છે,જ્યારે મોડેલ $Y$ ને પ્રતિ એકમ $10$ માનવ-કલાક લાગે છે. અઠવાડિયામાં કુલ $450$ માનવ-કલાક ઉપલબ્ધ છે. મોડેલ $X$ અને $Y$ માટે હેન્ડલિંગ અને માર્કેટિંગ ખર્ચ અનુક્રમે $Rs. 2000$ અને $Rs. 1000$ પ્રતિ એકમ છે. આ હેતુઓ માટે ઉપલબ્ધ કુલ ભંડોળ અઠવાડિયાના $Rs. 80,000$ છે. મોડેલ $X$ અને $Y$ માટે પ્રતિ એકમ નફો અનુક્રમે $Rs. 1000$ અને $Rs. 500$ છે. મહત્તમ નફો મેળવવા માટે ઉત્પાદકે દરેક મોડેલની કેટલી બાઇક બનાવવી જોઈએ? મહત્તમ નફો શોધો.

$3x + 5y \leq 26$ અને $5x + 3y \leq 30, x \geq 0, y \geq 0$ ની શરતો હેઠળ $2x + y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

એક આહારમાં ઓછામાં ઓછા $80$ એકમ વિટામિન $A$ અને $100$ એકમ ખનિજો હોવા જોઈએ. બે ખોરાક $F_{1}$ અને $F_{2}$ ઉપલબ્ધ છે. ખોરાક $F_{1}$ ની કિંમત $Rs. 4$ પ્રતિ એકમ અને $F_{2}$ ની કિંમત $Rs. 6$ પ્રતિ એકમ છે. ખોરાક $F_{1}$ ના એક એકમમાં $3$ એકમ વિટામિન $A$ અને $4$ એકમ ખનિજો છે. ખોરાક $F_{2}$ ના એક એકમમાં $6$ એકમ વિટામિન $A$ અને $3$ એકમ ખનિજો છે. આને સુરેખ આયોજન સમસ્યા (Linear Programming Problem) તરીકે દર્શાવો. આ બે ખોરાકના મિશ્રણથી બનતા આહાર માટે ન્યૂનતમ ખર્ચ શોધો જે પોષણની ન્યૂનતમ જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરે છે.

નીચે આપેલા છાયાંકિત પ્રદેશ માટે,સુરેખ અવરોધો કયા છે?