ऐसे संतत फलनों $f:\left[0, \frac{3}{2}\right] \rightarrow(0, \infty)$, जो समीकरण $4 \int \limits_0^{3 / 2} f(x) d x+125 \int \limits_0^{3 / 2} \frac{d x}{\sqrt{f(x)+x^2}}=108$को संतुष्ट क्रते हैं, की संख्या क्या होगी ?

फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\int_0^2 \mathrm{e}^{|\mathrm{x}-\mathrm{t}|} \mathrm{dt}$ का निम्नतम मान है:

माना $\operatorname{Max}_{0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^2}{5-x}\right\}=\alpha$ तथा $\operatorname{Min}_{0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^2}{5-x}\right\}=\beta$ है। यदि
$\int \limits_{\beta-\frac{8}{3}}^{2 \alpha-1} \operatorname{Max}\left\{\frac{9-x^2}{5-x}, x\right\} d x=\alpha_1+\alpha_2 \log _e\left(\frac{8}{15}\right)$
है, तो $\alpha_1+\alpha_2$ बराबर है $..........$

संतत फलन $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ जो कि $\int_0^1(f(x))^2 d x=2 \int \limits_0^1 f(x) d x$ को संतुष्ट करता है, की संख्या क्या होगी ?

$x \in R$ के लिए, मान लें कि $f(x)=|\sin x|$ एवं $g(x)=\int_0^x f(t) d t$ है। मान लें कि $p(x)=$ $g(x)-\frac{2}{\pi} x$ । तब

मान लें कि $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ एक सतत फलन इस प्रकार है कि

$x^2+(f(x))^2 \leq 1$ सभी $x \in[0,1]$ के लिए एवं $\int \limits_0^1 f(x) d x=\frac{\pi}{4}$ तब $\int \limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} d x$ निम्न के बराबर है।