समीकरण 4 int_0^{3/2} f(x) dx + 125 int_0^{3/2 | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) + x^2 = g^2(x)$ जहाँ $g(x) > 0$ है।$f(x) = g^2(x) - x^2$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$4 \int_0^{3/2} (g^2(x) - x^2) dx + 125 \in

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$1$

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(B) माना $f(x) + x^2 = g^2(x)$ जहाँ $g(x) > 0$ है।$f(x) = g^2(x) - x^2$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$4 \int_0^{3/2} (g^2(x) - x^2) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{g(x)} = 108$$4 \int_0^{3/2} g^2(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{g(x)} = 108 + 4 \int_0^{3/2} x^2 dx$$4 \int_0^{3/2} g^2(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{g(x)} = 108 + 4 [\frac{x^3}{3}]_0^{3/2} = 108 + 4.5 = 112.5$.समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करने पर:$4g^2(x) + \frac{62.5}{g(x)} + \frac{62.5}{g(x)} \geq 3 \sqrt[3]{4g^2(x) \cdot \frac{62.5}{g(x)} \cdot \frac{62.5}{g(x)}} = 3 \cdot 25 = 75$.दोनों पक्षों का $0$ से $3/2$ तक समाकलन करने पर:$\int_0^{3/2} (4g^2(x) + \frac{125}{g(x)}) dx \geq 112.5$.चूंकि समाकलन का मान $112.5$ है,इसलिए समानता तभी संभव है जब $4g^2(x) = \frac{62.5}{g(x)}$ हो।अतः $g(x) = 2.5 = 5/2$ और $f(x) = \frac{25}{4} - x^2$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,केवल $1$ ऐसा फलन है।

समीकरण $4 \int_0^{3/2} f(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{f(x)+x^2}} = 108$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f : [0, \frac{3}{2}] \rightarrow (0, \infty)$ की संख्या क्या है?

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