पूर्णांकों के उन क्रमित युग्मों $(a, b)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $a-b$,$x^2+ax+b=0$ का एक मूल है।

यदि $\frac{x^2y^2 - 2x^2y + 2x^2 + 2xy - 2x + 1}{x^2y + x}$ का न्यूनतम मान $\lambda$ है,जहाँ $x, y \in R^+$ और $x^2y + x \neq 0$,तो:

$k$ $(k \neq 0)$ के उन सभी पूर्णांक मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{2}{k}$ का $x$ में कोई वास्तविक मूल नहीं है।

द्विघात समीकरण $nx^2 + 7\sqrt{n}x + n = 0$ पर विचार करें,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सही है?
$I$. किसी भी $n$ के लिए,मूल भिन्न हैं।
$II$. $n$ के ऐसे अनंत मान हैं जिनके लिए दोनों मूल वास्तविक हैं।
$III$. मूलों का गुणनफल अनिवार्य रूप से एक पूर्णांक है।

यदि $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$ है,तो $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सभी $x \in R$ के लिए $\frac{1}{2} \leq \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \leq 2$ है,तो $a=$