मान लीजिए कि a, b, c, d धनात्मक पूर्णांक हैं। | vedclass

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Question

(B) किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$n^3 \equiv 0, 1, 	ext{ या } 8 \pmod{9}$,जो $n^3 \equiv 0, 1, -1 \pmod{9}$ के बराबर है।कथन $I$: हमें यह जांचना है कि

Vedclass · Accepted Answer

$I$ सत्य है लेकिन $II$ असत्य है

Vedclass · Answer

(B) किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$n^3 \equiv 0, 1, 	ext{ या } 8 \pmod{9}$,जो $n^3 \equiv 0, 1, -1 \pmod{9}$ के बराबर है।कथन $I$: हमें यह जांचना है कि क्या $a^3+b^3+c^3 \equiv 0 \pmod{9}$ का अर्थ $abc \equiv 0 \pmod{3}$ है।यदि $abc$,$3$ से विभाज्य नहीं है,तो $a, b, c 
ot\equiv 0 \pmod{3}$। अतः $a, b, c \equiv 1, 2 \pmod{3}$।तब $a^3, b^3, c^3 \equiv 1, 8 \pmod{9}$ (क्योंकि $1^3=1$ और $2^3=8 \equiv -1 \pmod{9}$)।$a^3+b^3+c^3 \equiv 0 \pmod{9}$ प्राप्त करने के लिए,हमें ${1, -1}$ से तीन मानों का योग $0 \pmod{9}$ चाहिए,जो असंभव है क्योंकि संभावित योग $\{3, 1, -1, -3\}$ हैं।अतः,$a, b, c$ में से कम से कम एक $3$ का गुणज होना चाहिए,इसलिए $abc$,$3$ से विभाज्य है। कथन $I$ सत्य है।कथन $II$: $a=1, b=2, c=1, d=2$ लें।तो $a^3+b^3+c^3+d^3 = 1^3+2^3+1^3+2^3 = 1+8+1+8 = 18$,जो $9$ से विभाज्य है।हालाँकि,$abcd = 1 	imes 2 	imes 1 	imes 2 = 4$,जो $3$ से विभाज्य नहीं है।अतः,कथन $II$ असत्य है।

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