मान लीजिए a, b, x धनात्मक वास्तविक संख्याएँ ह | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\log_{a} b = 10$,जिसका अर्थ है $\log b = 10 \log a$.व्यंजक $\frac{\log_{a} x \cdot \log_{x}(\frac{b}{a})}{\log_{x} b \cdot \log_{ab}

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$109$

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(C) दिया गया है $\log_{a} b = 10$,जिसका अर्थ है $\log b = 10 \log a$.व्यंजक $\frac{\log_{a} x \cdot \log_{x}(\frac{b}{a})}{\log_{x} b \cdot \log_{ab} x}$ है।आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{m} n = \frac{\log n}{\log m}$ का उपयोग करते हुए:$\log_{a} x = \frac{\log x}{\log a}$,$\log_{x}(\frac{b}{a}) = \frac{\log b - \log a}{\log x}$,$\log_{x} b = \frac{\log b}{\log x}$,और $\log_{ab} x = \frac{\log x}{\log a + \log b}$.इन मानों को व्यंजक में रखने पर:$\frac{p}{q} = \frac{(\frac{\log x}{\log a}) \cdot (\frac{\log b - \log a}{\log x})}{(\frac{\log b}{\log x}) \cdot (\frac{\log x}{\log a + \log b})} = \frac{\frac{\log b - \log a}{\log a}}{\frac{\log b}{\log a + \log b}} = \frac{(\log b - \log a)(\log a + \log b)}{\log a \cdot \log b} = \frac{(\log b)^2 - (\log a)^2}{\log a \cdot \log b}$.चूंकि $\log b = 10 \log a$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{p}{q} = \frac{(10 \log a)^2 - (\log a)^2}{\log a \cdot (10 \log a)} = \frac{100(\log a)^2 - (\log a)^2}{10(\log a)^2} = \frac{99(\log a)^2}{10(\log a)^2} = \frac{99}{10}$.चूंकि $p=99$ और $q=10$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $p+q = 99+10 = 109$.

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