संतत फलन $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ जो कि $\int_0^1(f(x))^2 d x=2 \int \limits_0^1 f(x) d x$ को संतुष्ट करता है, की संख्या क्या होगी ?

यदि सभी वास्तविक त्रिकों $( a , b , c )$ के लिए, $f( x )= a + bx + cx ^{2}$ है, तो $\int \limits_{0}^{1} f( x ) dx$ बराबर है

माना $f$ एक धनात्मक फलन है तथा

${I_1} = \int_{1 - k}^k {x\,f\left\{ {x(1 - x)} \right\}} \,dx$, ${I_2} = \int_{1 - k}^k {\,f\left\{ {x(1 - x)} \right\}} \,dx$

जहाँ $2k - 1 > 0$, तब ${I_1}/{I_2}$ का मान होगा

माना $f ( x )=2+| x |-| x -1|+| x +1|, x \in R$ है। माना 

$( S 1): f ^{\prime}\left(-\frac{3}{2}\right)+ f ^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right)+ f ^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+ f ^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)=2$

$(S2): \int_{-2}^2 f ( x ) dx =12$ है। तब

माना एक फलन $f [0,1]$ मे ऋणोत्तर तथा $(0,1)$ में दो बार अवकलनीय है। यदि $\int_{0}^{ x } \sqrt{1-\left( f ^{\prime}( t )\right)^{2}} dt =\int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$, $0 \leq x \leq 1$ तथा $f (0)=0$, है, तो $\lim \limits_{ x \rightarrow 0} \frac{1}{ x ^{2}} \int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$

यदि $[ x ]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है, तो $\pi^{2} \int \limits_{0}^{2}\left(\sin \frac{\pi x }{2}\right)( x -[ x ])^{[ x ]} dx$ बराबर है