शर्त $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ की संख्या कितनी है?

मान लीजिए $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (जहाँ $\alpha > 0$),तो $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $I = \sum_{k=1}^{98} \int_k^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=\begin{cases} [x], & x \leq 2 \\ 0, & x>2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $[x]$,$x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है। यदि $I=\int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ है,तो $(4I-1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान $....$ है।