मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। ऐसे कितने सतत फलन $f: R \rightarrow R$ हैं कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) + f(2x) = 0$ है?

यदि $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ और $x=3, 4, 5, \ldots$ के लिए $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ है,तो $f(9)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f:R \to R$ सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$ को संतुष्ट करता है और $f(1) = 7$ है,तो $\sum_{r = 1}^n f(r)$ क्या होगा?

यदि $f(x + ay, x - ay) = axy$ है,तो $f(x, y)$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f(x) = \frac{1}{3}\left[ f(x + 6) + \frac{6}{f(x + 7)} \right]$ शर्त को संतुष्ट करता है और सभी $x \in R$ के लिए $f(x) \geq 0$ है। यदि $\lim_{x \to \infty} f(x) = \sqrt{m}$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ और $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin (k) \sin (k+f(k))}$ का मान ज्ञात कीजिए: