KVPY 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સંતુલન માટે,લિફ્ટ બળ એ વિમાનના વજન જેટલું હોવું જોઈએ:
$mg = \frac{1}{2} \rho v^2 A$
આપેલ છે:
$m = 7500 \, kg$
$v = 8 \, km/s = 8000 \, m/s$
$A = 30 \, m^2$
$\rho(h) = 1.2 e^{-h/10} \, kg/m^3$ (જ્યાં $h$ એ $km$ માં છે)
$g \approx 9.8 \, m/s^2$
સંતુલન સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$7500 \times 9.8 = \frac{1}{2} \times (1.2 e^{-h/10}) \times (8000)^2 \times 30$
$73500 = 0.6 \times e^{-h/10} \times 64 \times 10^6 \times 30$
$73500 = 1152 \times 10^6 \times e^{-h/10}$
$e^{-h/10} = \frac{73500}{1152 \times 10^6} \approx 6.38 \times 10^{-5}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-h/10 = \ln(6.38 \times 10^{-5})$
$-h/10 \approx -9.66$
$h \approx 96.6 \, km$
આ કિંમત $75-100 \, km$ ની રેન્જમાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે: $K_i + U_i = K_f + U_f$.
$x = +\infty$ પર, સ્થિતિઊર્જા $U_i = V(\infty) = \frac{K}{e^{\infty} + e^{-\infty}} = 0$ થાય.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = K$ છે.
$x = 0$ પર, સ્થિતિઊર્જા $U_f = V(0) = \frac{K}{e^0 + e^0} = \frac{K}{1 + 1} = \frac{K}{2}$ થાય.
ધારો કે $x = 0$ આગળ કણની ઝડપ $v$ છે. તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ થાય.
ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $K + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{K}{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = K - \frac{K}{2} = \frac{K}{2}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $mv^2 = K \Rightarrow v^2 = \frac{K}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{K}{m}}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, ઉત્તેજિત અવસ્થા અને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ વચ્ચેનો ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E$ એ દળના તફાવત $\Delta m$ ને અનુરૂપ છે, જે $\Delta E = \Delta m c^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\nu = 9.2 \times 10^9 \, Hz$ માટે, ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E = h\nu$ છે.
તેથી, પરમાણુઓની એક જોડી માટે દળનો તફાવત $\Delta m = \frac{h\nu}{c^2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta m = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 9.2 \times 10^9}{(3 \times 10^8)^2} \, kg$
$\Delta m = \frac{6.63 \times 9.2 \times 10^{-25}}{9 \times 10^{16}} \, kg$
$\Delta m \approx 6.78 \times 10^{-41} \, kg$.
આ દળનો તફાવત $2$ પરમાણુઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે, તેથી $1 \, kg$ નું કુલ દળ મેળવવા માટે જરૂરી પરમાણુઓની સંખ્યા $N$:
$N = \frac{2 \times 1 \, kg}{\Delta m} = \frac{2}{6.78 \times 10^{-41}} \approx 0.295 \times 10^{41} \approx 3 \times 10^{40}$.
આમ, સંખ્યાનો ક્રમ $10^{40}$ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $u = \sqrt{4 g \ell}$ છે. જ્યારે તણાવ $T = 0$ થાય ત્યારે દોરી ઢીલી પડે છે. ધારો કે આ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે થાય છે.
આ બિંદુએ,ગુરુત્વાકર્ષણનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $mg \cos \theta = \frac{mv^2}{\ell} \Rightarrow v^2 = g \ell \cos \theta$.
સૌથી નીચલા બિંદુ અને જ્યાં દોરી ઢીલી પડે છે તે બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mg\ell(1 + \cos \theta)$
$u^2 = 4g\ell$ અને $v^2 = g\ell \cos \theta$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}m(4g\ell) = \frac{1}{2}m(g\ell \cos \theta) + mg\ell(1 + \cos \theta)$
$2g\ell = \frac{1}{2}g\ell \cos \theta + g\ell + g\ell \cos \theta$
$1 = \frac{3}{2} \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{3}$.
આમ,$v^2 = g\ell(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}g\ell$.
ગતિપથના સૌથી ઊંચા બિંદુએ (જ્યાં શિરોલંબ વેગ ઘટક શૂન્ય છે),ગોળાનો વેગ સંપૂર્ણપણે આડો હોય છે અને તે $v_x = v \cos \theta$ જેટલો હોય છે.
$v_{top} = v \cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}g\ell} \times \frac{2}{3} = \sqrt{\frac{2}{3} \times \frac{4}{9} g\ell} = \sqrt{\frac{8}{27} g\ell}$.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયાઓ $BC$ અને $DA$ માટે:
$P_{12} V_2^\gamma = P_{34} V_3^\gamma \quad \dots(i)$
$P_{34} V_4^\gamma = P_{12} V_1^\gamma \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$P_{12} P_{34} (V_2 V_4)^\gamma = P_{12} P_{34} (V_1 V_3)^\gamma$
$V_2 V_4 = V_1 V_3 \Rightarrow \frac{V_2}{V_3} = \frac{V_1}{V_4}$
સમદાબી પ્રક્રિયાઓ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_1 = \frac{P_{12} V_1}{nR}, T_2 = \frac{P_{12} V_2}{nR}, T_3 = \frac{P_{34} V_3}{nR}, T_4 = \frac{P_{34} V_4}{nR}$
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_{rejected}}{Q_{supplied}} = 1 - \frac{n C_p (T_3 - T_4)}{n C_p (T_2 - T_1)} = 1 - \frac{T_3 - T_4}{T_2 - T_1}$
$T$ ના મૂલ્યો મુકતા:
$\eta = 1 - \frac{\frac{P_{34}}{nR}(V_3 - V_4)}{\frac{P_{12}}{nR}(V_2 - V_1)} = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12}} \left( \frac{V_3 - V_4}{V_2 - V_1} \right)$
કારણ કે $\frac{V_2}{V_3} = \frac{V_1}{V_4} = k$,તેથી $V_2 = k V_3$ અને $V_1 = k V_4$.
$\eta = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12}} \left( \frac{V_3 - V_4}{k(V_3 - V_4)} \right) = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12} k} = 1 - \frac{P_{34}}{P_{12}} \cdot \frac{V_3}{V_2} = 1 - \frac{T_3}{T_2} = 1 - \frac{T_4}{T_1}$

(D) ભૌતિક લોલક માટે,આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પીવટ (આધારબિંદુ) ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $d$ એ પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ સુધીનું અંતર છે.
એક છેડેથી લટકાવેલા $\ell$ લંબાઈના સળિયા માટે:
$I = \frac{m\ell^2}{3}$ અને $d = \frac{\ell}{2}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m\ell^2/3}{mg\ell/2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2\ell}{3g}} \quad \dots(i)$
જ્યારે તારને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે પરિઘ $\ell = 2 \pi R$ થાય છે,તેથી $R = \frac{\ell}{2 \pi}$.
પરિઘ પરના બિંદુથી લટકાવેલી રિંગ માટે,પીવટની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ છે (સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને).
પીવટથી $COM$ સુધીનું અંતર $d' = R$ છે.
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}} \quad \dots(ii)$
$R = \frac{\ell}{2 \pi}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \frac{\ell}{2 \pi}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{\pi g}}$.
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T'}{T} = \frac{2 \pi \sqrt{2R/g}}{2 \pi \sqrt{2\ell/3g}} = \sqrt{\frac{2R}{g} \cdot \frac{3g}{2\ell}} = \sqrt{\frac{3R}{\ell}} = \sqrt{\frac{3(\ell/2\pi)}{\ell}} = \sqrt{\frac{3}{2 \pi}}$.
આમ,$T' = \sqrt{\frac{3}{2 \pi}} T$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઊર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે $(U = f(T))$.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં, તાપમાન $T$ અચળ રહે છે $(\Delta T = 0)$.
તેથી, આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$, જ્યાં $Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
કારણ કે $\Delta U = 0$, તેથી $Q = W$ થાય.
જ્યારે વાયુનું સંકોચન થાય છે, ત્યારે વાયુ પર કાર્ય થાય છે $(W < 0)$, જેનો અર્થ છે કે વાયુ દ્વારા આસપાસમાં ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી, આંતરિક ઊર્જા અચળ રહે છે.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}$,તેથી $GM = v_0^2 R_0$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$r_1 v_{max} = r_2 v_{min}$,જ્યાં $v_{max} = \beta v_0$ અને $v_{min} = \alpha v_0$ છે. તેથી,$r_1 \beta v_0 = r_2 \alpha v_0 \Rightarrow r_2 = \frac{\beta}{\alpha} r_1$.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{1}{2} m(\beta v_0)^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2} m(\alpha v_0)^2 - \frac{GMm}{r_2}$.
$GM = v_0^2 R_0$ અને $r_2 = \frac{\beta}{\alpha} r_1$ મૂકતા,આપણે અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = \frac{r_1 + r_2}{2}$ માટે ઉકેલીએ છીએ.
ઉર્જા સમીકરણ પરથી,$\frac{1}{2} v_0^2 (\beta^2 - \alpha^2) = GM(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) = GM(\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2})$.
$GM = v_0^2 R_0$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} (\beta^2 - \alpha^2) = \frac{R_0}{r_1 r_2} (r_2 - r_1)$ મળે છે.
$r_2 = \frac{\beta}{\alpha} r_1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $r_1 = \frac{2 R_0 \alpha}{\beta(\alpha + \beta)}$ અને $r_2 = \frac{2 R_0 \beta}{\alpha(\alpha + \beta)}$ મળે છે.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = \frac{r_1 + r_2}{2} = R_0 \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta (\alpha + \beta)}$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ $T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{GM}$ નો ઉપયોગ કરીને અને કિંમતો મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \pi R_0}{v_0} (\alpha \beta)^{-\frac{3}{2}}$ મળે છે.

(B) ઉષ્મા પ્રવાહ નળાકાર પાઈપમાંથી ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ વહે છે.
$x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતા નળાકાર કવચ માટે,ઉષ્મીય અવરોધ $dR_T = \frac{dx}{k(2\pi x \ell)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંદરની ત્રિજ્યા $R_1$ થી બહારની ત્રિજ્યા $R_2$ સુધી સંકલન કરતા,કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_T$ મળે છે:
$R_T = \int_{R_1}^{R_2} \frac{dx}{2\pi k \ell x} = \frac{1}{2\pi k \ell} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_T} = \frac{2\pi k \ell (T_1 - T_2)}{\ln(R_2/R_1)}$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 110^{\circ} C$,$T_2 = 10^{\circ} C$,$\Delta T = 100^{\circ} C$,$k = 0.38 \,kW/m/^{\circ} C$,$\ell = 10 \,m$,$R_1 = 2 \,cm$,$R_2 = 4 \,cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{2 \times 3.14159 \times 0.38 \times 10 \times 100}{\ln(4/2)} = \frac{2387.6}{0.6931} \approx 3444.6 \,kW$.
આમ,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર આશરે $3445 \,kW$ છે.

(B) ધારો કે $N_0 = 1000 \text{ molecules}/m^3$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા છે.
એક મિનિટમાં,બહાર નીકળતા અણુઓની સંખ્યા $\frac{1}{10} N_0$ છે. તેથી,$1 \text{ minute}$ પછી બાકી રહેલી સાંદ્રતા $N_1 = N_0 - \frac{1}{10} N_0 = \frac{9}{10} N_0 = 0.9 N_0$ છે.
આ $N_t = N_0(0.9)^t$ મોડેલને અનુસરે છે,જ્યાં $t$ મિનિટમાં છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જેથી $N_t = 1 \text{ molecule}/m^3$ થાય.
$1 = 1000(0.9)^t$
$(0.9)^t = 0.001$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$t \ln(0.9) = \ln(0.001)$
$t \approx \frac{-6.9077}{-0.10536} \approx 65.56 \text{ મિનિટ}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$t \approx 70 \text{ મિનિટ}$.

(D) સ્ટ્રોમાં રહેલા પ્રવાહીના દળને ધ્યાનમાં લો. પ્રવાહી સ્તંભની કુલ લંબાઈ $(y+d)$ છે.
ધારો કે $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $A$ એ સ્ટ્રોનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રવાહી સ્તંભનું દળ $m = \rho A(y+d)$ છે.
સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહી સ્તંભ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્ટ્રોના તળિયે આસપાસના પાણીને કારણે દબાણ બળ: $F_P = P_{atm}A + \rho g d A$.
$2$. સ્ટ્રોની ટોચ પર વાતાવરણીય દબાણ બળ: $F_{atm} = -P_{atm}A$.
$3$. પ્રવાહી સ્તંભનું વજન: $F_g = -mg = -\rho A(y+d)g$.
$4$. સ્ટ્રોના તળિયે $\dot{y}$ વેગ સાથે પ્રવેશતા પાણીને કારણે થ્રસ્ટ બળ: $F_{thrust} = -\dot{m}v_{rel} = -(\rho A \dot{y})\dot{y} = -\rho A \dot{y}^2$.
આ બળોનો સરવાળો કરતા: $F_{net} = \frac{d}{dt}(mv) = \frac{d}{dt}(\rho A(y+d)\dot{y}) = \rho A ((y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2)$.
$F_{net}$ ને બળોના સરવાળા સાથે સરખાવતા:
$\rho A ((y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2) = P_{atm}A + \rho g d A - P_{atm}A - \rho A(y+d)g - \rho A \dot{y}^2$.
$\rho A$ વડે ભાગતા:
$(y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2 = gd - g(y+d) - \dot{y}^2$.
$(y+d)\ddot{y} + 2\dot{y}^2 + gy = 0$.
નોંધ: આપેલ વિકલ્પ $(D)$ એ $(y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2 + gy = 0$ છે,જે આ સમસ્યા માટે પ્રમાણિત પરિણામ છે.

(B) બ્લોકમાંથી ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt = -hA(T - T_{surr})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ ગુણાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T_{surr}$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
$dQ = mc dT$ હોવાથી,આપણી પાસે $mc(dT/dt) = -hA(T - T_{surr})$ છે.
અહીં,$m = 5 \,kg$,$c = 500 \,J/kg/^{\circ}C$,$h = 50 \,W/m^2/^{\circ}C$,અને $T_{surr} = 0^{\circ}C$.
હવાના સંપર્કમાં રહેલ ઘનનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $5$ બાજુઓ ધરાવે છે (કારણ કે એક બાજુ અવાહક સપાટી પર છે): $A = 5 \times (0.1 \,m)^2 = 5 \times 0.01 = 0.05 \,m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $5 \times 500 \times (dT/dt) = -50 \times 0.05 \times (T - 0)$.
$2500 \times (dT/dt) = -2.5 \times T$.
$dT/T = -(2.5 / 2500) dt = -0.001 dt$.
$T_i = 100^{\circ}C$ થી $T_f = 37^{\circ}C$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{100}^{37} (dT/T) = \int_{0}^{t} -0.001 dt$.
$\ln(37/100) = -0.001 t$.
$\ln(0.37) \approx -0.994$.
$-0.994 = -0.001 t \implies t = 994 \,s$.
$994 \,s$ ની સૌથી નજીકની કિંમત $1000 \,s$ છે.

(B) ધારો કે $\text{2m}$ દળના દડાનો વેગ $\text{u}_0$ છે અને બે દડાઓની સિસ્ટમ સ્થિર છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી, ધારો કે $\text{2m}$ દળના દડાનો વેગ $\text{v}_1$ છે અને $\text{m}$ દળના પ્રથમ દડાનો વેગ $\text{v}_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\text{2m u}_0 = \text{2m v}_1 + \text{m v}_2 \implies \text{2u}_0 = \text{2v}_1 + \text{v}_2$.
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી, પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $\text{e} = 1 = \frac{\text{v}_2 - \text{v}_1}{\text{u}_0} \implies \text{v}_2 - \text{v}_1 = \text{u}_0$.
આ બે સમીકરણો ઉકેલતા: $\text{v}_2 = \text{u}_0 + \text{v}_1$. આને વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $\text{2u}_0 = \text{2v}_1 + (\text{u}_0 + \text{v}_1) = \text{3v}_1 + \text{u}_0 \implies \text{3v}_1 = \text{u}_0 \implies \text{v}_1 = \frac{\text{u}_0}{3}$.
તેથી $\text{v}_2 = \text{u}_0 + \frac{\text{u}_0}{3} = \frac{\text{4u}_0}{3}$.
કંપન ઊર્જા એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં બે-દડાની સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જા છે. બે-દડાની સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\text{v}_{cm} = \frac{\text{m}(\text{v}_2) + \text{m}(0)}{\text{2m}} = \frac{\text{v}_2}{2} = \frac{\text{2u}_0}{3}$ છે.
કંપન ઊર્જા $\text{E}_v = \frac{1}{2} \mu \text{v}_{rel}^2$, જ્યાં $\mu = \frac{\text{m} \cdot \text{m}}{\text{m}+\text{m}} = \frac{\text{m}}{2}$ અને $\text{v}_{rel} = \text{v}_2 - 0 = \frac{\text{4u}_0}{3}$.
$\text{E}_v = \frac{1}{2} \left( \frac{\text{m}}{2} \right) \left( \frac{\text{4u}_0}{3} \right)^2 = \frac{\text{m}}{4} \cdot \frac{\text{16u}_0^2}{9} = \frac{\text{4mu}_0^2}{9}$.
$\text{2m}$ દળના દડાની પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $\text{K}_i = \frac{1}{2} (\text{2m}) \text{u}_0^2 = \text{mu}_0^2$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\text{E}_v}{\text{K}_i} = \frac{\text{4mu}_0^2 / 9}{\text{mu}_0^2} = \frac{4}{9}$ થાય.

(C) $h$ ઊંચાઈના પ્રવાહી સ્તંભ પર લાગતું પરિણામી બળ એ પૃષ્ઠતાણ બળ,પ્રવાહીનું વજન અને સ્નિગ્ધ અવરોધક બળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F_s = T(2 \pi a)$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_g = m g = (\pi a^2 h \rho) g$ છે.
પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,એકમ લંબાઈ દીઠ દબાણનો ઘટાડો $\frac{\Delta P}{h} = \frac{8 \eta v}{a^2}$ છે. નીચેની તરફ લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F_v = \Delta P \cdot A = (\frac{8 \eta v}{a^2} h) (\pi a^2) = 8 \pi \eta h v$ છે,જ્યાં $v = \frac{dh}{dt}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ પરિણામી બળ જેટલો હોય છે:
$\frac{dp}{dt} = F_s - F_g - F_v$
પદોને મૂકતા:
$\frac{dp}{dt} = T(2 \pi a) - (\pi a^2 \rho g h) - 8 \pi \eta h \frac{dh}{dt}$
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{dp}{dt} = -\pi a^2 \rho gh + F$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$F = T(2 \pi a) - 8 \pi \eta h \frac{dh}{dt}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ઉગમબિંદુથી અંતર $r$ એ $r^2 = x^2 + y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $r$ એ $x$ સાથે એકધારી રીતે વધે તે માટે,આપણે $\frac{dr}{dx} > 0$ ની જરૂર છે,જે $\frac{d(r^2)}{dt} > 0$ ને સમાન છે કારણ કે $x$ સમય $t$ સાથે વધે છે.
આપેલ છે કે $x = v_0 \cos \alpha \cdot t$ અને $y = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$,તેથી:
$r^2 = (v_0 \cos \alpha \cdot t)^2 + (v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2)^2$
$r^2 = v_0^2 t^2 \cos^2 \alpha + v_0^2 t^2 \sin^2 \alpha - v_0 \sin \alpha \cdot g t^3 + \frac{1}{4}g^2 t^4$
$r^2 = v_0^2 t^2 - v_0 \sin \alpha \cdot g t^3 + \frac{1}{4}g^2 t^4$
$t$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{d(r^2)}{dt} = 2 v_0^2 t - 3 v_0 \sin \alpha \cdot g t^2 + g^2 t^3$
$r$ વધે તે માટે,તમામ $t > 0$ માટે $\frac{d(r^2)}{dt} > 0$ હોવું જોઈએ. $t$ વડે ભાગતા:
$g^2 t^2 - 3 v_0 \sin \alpha \cdot g t + 2 v_0^2 > 0$
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ હંમેશા ધન રહે છે જો તેનો વિવેચક $D < 0$ હોય:
$D = (-3 v_0 \sin \alpha \cdot g)^2 - 4(g^2)(2 v_0^2) < 0$
$9 v_0^2 g^2 \sin^2 \alpha - 8 v_0^2 g^2 < 0$
$\sin^2 \alpha < \frac{8}{9} \implies \sin \alpha < \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ હોવાથી,આપણને $\cos^2 \alpha > 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ મળે છે.
આમ,$\cos \alpha > \frac{1}{3}$. તેથી ક્રાંતિકોણ $\alpha_c = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે.

(C) ચક્રની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{supplied}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોખ્ખું કાર્ય $W_{\text{net}}$ એ $P-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે. અર્ધ-અક્ષો $a = \frac{V_{0}}{2}$ અને $b = \frac{P_{0}}{2}$ ધરાવતા ચતુર્થાંશ લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ $W_{\text{net}} = \frac{1}{4} \pi a b = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{V_{0}}{2}\right) \left(\frac{P_{0}}{2}\right) = \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16}$ છે.
વાયુને માત્ર $CA$ પ્રક્રિયા દરમિયાન ઉષ્મા આપવામાં આવે છે. $CA$ પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_{CA} = n C_{V} \Delta T = \frac{3}{2} R (T_{A} - T_{C})$ છે. $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_{A} = \frac{(3/2 P_{0}) V_{0}}{R} = \frac{3 P_{0} V_{0}}{2R}$ અને $T_{C} = \frac{P_{0} (V_{0}/2)}{R} = \frac{P_{0} V_{0}}{2R}$ મળે છે.
તેથી,$\Delta U_{CA} = \frac{3}{2} R \left(\frac{3 P_{0} V_{0}}{2R} - \frac{P_{0} V_{0}}{2R}\right) = \frac{3}{2} P_{0} V_{0}$.
$CA$ માર્ગ દરમિયાન થયેલું કાર્ય એ વક્ર $CA$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે,જે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ વત્તા ચતુર્થાંશ લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ છે: $W_{CA} = P_{0} \left(\frac{V_{0}}{2}\right) + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16} = \frac{P_{0} V_{0}}{2} + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16}$.
કુલ આપેલી ઉષ્મા $Q_{\text{supplied}} = W_{CA} + \Delta U_{CA} = \left(\frac{P_{0} V_{0}}{2} + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16}\right) + \frac{3}{2} P_{0} V_{0} = 2 P_{0} V_{0} + \frac{\pi P_{0} V_{0}}{16} = P_{0} V_{0} \left(2 + \frac{\pi}{16}\right) = P_{0} V_{0} \left(\frac{32 + \pi}{16}\right)$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{\pi P_{0} V_{0} / 16}{P_{0} V_{0} (32 + \pi) / 16} = \frac{\pi}{32 + \pi}$.

(B) ધ્વનિની તીવ્રતાના સ્તરનો તફાવત $\Delta \beta = 10 \log_{10} (I_0 / I) = 60 \,dB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\log_{10} (I_0 / I) = 6$,જેનો અર્થ છે $I_0 / I = 10^6$,અથવા $I = I_0 \times 10^{-6}$.
ક્ષય સૂત્ર $I = I_0 \exp(-c_1 \alpha)$ અને $c_1 = 1/4$ આપેલ છે,તેથી $I = I_0 \exp(-\alpha / 4)$.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $I_0 \exp(-\alpha / 4) = I_0 \times 10^{-6}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-\alpha / 4 = \ln(10^{-6}) = -6 \ln(10)$.
તેથી,$\alpha = 24 \ln(10) \approx 24 \times 2.303 = 55.272$.
ભૌતિક પરિમાણો પર આધારિત $\alpha$ માટેનો સંબંધ $\alpha = (A_e \cdot v_s \cdot t) / V$ છે.
$A_e$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $A_e = (\alpha \cdot V) / (v_s \cdot t)$.
કિંમતો મૂકતા: $A_e = (55.272 \times 600) / (340 \times 1) = 33163.2 / 340 \approx 97.54 \,m^2$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$A_e \approx 100 \,m^2$.

(D) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થ માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2s(1 + \beta)}{g \sin \theta}}$ છે,જ્યાં $\beta = \frac{I}{MR^2}$. પાતળા ગોલીય કવચ માટે,$I = \frac{2}{3}MR^2$,તેથી $\beta = 2/3$. જોકે,$t$ જાડાઈ ધરાવતા કવચ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3}M \frac{R_o^5 - R_i^5}{R_o^3 - R_i^3}$ થાય. $R_o = 20 \,cm$ અને $t \ll R_o$ હોવાથી,$I \approx \frac{2}{3}MR^2(1 + \frac{t}{R})$. આમ,$\beta \approx \frac{2}{3}(1 + \frac{t}{R})$. સમય $t \propto \sqrt{1 + \beta}$. સમયનો તફાવત $1 \%$ હોવાથી,$\frac{\Delta t}{t} = \frac{1}{2} \frac{\Delta \beta}{1 + \beta} \approx 0.01$. $\beta \approx 2/3$ લેતા,$1 + \beta \approx 5/3$. તેથી $\frac{1}{2} \frac{\Delta \beta}{5/3} = 0.01 \implies \Delta \beta = 0.033$. $\beta = \frac{2}{3}(1 + \frac{t}{R})$ હોવાથી,$\Delta \beta = \frac{2}{3} \frac{\Delta t}{R}$. કિંમતો મૂકતા: $0.033 = \frac{2}{3} \frac{\Delta t}{20} \implies \Delta t = 0.033 \times 30 = 0.99 \,cm$. કુલ જાડાઈ $0.5 + 0.99 = 1.49 \,cm$ થાય,જે $1.5 \,cm$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) અનુનાદ સમયે,સામયિક આવેગ (ચાલવાની) આવૃત્તિ એ પાણીના દોલનની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાવી જોઈએ.
ધારો કે ચાલવાની આવૃત્તિ $f_{w} = \frac{v}{L}$ છે,જ્યાં $L$ એ ડગલાની લાક્ષણિક લંબાઈ છે.
છીછરા પાત્રમાં પાણીના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{gh}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{h}}$,સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $T \propto \sqrt{R}$.
અનુનાદ સમયે,$f_{w} = f_{osc} = \frac{1}{T}$.
તેથી,$\frac{v}{L} \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$.
જો ડગલાની લંબાઈ $L$ અચળ હોય,તો $v \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$.
જોકે,છીછરા પાણીમાં તરંગની ઝડપ માટેના પરિમાણીય વિશ્લેષણને ધ્યાનમાં લેતા,આવૃત્તિ $f \propto \frac{\sqrt{gh}}{R}$ થાય છે.
$\frac{v}{L} \propto \frac{\sqrt{gh}}{R}$ ને સરખાવતા,અને $h$ અચળ હોવાથી,આપણને $v \propto \frac{1}{R}$ મળે છે.

(D) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતા પાત્રને $a$ પ્રવેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાત્રના સંદર્ભ ફ્રેમમાં પ્રવાહીના કણો પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો-પ્રવેગ $-a$ (ડાબી તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે.
આમ,$g_{\text{eff}} = g + (-a)$.
સંતુલન સ્થિતિમાં પ્રવાહીની સપાટી હંમેશા અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
જેহেতু $g_{\text{eff}}$ નીચેની તરફ અને ડાબી તરફ કાર્યરત છે,તેથી પાણીની સપાટી એવી રીતે નમશે કે જેથી તે ડાબી બાજુએ ઊંચી અને જમણી બાજુએ નીચી રહે,જે $g_{\text{eff}}$ સદિશને લંબ એક સીધી રેખા બનાવે છે.
તેથી,સાચો આકાર એક સીધી નમેલી સપાટી છે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) ગોળાનું દળ $m$ એ ગોળાના કદને એકમ કોષના કદ વડે ભાગીને,તેને એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા અને એક પરમાણુના દળ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
$m = \frac{\frac{4}{3} \pi (d/2)^3}{a^3} \times 8 \times \frac{M}{N_A}$
$M$ અને $N_A$ અચળ હોવાથી,સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta m}{m} = 3 \frac{\Delta d}{d} + 3 \frac{\Delta a}{a}$
આપેલ છે કે $\Delta d = 0.2 \,nm = 0.2 \times 10^{-9} \,m$ અને $d = 9.4 \,cm = 9.4 \times 10^{-2} \,m$.
$\frac{\Delta d}{d} = \frac{0.2 \times 10^{-9}}{9.4 \times 10^{-2}} \approx 2.127 \times 10^{-9}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta a}{a} = 2 \times 10^{-9}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta m}{m} = 3(2.127 \times 10^{-9}) + 3(2 \times 10^{-9})$
$\frac{\Delta m}{m} = 6.381 \times 10^{-9} + 6 \times 10^{-9} = 12.381 \times 10^{-9} \approx 1.2 \times 10^{-8}$.

(A) $t = 5 \, s$ સમયે,કણનો વેગ $v_B = u + at = 0 + (1)(5) = 5 \, m/s$ છે અને તેનું સ્થાન $x_B = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(1)(5)^2 = 12.5 \, m$ છે.
ધારો કે વધારાનો પ્રવેગ $a'$ છે. $t > 5 \, s$ માટે કુલ પ્રવેગ $(1 + a')$ થશે.
વધારાના પ્રવેગ સાથેના કિસ્સામાં,$t = 10 \, s$ સમયે (જે ફેરફાર પછીના $5 \, s$ છે):
$v = v_B + (1 + a')(5) = 5 + 5 + 5a' = 10 + 5a'$
$x = x_B + v_B(5) + \frac{1}{2}(1 + a')(5)^2 = 12.5 + 25 + 12.5 + 12.5a' = 50 + 12.5a'$
જો વધારાનો પ્રવેગ આપવામાં ન આવ્યો હોત,તો $a' = 0$:
$v_0 = 5 + (1)(5) = 10 \, m/s$
$x_0 = 12.5 + 25 + 12.5 = 50 \, m$
આપેલ છે કે $x - x_0 = 12.5 \, m$:
$(50 + 12.5a') - 50 = 12.5 \implies 12.5a' = 12.5 \implies a' = 1 \, m/s^2$.
તેથી,$v - v_0 = (10 + 5a') - 10 = 5a' = 5(1) = 5 \, m/s$.

(C) આ પ્રક્રિયા ત્રણ તબક્કામાં થાય છે:
$1$. બરફને $-8^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 1 \,kg \times 2.1 \,kJ/kg \cdot K \times 8 \,K = 16.8 \,kJ$.
$2$. $0^{\circ} C$ તાપમાને બરફનું $0^{\circ} C$ તાપમાને પાણીમાં રૂપાંતર: $Q_2 = m \cdot L_f = 1 \,kg \times 333 \,kJ/kg = 333 \,kJ$.
$3$. પાણીને $0^{\circ} C$ થી $20^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_3 = m \cdot c_{water} \cdot \Delta T = 1 \,kg \times 4.2 \,kJ/kg \cdot K \times 20 \,K = 84 \,kJ$.
કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 16.8 + 333 + 84 = 433.8 \,kJ$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $434 \,kJ$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\vec{V}_p$ એ હવાના સાપેક્ષમાં વિમાનનો વેગ છે અને $\vec{V}_w$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં પવનનો વેગ છે.
આપેલ છે: $|\vec{V}_p| = 100 \, m/s$,ઉત્તરથી પૂર્વ તરફ $37^{\circ}$ ના ખૂણે,અને $\vec{V}_w = 20 \, m/s$ પૂર્વ તરફ.
જમીનની સાપેક્ષે વિમાનનો વેગ $\vec{V}_g = \vec{V}_p + \vec{V}_w$ છે.
વેક્ટર ઘટકોમાં:
$\vec{V}_p = 100 \sin 37^{\circ} \hat{i} + 100 \cos 37^{\circ} \hat{j} = 100(0.6) \hat{i} + 100(0.8) \hat{j} = 60 \hat{i} + 80 \hat{j} \, m/s$.
$\vec{V}_w = 20 \hat{i} \, m/s$.
$\vec{V}_g = (60 + 20) \hat{i} + 80 \hat{j} = 80 \hat{i} + 80 \hat{j} \, m/s$.
જમીનની સાપેક્ષે ઝડપ $|\vec{V}_g| = \sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt{2} \approx 80 \times 1.414 = 113.12 \, m/s$.
આમ,ઝડપ $113 \, m/s$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) સ્થિર પ્રવાહીમાં $h$ ઊંડાઈએ દબાણનું સૂત્ર $P = P_0 + \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_0$ એ સપાટી પરનું દબાણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
સતત સ્થિર પ્રવાહીમાં,સમાન આડા સ્તરે આવેલા તમામ બિંદુઓ પર દબાણ સમાન હોય છે.
આકૃતિ જોતા,બિંદુઓ $B$,$C$ અને $D$ સતત પારાના સ્તંભમાં સમાન આડા સ્તરે આવેલા છે. તેથી,આ બિંદુઓ પરનું દબાણ સમાન છે: $P_B = P_C = P_D$.
બિંદુ $A$ એ બિંદુઓ $B$,$C$ અને $D$ કરતા ઊંચા સ્થાને આવેલું છે. પ્રવાહીના સ્તંભમાં ઊંચાઈ સાથે દબાણ ઘટતું હોવાથી,$A$ પરનું દબાણ $B$,$C$ અને $D$ ના સ્તર કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
આમ,સાચો સંબંધ $P_B = P_C = P_D > P_A$ છે.

(B) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની પ્રારંભિક સ્થિતિ $h_i = 1.0 \,m$ છે.
જ્યારે તે તેના ઘૂંટણ વાળે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $0.2 \,m$ નીચે જાય છે,તેથી નવી સ્થિતિ $h_{new} = 1.0 - 0.2 = 0.8 \,m$ થાય છે.
તે જમીન પર $d = 0.2 \,m$ અંતર સુધી $F$ જેટલું અચળ બળ લગાડે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પગ જમીનથી $0.3 \,m$ ઉપર હોય છે. જ્યારે તે સીધી ઊભી હોય ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પગથી $1.0 \,m$ ઉપર હોય છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની અંતિમ ઊંચાઈ $h_f = 0.3 + 1.0 = 1.3 \,m$ થાય છે.
બળ લગાવવાનું શરૂ કરે તે સ્થાનથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
બળ $F$ દ્વારા થયેલ કાર્ય + ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય = ગતિઊર્જામાં ફેરફાર.
$F \times 0.2 - Mg(h_f - h_{new}) = 0 - 0$.
$F \times 0.2 - Mg(1.3 - 0.8) = 0$.
$F \times 0.2 = Mg \times 0.5$.
$\frac{F}{Mg} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5$.

(D) ધારો કે નળીની અંદરનું પ્રારંભિક દબાણ $P_0 = 10^5 \,N/m^2$ છે અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = A \times 20 \,cm$ છે,જ્યાં $A$ એ નળીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે નળીને એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે $10 \,cm$ ભાગ પાણીની બહાર રહે,ત્યારે નળીની અંદરનો હવાના સ્તંભ દબાય છે. ધારો કે હવાના સ્તંભની નવી લંબાઈ $L = (20 - h) \,cm$ છે. નવું કદ $V_2 = A \times (20 - h) \,cm$ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$10^5 \times 20 = P \times (20 - h) \quad \dots(1)$
પાણીની સપાટી પર નળીની અંદરનું દબાણ $P$ એ વાતાવરણીય દબાણ અને નળીની અંદરના હવા-પાણીના સંપર્કની સાપેક્ષમાં બહારના પાણીના સ્તંભને કારણે લાગતા દબાણનો સરવાળો છે. બહારની પાણીની સપાટીની નીચે સંપર્કની ઊંડાઈ $(10 - h) \,cm = \frac{10 - h}{100} \,m$ છે.
$P = P_0 + \rho g \Delta y = 10^5 + 10^3 \times 10 \times \frac{10 - h}{100} = 10^5 + 100(10 - h) = 10^5 + 1000 - 100h \quad \dots(2)$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$20 \times 10^5 = (10^5 + 1000 - 100h)(20 - h)$
$20 \times 10^5 = 20 \times 10^5 - 10^5 h + 20000 - 1000h - 2000h + 100h^2$
$0 = 100h^2 - 103000h + 20000$
$100$ વડે ભાગતા:
$h^2 - 1030h + 200 = 0$
$h$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$h^2 \approx 0$,તેથી $1030h \approx 200 \implies h \approx \frac{200}{1030} \approx 0.194 \,cm$.
આ $0.2 \,cm$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. $O$ પરનો કણ $OP$ ત્રિજ્યાની દિશામાં $\vec{V}_1$ વેગ સાથે $P$ તરફ ગતિ કરે છે. કાપેલું અંતર $R$ છે,તેથી $t = \frac{R}{V_1}$.
$Q$ પરનો કણ $\vec{V}_2$ વેગ સાથે $P$ તરફ ગતિ કરે છે. $QP$ અંતર ત્રિકોણ $OQP$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. $OQ = OP = R$ અને $\angle QOP = \phi$ હોવાથી,ત્રિકોણ $OQP$ સમદ્વિબાજુ છે. લંબાઈ $QP = 2R \sin(\frac{\phi}{2})$.
બંને એક જ સમયે $t$ પર $P$ પર પહોંચતા હોવાથી,$t = \frac{QP}{V_2} = \frac{2R \sin(\frac{\phi}{2})}{V_2}$.
સમયને સરખાવતા: $\frac{R}{V_1} = \frac{2R \sin(\frac{\phi}{2})}{V_2} \implies \frac{V_2}{V_1} = 2 \sin(\frac{\phi}{2})$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\vec{V}_1$ અને $\vec{V}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. વેગ $\vec{V}_2$ એ જીવા $QP$ સાથે ખૂણો બનાવે છે. વેગ સદિશો દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણને જણાય છે કે $QP$ અને $OP$ ની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi - \phi}{2} = 90^{\circ} - \frac{\phi}{2}$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,$\vec{V}_1$ અને $\vec{V}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મો સાથે સંબંધિત છે જેથી $\theta = 90^{\circ} - \frac{\phi}{2}$.
આમ,$\frac{\phi}{2} = 90^{\circ} - \theta$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(\frac{\phi}{2}) = \tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$.

(B) $r$ અંતરે લાંબા સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{wire}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I = 5.0 \, A$ અને $r = 10.0 \, cm = 0.1 \, m$ આપેલ છે.
$B_{\text{wire}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5.0}{2 \pi \times 0.1} = 1.0 \times 10^{-5} \, T$.
હોકાયંત્રની સોય પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત થાય છે. વિચલન પૂર્વથી ઉત્તર તરફ $60^{\circ}$ છે. સદિશ સરવાળાની ભૂમિતિ પરથી,$\tan 60^{\circ} = \frac{B_{\text{wire}}}{B_H}$,જ્યાં $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
તેથી,$B_H = \frac{B_{\text{wire}}}{\tan 60^{\circ}} = \frac{1.0 \times 10^{-5}}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \times 10^{-5} \, T \approx 0.6 \times 10^{-5} \, T$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(B) ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ માટે, વસ્તુનું અંતર $u_o = -4 \,m$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f_o = 2 \,m$ છે। લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_o} - \frac{1}{-4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{v_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $v_o = 4 \,m$. આ પ્રતિબિંબ આઈપીસ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $L$ છે. આઈપીસ માટે વસ્તુનું અંતર $u_e = -(4 - L)$ થશે.
આઈપીસ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e}$.
$\frac{1}{v_e} - \frac{1}{-(4 - L)} = \frac{1}{0.2} \Rightarrow \frac{1}{v_e} = 5 - \frac{1}{4 - L}$.
સામાન્ય રીતે $L$ નું મૂલ્ય $f_o + f_e = 2.2 \,m$ ની આસપાસ હોય છે, તેથી $4 - L$ ધન છે અને $4$ કરતા ઓછું છે. આમ, $\frac{1}{4 - L} > 0.25$.
તેથી, $\frac{1}{v_e} = 5 - (0.25$ કરતા મોટી કિંમત$)$, જે ધન છે.
$v_e$ ધન હોવાથી, અંતિમ પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે.

(D) અર્થિંગ કરેલા વાહક ગોળાની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન હંમેશા શૂન્ય $(V = 0)$ હોય છે.
બાહ્ય વિદ્યુતભાર વિતરણને કારણે અર્થિંગ કરેલા ગોળા પરનો કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q_{\text{induced}}$ ઈમેજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અથવા ગોળાના કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનને ધ્યાનમાં લઈને શોધી શકાય છે.
ગોળાના કેન્દ્રથી $D$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા ડાયપોલ માટે,ડાયપોલને કારણે ગોળાના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ એ ડાયપોલના કેન્દ્ર અને ગોળાના કેન્દ્રને જોડતી રેખા (સ્થાન સદિશ $\vec{r}$) ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $\vec{p} \cdot \vec{r} = 0$ થાય છે.
તેથી,ડાયપોલને કારણે ગોળાના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય છે. ગોળો અર્થિંગ કરેલો હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનને શૂન્ય જાળવી રાખવા માટે ગોળા પરનો કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.

(A) પહોળાઈની સ્લિટ માટે કેન્દ્રીય વિવર્તન મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સ્લિટ લંબચોરસ છે જેની પહોળાઈ $w$ અને ઊંચાઈ $h$ છે,જ્યાં $w = 2h$ છે.
વિવર્તન ભાત એ આડી અને ઊભી દિશામાં વિવર્તન અસરોનું સુપરપોઝિશન છે.
આડી દિશામાં કોણીય પહોળાઈ $\theta_w = \frac{2\lambda}{w}$ છે અને ઊભી દિશામાં $\theta_h = \frac{2\lambda}{h}$ છે.
$w = 2h$ હોવાથી,આપણને $\theta_w = \frac{2\lambda}{2h} = \frac{\lambda}{h}$ મળે છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\theta_h = \frac{2\lambda}{h}$ અને $\theta_w = \frac{\lambda}{h}$,તે સ્પષ્ટ છે કે $\theta_h > \theta_w$ છે.
તેથી,કેન્દ્રીય વિવર્તન મહત્તમ આડી દિશા કરતા ઊભી દિશામાં વધુ પહોળું છે.

(D) ધારો કે $N_1$ અને $N_2$ એ ${}^{235}U$ અને ${}^{238}U$ ના હાલના જથ્થા છે,અને $N_{01}$ અને $N_{02}$ તેમના પ્રારંભિક જથ્થા છે.
આપેલ છે: $\frac{N_1}{N_2} = \frac{0.72}{99.28}$ અને $\frac{N_{01}}{N_{02}} = 2.0$.
ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ છે,જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
તેથી,$\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_{01} e^{-\lambda_1 t}}{N_{02} e^{-\lambda_2 t}} = \frac{N_{01}}{N_{02}} e^{-(\lambda_1 - \lambda_2)t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.72}{99.28} = 2.0 \times e^{-(\lambda_1 - \lambda_2)t}$.
$e^{(\lambda_1 - \lambda_2)t} = 2.0 \times \frac{99.28}{0.72} \approx 275.78$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $(\lambda_1 - \lambda_2)t = \ln(275.78) \approx 5.62$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\frac{\ln 2}{7.1 \times 10^8} - \frac{\ln 2}{4.5 \times 10^9})t = 5.62$.
$(\ln 2) \times (1.408 \times 10^{-9} - 0.222 \times 10^{-9})t = 5.62$.
$0.693 \times (1.186 \times 10^{-9})t = 5.62$.
$t = \frac{5.62}{8.219 \times 10^{-10}} \approx 6.84 \times 10^9 \approx 7 \times 10^9$ વર્ષ.

(C) કિસ્સો-$1$: કી $K$ બંધ કર્યાના લાંબા સમય પછી,ઇન્ડક્ટર $L$ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટ એક બ્રિજ નેટવર્ક બને છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R \cdot 4R}{R + 4R} + \frac{3R \cdot 2R}{3R + 2R} = 2R$ થાય છે.
કુલ પ્રવાહ $I = \frac{E}{2R}$. એમીટર શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{ammeter} = I \cdot \frac{4R}{5R} = \frac{4}{5} I = 20 \,mA$,તેથી $I = 25 \,mA$. $EMF$ $E = 50R \,mA$ મળે છે.
કિસ્સો-$2$: કી $K$ બંધ કર્યાના તરત જ પછી,ઇન્ડક્ટર $L$ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ $(R + 3R)$ અને $(4R + 2R)$ બને છે.
એમીટર શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I'_{ammeter} = \frac{E}{R+3R} = \frac{50R}{4R} = 12.5 \,mA$. જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $25 \,mA$ છે.

(B) તત્વોની કુલ સંખ્યા $Z_{\max} = 5$ છે.
જો ઇલેક્ટ્રોન સ્પિન ધરાવતા ન હોય,તો કોઈ સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર હોતો નથી.
આપેલ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n$ માટે,કક્ષકોની સંખ્યા $n^2$ છે.
જો $n_{\max} = 2$ હોય,તો ઉપલબ્ધ કક્ષકો છે:
$n=1$: $1s$ ($1$ કક્ષક)
$n=2$: $2s$ ($1$ કક્ષક) અને $2p$ ($3$ કક્ષકો)
કુલ કક્ષકો = $1 + 1 + 3 = 5$.
પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંતનું પાલન થતું હોવાથી,દરેક કક્ષકમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન રહી શકે છે (કારણ કે અવસ્થાઓને અલગ પાડવા માટે કોઈ સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર નથી).
આમ,$5$ કક્ષકો સાથે,આપણે $5$ ઇલેક્ટ્રોનને સમાવી શકીએ છીએ,જે $Z_{\max} = 5$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$n_{\max} = 2$ અને ઇલેક્ટ્રોન સ્પિનવિહીન છે.

(A) વ્યક્તિ દ્વારા ખેંચાયેલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ $I = V/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ શરીર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $R$ એ શરીરનો અવરોધ છે.
વિકલ્પ $(B)$ માં,વ્યક્તિ લાકડાના પાટિયા (અવાહક) પર ઊભી છે,તેથી તે જમીનથી અલગ છે. જ્યારે તે વેન ડી ગ્રાફ જનરેટરને સ્પર્શ કરે છે,ત્યારે તેનું આખું શરીર $12000 \,V$ ના સ્થિતિમાન પર આવી જાય છે. શરીર પર કોઈ સ્થિતિમાનનો તફાવત ન હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 0$ થાય છે.
વિકલ્પ $(A)$ માં,વ્યક્તિ લાઈવ $(220 \,V)$ અને ન્યુટ્રલ $(0 \,V)$ ટર્મિનલ્સને સ્પર્શ કરે છે. સ્થિતિમાનનો તફાવત $220 \,V$ છે,જે શરીરમાંથી નોંધપાત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરે છે.
વિકલ્પ $(C)$ માં,સ્થિતિમાનનો તફાવત $12 \,V$ છે.
વિકલ્પ $(D)$ માં,કુલ સ્થિતિમાનનો તફાવત $10 \times 1.5 \,V = 15 \,V$ છે.
સ્થિતિમાનના તફાવતોની સરખામણી કરતા,$220 \,V$ નો સ્ત્રોત સૌથી વધુ સ્થિતિમાનનો તફાવત પૂરો પાડે છે,જેના પરિણામે મહત્તમ વિદ્યુતપ્રવાહ મળે છે.

(B) આપેલ અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{m_e v}{n e^2 L^2}$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇના સંબંધ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e v}$.
અહીં $\lambda = L$ આપેલ હોવાથી,$L = \frac{h}{m_e v}$,જેનો અર્થ છે કે $m_e v = \frac{h}{L}$.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{(h/L)}{n e^2 L^2} = \frac{h}{n e^2 L^3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n = \frac{N}{V} = \frac{N}{L^3}$ (જ્યાં $N$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે),તેથી $R = \frac{h}{N e^2}$.
મહત્તમ અવરોધ માટે,ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N$ ન્યૂનતમ હોવી જોઈએ. ધાતુના નમૂનામાં ઇલેક્ટ્રોનની ન્યૂનતમ સંખ્યા $N = 1$ છે.
તેથી,$R_{max} = \frac{h}{e^2} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(1.60 \times 10^{-19})^2}$.
$R_{max} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.56 \times 10^{-38}} \approx 2.59 \times 10^4 \, \Omega$.
આ મૂલ્ય $10^4 \, \Omega$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) $L$ લંબાઈ અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા નળાકારની અક્ષથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ છે,જ્યાં $\lambda = Q/L$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
સ્થિતિમાન $V(r) = -\int E \, dr = -\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln(r) + C$ થાય.
આ ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા $U(r) = -eV(r) = 2k \lambda e \ln(r)$ છે.
અહીં $Q = 10e = 1.6 \times 10^{-18} \,C$ અને $L = 10^{-6} \,m$ હોવાથી,$\lambda = 1.6 \times 10^{-12} \,C/m$ મળે.
આ લોગરીધમિક પોટેન્શિયલમાં ઉર્જા સ્તરો બોહર મોડેલ જેવા જ હોય છે,જ્યાં સંક્રમણ ઉર્જા $\Delta E = 2k \lambda e \ln(2)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 2 \times (9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-12}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 0.693 \approx 3.19 \times 10^{-21} \,J$.
આવૃત્તિ $f = \frac{\Delta E}{h} = \frac{3.19 \times 10^{-21}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 4.8 \times 10^{12} \,Hz$.
આ આવૃત્તિ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સ્પેક્ટ્રમના ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારને અનુરૂપ છે.

(C) ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ માં વિદ્યુતભારીત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ છે. કણ બાજુ $AB$ ને લંબ રૂપે પ્રવેશે છે અને $30^{\circ}$ ના વિચલન કોણ $\theta$ સાથે બાજુ $BC$ માંથી બહાર નીકળે છે.
પથની ભૂમિતિ પરથી,બાજુ $BC$ થી પ્રવેશ બિંદુ સુધીનું અંતર $x$ એ $R - x = R \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$x = R(1 - \cos 30^{\circ}) = R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$.
જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલાઈને $B'$ થાય છે,ત્યારે પથની ત્રિજ્યા $R' = \frac{mv}{qB'}$ બને છે. વિચલન કોણ $\theta' = 60^{\circ}$ થાય છે.
પ્રદેશની ભૂમિતિ નિશ્ચિત હોવાથી બહાર નીકળવાનું બિંદુ $x$ સમાન રહે છે. તેથી,$R' - x = R' \cos 60^{\circ}$.
$x = R'(1 - \cos 60^{\circ}) = R'(1 - \frac{1}{2}) = \frac{R'}{2}$.
$x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{R'}{2} \Rightarrow R' = 2R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = R(2 - \sqrt{3})$.
કારણ કે $R = \frac{mv}{qB_0}$ અને $R' = \frac{mv}{qB'}$,તેથી $\frac{1}{B'} = \frac{2 - \sqrt{3}}{B_0}$.
$B' = \frac{B_0}{2 - \sqrt{3}} = B_0(2 + \sqrt{3})$.

(D) ધારો કે બે કિસ્સાઓમાં લેન્સથી મીણબત્તીનું અંતર $u_1$ અને $u_2$ છે. લેન્સથી દીવાલનું અંતર $v_1 = 10 \,cm$ અને $v_2 = 30 \,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $1$: $\frac{1}{10} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{10} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f}$
કિસ્સો $2$: $\frac{1}{30} - \frac{1}{-u_2} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{30} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f}$
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{10} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{30} + \frac{1}{u_2} \implies \frac{1}{u_1} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{10} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$.
વળી,મીણબત્તી અને દીવાલ વચ્ચેનું અંતર $D = u_1 + 10 = u_2 + 30$ છે,તેથી $u_2 = u_1 - 20$.
$u_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{u_1} - \frac{1}{u_1 - 20} = -\frac{1}{15} \implies \frac{u_1 - 20 - u_1}{u_1(u_1 - 20)} = -\frac{1}{15} \implies \frac{-20}{u_1^2 - 20u_1} = -\frac{1}{15} \implies u_1^2 - 20u_1 - 300 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(u_1 - 30)(u_1 + 10) = 0$. $u_1 > 0$ હોવાથી,$u_1 = 30 \,cm$.
તેથી $f = \frac{1}{\frac{1}{10} + \frac{1}{30}} = \frac{30}{4} = 7.5 \,cm$.
એકમ મોટવણી $(m = -1)$ માટે,વસ્તુ અંતર $2f$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $2f$ હોવું જોઈએ. આમ,$u = 15 \,cm$ અને $v = 15 \,cm$. મીણબત્તી અને દીવાલ વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = u + v = 30 \,cm$ છે.
શરૂઆતમાં,મીણબત્તી લેન્સથી $u_1 = 30 \,cm$ પર હતી,અને લેન્સ દીવાલથી $10 \,cm$ દૂર હતો,તેથી મીણબત્તી દીવાલથી $40 \,cm$ દૂર હતી.
અંતર $30 \,cm$ કરવા માટે,મીણબત્તીને $10 \,cm$ દીવાલ તરફ ખસેડવી પડે.

(B) ઓહ્મના નિયમ મુજબ પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = \frac{V}{I} = \frac{100 \,V}{2.5 \,A} = 40 \,\Omega$ છે.
દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R = 100 \,\Omega$ છે.
$n_1$ અવરોધો સમાંતર હોવાથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{R}{n_1} = \frac{100}{n_1}$ થાય.
$n_2$ અવરોધો સમાંતર હોવાથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = \frac{R}{n_2} = \frac{100}{n_2}$ થાય.
આ બે જૂથો શ્રેણીમાં હોવાથી,$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{100}{n_1} + \frac{100}{n_2} = 40$.
$20$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{5}{n_1} + \frac{5}{n_2} = 2$ મળે.
આપેલ છે કે $n_1 + n_2 = 10$,તેથી વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $B$ માટે,$n_1 = 5$ અને $n_2 = 5$: $\frac{5}{5} + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,સાચા મૂલ્યો $n_1 = 5$ અને $n_2 = 5$ છે.

(C) રિએક્ટરનો પાવર આઉટપુટ $P = 1 \, GW = 10^9 \, J/s$ છે.
અડધા કલાકમાં $(t = 1800 \, s)$ જરૂરી ઉપયોગી ઉર્જા $E_{useful} = P \times t = 10^9 \times 1800 = 1.8 \times 10^{12} \, J$ છે.
કુલ વિખંડન ઉર્જાના માત્ર $4.2 \%$ ભાગનું જ ઉપયોગી ઉર્જામાં રૂપાંતર થતું હોવાથી,વિખંડનમાંથી જરૂરી કુલ ઉર્જા $E_{total} = \frac{E_{useful}}{0.042} = \frac{1.8 \times 10^{12}}{0.042} \approx 4.286 \times 10^{13} \, J$ છે.
જરૂરી $U^{235}$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = \frac{E_{total}}{3 \times 10^{-11} \, J/nucleus} = \frac{4.286 \times 10^{13}}{3 \times 10^{-11}} \approx 1.428 \times 10^{24} \, nuclei$ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{N}{N_A} = \frac{1.428 \times 10^{24}}{6.023 \times 10^{23}} \approx 2.37 \, moles$ છે.
વપરાયેલ $U^{235}$ નું દળ $m = n \times M = 2.37 \times 235 \approx 557 \, g$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $500 \, g$ છે.

(A) જ્યારે સમતલ અરીસાને તેના સમતલમાં રહેલી ધરી પર $\delta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે અરીસાનો લંબ પણ તેટલા જ $\delta$ ખૂણે ફરે છે.
ધારો કે આપાતકોણ $i$ છે. પરાવર્તન કોણ પણ $i$ છે.
જ્યારે અરીસો $\delta$ ખૂણે ફરે છે,ત્યારે નવો આપાતકોણ $i \pm \delta$ બને છે (ભ્રમણની દિશા પર આધાર રાખે છે).
નવો પરાવર્તન કોણ પણ $i \pm \delta$ થશે.
પરાવર્તિત કિરણની દિશામાં થતો ફેરફાર એ નવા પરાવર્તન કોણ અને મૂળ પરાવર્તન કોણ વચ્ચેનો તફાવત છે.
ગાણિતિક રીતે,પ્રકાશશાસ્ત્રમાં આ એક પ્રમાણિત પરિણામ છે કે જો સમતલ અરીસાને $\delta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,તો પરાવર્તિત કિરણ તે જ દિશામાં $2 \delta$ ખૂણે ફરે છે.

(A) ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ એ $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે,જે ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં (જમણેથી ડાબે) છે.
તેથી,વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના બિંદુ $M$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{\text{net}}$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશને સમાંતર દિશામાં,એટલે કે $+q$ થી $-q$ તરફ,જે ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
આમ,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_{\text{net}}$ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,તે $x$-અક્ષ સાથે બનાવતો ખૂણો $\phi = 0^{\circ}$ થાય.

(D) બેટરીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = V \times I \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 3 \,V$ અને $I \times t = 225 \,mAh = 225 \times 10^{-3} \,A \times 3600 \,s = 810 \,C$ છે.
તેથી,$E = 3 \,V \times 810 \,C = 2430 \,J$.
ક્રિકેટ બોલ માટે,ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $2430 = \frac{1}{2} \times 0.163 \,kg \times v^2$.
$v^2 = \frac{2430 \times 2}{0.163} \approx 29816$.
$v = \sqrt{29816} \approx 172.67 \,m/s$.
આ કિંમત $170 \,m/s$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કોશીના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $\mu = a + \frac{b}{\lambda^2}$ તરીકે સંબંધિત છે.
સફેદ પ્રકાશ માટે,તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_V < \lambda_R$ છે,જ્યાં $V$ એટલે જાંબલી અને $R$ એટલે લાલ.
ચૂક $\mu$ એ $\lambda^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણને $\mu_V > \mu_R$ મળે છે.
આને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,કારણ કે $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,આપણને $f_V < f_R$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જાંબલી પ્રકાશની કેન્દ્રલંબાઈ લાલ પ્રકાશની કેન્દ્રલંબાઈ કરતા ઓછી છે.
તેથી,જાંબલી પ્રકાશ લાલ પ્રકાશ કરતા લેન્સની નજીક કેન્દ્રિત થાય છે,જે આપેલ છબીઓના વિકલ્પ $(B)$ માં દર્શાવેલ વર્તણૂકને અનુરૂપ છે.

(C) શરૂઆતમાં,સમાન ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{s}{3.8} = \frac{s + 30}{7.6}$
$7.6s = 3.8s + 114$
$3.8s = 114 \Rightarrow s = 30 \,cm$.
અંતે,જ્યારે ટાંકી પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે:
સ્ત્રોતમાંથી આવતું પ્રકાશનું કિરણ ડાબી દીવાલ પર લંબ સાથે $i$ ખૂણો બનાવે છે. ડાબી દીવાલ પર મધ્ય અક્ષથી કિરણની ઊંચાઈ $1.9 \,cm$ ($3.8 \,cm$ ના અડધા) છે.
$\tan i = \frac{1.9}{s} = \frac{1.9}{30}$.
વક્રીભવન પછી,કિરણ લંબ સાથે $r$ ખૂણો બનાવે છે. પડછાયાની પહોળાઈ $6.4 \,cm$ છે,તેથી જમણી દીવાલ પર મધ્ય અક્ષથી કિરણનું અંતર $3.2 \,cm$ છે. ડાબી દીવાલ પર કિરણની ઊંચાઈ $1.9 \,cm$ છે. પ્રવાહીની અંદર કિરણનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $3.2 - 1.9 = 1.3 \,cm$ છે.
$\tan r = \frac{1.3}{30}$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$1 \cdot \sin i = n \cdot \sin r$. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta$:
$1 \cdot \tan i = n \cdot \tan r$
$\frac{1.9}{30} = n \cdot \frac{1.3}{30}$
$n = \frac{1.9}{1.3} \approx 1.46$.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $1.45$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) $1$. બિંદુ $P$ માંથી આવતો પ્રકાશ પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે. પ્રિઝમની અંદરથી જોતા $P$ ની આભાસી ઊંડાઈ $h' = \mu h = 2h$ છે. લંબવત પથ પર સિલ્વર કરેલી સપાટીથી વસ્તુનું કુલ અંતર $d_1 = 2h + x$ છે,જ્યાં $x$ એ ઉપરની સપાટીથી કર્ણ પરના બિંદુ સુધીનું અંતર છે.
$2$. સિલ્વર કરેલી કર્ણ સપાટી સમતલ અરીસા તરીકે વર્તે છે. પ્રતિબિંબ $I$ અરીસાની પાછળ $d_1 = 2h + x$ અંતરે રચાય છે.
$3$. આ પ્રતિબિંબ $I$ પ્રિઝમની ઊભી સપાટી પર વક્રીભવન માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. ઊભી સપાટીથી $I$ નું અંતર $d_1 + y = 2h + x + y$ છે,જ્યાં $y$ એ કર્ણ પરના બિંદુથી ઊભી સપાટી સુધીનું અંતર છે. $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ પ્રિઝમની ભૂમિતિ મુજબ,$x + y = 10 \,cm$.
$4$. પ્રિઝમની બહારથી જોતા પ્રતિબિંબ $I$ નું આભાસી અંતર $d_{out} = \frac{d_1 + y}{\mu} = \frac{2h + 10}{2} = h + 5$ છે.
$5$. આ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ લેન્સથી $u = -(h + 5 + 15) = -(h + 20) \,cm$ અંતરે છે. લેન્સ દીવાલ પર $v = +15 \,cm$ પર પ્રતિબિંબ રચે છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{15} - \frac{1}{-(h + 20)} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{h + 20} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$
$h + 20 = 30 \implies h = 10 \,cm$.

(B) આ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે વિશ્લેષિત કરી શકાય છે. જ્યારે $R$ બદલાય ત્યારે અવરોધ $R'$ માંથી વહેતો પ્રવાહ અપરિવર્તિત રહે તે માટે,બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
આપેલ પરિપથમાં,બ્રિજની ભુજાઓ $1 \, k\Omega$,$10 \, k\Omega$,$R'$ અને $1 \, k\Omega$ અવરોધો દ્વારા બનેલી છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,સામસામેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{1 \, k\Omega}{10 \, k\Omega} = \frac{R'}{1 \, k\Omega}$
$R'$ માટે ઉકેલતા:
$R' = \frac{1 \, k\Omega \times 1 \, k\Omega}{10 \, k\Omega} = 0.1 \, k\Omega = 100 \, \Omega$
આમ,અવરોધ $R'$ નું મૂલ્ય $100 \, \Omega$ છે.