मान लीजिए A उन सभी वास्तविक संख्याओं x का समु | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $x^3 - [x]^3 = (x - [x])^3$. मान लीजिए ${x} = x - [x]$. तब समीकरण $x^3 - [x]^3 = {x}^3$ हो जाता है। हम जानते हैं कि $x^3 - [x]^3

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$A$ में एक अंतराल शामिल है,लेकिन यह एक अंतराल नहीं है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $x^3 - [x]^3 = (x - [x])^3$. मान लीजिए ${x} = x - [x]$. तब समीकरण $x^3 - [x]^3 = {x}^3$ हो जाता है। हम जानते हैं कि $x^3 - [x]^3 = (x - [x])(x^2 + x[x] + [x]^2)$. अतः,$(x - [x])(x^2 + x[x] + [x]^2) = (x - [x])^3$. इसका अर्थ है $(x - [x])[(x^2 + x[x] + [x]^2) - (x - [x])^2] = 0$. $(x - [x])[x^2 + x[x] + [x]^2 - (x^2 - 2x[x] + [x]^2)] = 0$. $(x - [x])[3x[x]] = 0$. इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: स्थिति $1$: $x - [x] = 0 \implies x \in \mathbb{Z}$. स्थिति $2$: $3x[x] = 0 \implies x = 0$ या $[x] = 0$. यदि $[x] = 0$ है,तो $0 \le x इन दोनों को मिलाने पर,$A = \mathbb{Z} \cup [0, 1)$. चूंकि $A$ में अंतराल $[0, 1)$ शामिल है लेकिन इसमें $\dots, -2, -1, 2, 3, \dots$ जैसे अलग-अलग बिंदु भी हैं,इसलिए यह एक अंतराल नहीं है। अतः,$A$ में एक अंतराल शामिल है,लेकिन यह एक अंतराल नहीं है।

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