KVPY 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ ભૌતિક રાશિઓ માટેના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$T = [T^1]$
$P = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$
$D = [M^1 L^{-3} T^0]$
$S = [M^1 L^0 T^{-2}]$
સમીકરણ $T = P^a D^b S^c$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$[M^0 L^0 T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^a [M^1 L^{-3}]^b [M^1 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = M^{a+b+c} L^{-a-3b} T^{-2a-2c}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$a + b + c = 0$ $(1)$
$-a - 3b = 0 \implies a = -3b$ $(2)$
$-2a - 2c = 1 \implies a + c = -1/2$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $a = -3b$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$-3b + b + c = 0 \implies c = 2b$
હવે $a = -3b$ અને $c = 2b$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$-3b + 2b = -1/2 \implies -b = -1/2 \implies b = 1/2$
તેથી $a = -3(1/2) = -3/2$ અને $c = 2(1/2) = 1$.
આમ,$a = -3/2, b = 1/2, c = 1$ મળે છે.

(A) સાપેક્ષ ત્રુટિ એ નિરપેક્ષ ત્રુટિ (લઘુત્તમ માપશક્તિ) અને માપેલ મૂલ્યનો ગુણોત્તર છે.
વિદ્યાર્થી $A$ માટે:
માપેલ લંબાઈ $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$.
લઘુત્તમ માપશક્તિ $\Delta L_A = 0.5 \,cm$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $RE_A = \frac{\Delta L_A}{L} = \frac{0.5}{950} \approx 0.000526$.
વિદ્યાર્થી $B$ માટે:
માપેલ લંબાઈ $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$. મીટર સ્કેલ $(100 \,cm)$ નો ઉપયોગ થતો હોવાથી,માપન $9.5$ વખત (અંદાજે $10$ રીડિંગ) પુનરાવર્તિત થાય છે.
કુલ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta L_B = 10 \times 0.1 \,cm = 1.0 \,cm$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $RE_B = \frac{1.0}{950} \approx 0.00105$.
વિદ્યાર્થી $C$ માટે:
માપેલ લંબાઈ $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$. ફૂટ સ્કેલ આશરે $30.48 \,cm$ ની હોય છે. રીડિંગની સંખ્યા $n = \frac{950}{30.48} \approx 31.17 \approx 32$ રીડિંગ.
કુલ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta L_C = 32 \times 0.05 \,cm = 1.6 \,cm$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $RE_C = \frac{1.6}{950} \approx 0.00168$.
સાપેક્ષ ત્રુટિઓની સરખામણી કરતા,$RE_A < RE_B < RE_C$. તેથી,વિદ્યાર્થી $A$ સૌથી ઓછી સાપેક્ષ ત્રુટિ દર્શાવે છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
જ્યારે મીના બ્રેક લગાવે છે,ત્યારે બ્રેક પેડ્સ વ્હીલની રીમ પર દબાણ લાવે છે,જે વ્હીલને ફરતું અટકાવે છે. જો કે,જડત્વને કારણે સાયકલ આગળ વધવાનું ચાલુ રાખે છે. આના કારણે ટાયર રસ્તાની સપાટી પર ઘસાય છે. રસ્તો સાયકલની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ટાયર પર ઘર્ષણ બળ લગાડે છે. આ બાહ્ય ઘર્ષણ બળ સાયકલને ધીમી પાડવા માટે જવાબદાર છે.

(B) પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સ્થિતિઊર્જા $U = \int kx^3 dx = \frac{1}{4} kx^4$ છે.
$m$ દળ ધરાવતા કણ માટે જે $A$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે,કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{4} kA^4$ છે.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર વેગ $v$ માટે: $\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} kx^4 = \frac{1}{4} kA^4$.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}$.
આવર્તકાળ $T$ એ $x=0$ થી $x=A$ સુધી જવા માટે લાગતા સમયના $4$ ગણો છે:
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}} = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
ધારો કે $x = Ay$,તો $dx = A dy$. જ્યારે $x=0, y=0$; જ્યારે $x=A, y=1$.
$T = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{A dy}{\sqrt{A^4 - A^4 y^4}} = \frac{4}{A} \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 - y^4}}$.
આમ,$T \propto \frac{1}{A}$.
જો કંપવિસ્તાર $A$ થી બદલાઈને $2A$ થાય,તો નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $\frac{T'}{T} = \frac{A}{2A} = \frac{1}{2}$ મુજબ મળે.
તેથી,$T' = T/2$.

(B) ચલ તાપમાન ધરાવતા સ્ત્રોત $T$ અને અચળ તાપમાન ધરાવતા સિંક $T_0 = 200 \,K$ વચ્ચે કાર્ય કરતા હીટ એન્જિન માટે,જ્યારે એન્જિન દરેક ક્ષણે કાર્નોટ એન્જિન તરીકે કાર્ય કરે ત્યારે મહત્તમ કાર્ય મળે છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_0}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગરમ પદાર્થમાંથી લેવામાં આવતી સૂક્ષ્મ ઉષ્મા $dQ_{in} = -C dT$ માટે થતું સૂક્ષ્મ કાર્ય $dW = \eta dQ_{in} = (1 - \frac{T_0}{T})(-C dT)$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 600 \,K$ થી અંતિમ તાપમાન $T_f = 400 \,K$ સુધી સંકલન કરતા:
$W = \int_{600}^{400} -(1 - \frac{200}{T}) C dT = C \int_{400}^{600} (1 - \frac{200}{T}) dT$.
અહીં $C = 1 \,J/K$ આપેલ છે:
$W = [T - 200 \ln T]_{400}^{600} = (600 - 400) - 200(\ln 600 - \ln 400)$.
$W = 200 - 200 \ln(600/400) = 200 - 200 \ln(3/2) = 200(1 - \ln(3/2)) \,J$.

(B) આપેલ છે: અંતર $r_{1} = 8 \,km = 8000 \,m$, તીવ્રતા સ્તર $L_{1} = 30 \,dB$.
પાયા પરનું અંતર $r_{2} = 80 \,m$, તીવ્રતા સ્તર $L_{2} = ?$.
તીવ્રતા સ્તર $L$ એ $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_{0}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે અવાજનો સ્ત્રોત બિંદુવત સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે, તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^{2}}$, જેનો અર્થ છે કે $I \propto \frac{1}{r^{2}}$.
તીવ્રતા સ્તરોમાં તફાવત નીચે મુજબ છે:
$L_{2} - L_{1} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{2}}{I_{1}} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right)^{2} = 20 \log_{10} \left( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$L_{2} - 30 = 20 \log_{10} \left( \frac{8000}{80} \right)$
$L_{2} - 30 = 20 \log_{10} (100)$
$L_{2} - 30 = 20 \times 2 = 40$
$L_{2} = 40 + 30 = 70 \,dB$.
આમ, ટાવરના પાયા પર તીવ્રતા $70 \,dB$ છે.

(B) ધારો કે ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ છે.
$A \rightarrow B$ સમદાબી (isobaric),$B \rightarrow C$ એડિયાબેટિક અને $C \rightarrow A$ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે.
ધારો કે $T_A = T_{min}$ અને $T_B = T_{max}$. ગુણોત્તર $x = T_B / T_A$ છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે: $Q_{AB} = n C_p (T_B - T_A) = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) (T_B - T_A)$.
સમતાપી પ્રક્રિયા $C \rightarrow A$ માટે: $Q_{CA} = n R T_A \ln(V_A / V_C)$.
$B \rightarrow C$ એડિયાબેટિક હોવાથી,$T_B V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1}$. $T_C = T_A$ હોવાથી,$T_B V_B^{\gamma-1} = T_A V_C^{\gamma-1}$.
તેથી,$(V_C / V_B)^{\gamma-1} = T_B / T_A = x$,એટલે કે $V_C / V_B = x^{1/(\gamma-1)}$.
વળી,સમદાબી પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે,$V_B / V_A = T_B / T_A = x$.
તેથી,$V_C / V_A = (V_C / V_B) \cdot (V_B / V_A) = x^{1/(\gamma-1)} \cdot x = x^{\gamma/(\gamma-1)}$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - |Q_{CA}| / Q_{AB} = 1 - [n R T_A \ln(V_C / V_A)] / [n R \frac{\gamma}{\gamma-1} (T_B - T_A)]$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - [T_A \cdot \frac{\gamma}{\gamma-1} \ln x] / [\frac{\gamma}{\gamma-1} T_A (x - 1)] = 1 - \frac{\ln x}{x - 1}$.
આપેલ છે કે $\eta = 0.5$,તેથી $0.5 = 1 - \frac{\ln x}{x - 1} \Rightarrow \frac{\ln x}{x - 1} = 0.5 \Rightarrow \ln x = 0.5(x - 1) \Rightarrow \ln x = \ln(e^{0.5(x-1)})$.
આમ,$x = e^{0.5(x-1)} \Rightarrow x^2 = e^{x-1}$.

(B) બોટલની અંદર (બિંદુ $1$) અને નોઝલ પર (બિંદુ $2$) બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
અહીં,$p_{1} = p_{\text{atm}} + \frac{F}{A}$ અને $p_{2} = p_{\text{atm}}$. દબાવવાની પ્રક્રિયા ધીમી હોવાથી,આપણે $v_{1} \approx 0$ ધારીએ છીએ.
તેથી,$p_{\text{atm}} + \frac{F}{A} = p_{\text{atm}} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{2F}{\rho A}$ .......... $(i)$
$h$ ઊંચાઈથી આડી પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,અવધિ $R$ એ $R = v_{2} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$R^{2} = v_{2}^{2} \left(\frac{2h}{g}\right) \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{R^{2}g}{2h}$ .......... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2F}{\rho A} = \frac{R^{2}g}{2h} \Rightarrow F = \frac{R^{2}g \rho A}{4h}$
આપેલ છે $R = 2 \,m$,$g = 10 \,m/s^{2}$,$\rho = 1000 \,kg/m^{3}$,$A = 10 \,cm^{2} = 10^{-3} \,m^{2}$,અને $h = 1 \,m$:
$F = \frac{(2)^{2} \times 10 \times 1000 \times 10^{-3}}{4 \times 1} = 10 \,N$.

(B) આપેલ છે: સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 7 \times 10^{-2} \,m^{2}$,દળ $m = 300 \,g$,કેલરીફિક વેલ્યુ $CV = 30 \,kJ/g$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 10\% = 0.1$,$T_{surface} = 60^{\circ}C = 333 \,K$,$T_{room} = 0^{\circ}C = 273 \,K$,સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \,W/m^{2}K^{4}$.
વિકિરણ દ્વારા ગરમી ગુમાવવાનો દર (સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ) $P = e A \sigma (T_{surface}^{4} - T_{room}^{4})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લેક બોડી માટે $e = 1$ લેતા:
$P = 1 \times (7 \times 10^{-2}) \times (5.67 \times 10^{-8}) \times (333^{4} - 273^{4})$.
$P = 3.969 \times 10^{-9} \times (1.230 \times 10^{10} - 0.556 \times 10^{10}) \approx 26.75 \,W$.
કુલ ઉપલબ્ધ ઉષ્મા ઉર્જા $H = \eta \times m \times CV = 0.1 \times 300 \,g \times 30 \,kJ/g = 900 \,kJ = 9 \times 10^{5} \,J$.
સમયગાળો $t = H / P$ દ્વારા મળે છે.
$t = (9 \times 10^{5} \,J) / (26.75 \,W) \approx 33645 \,s$.
કલાકમાં રૂપાંતર કરતા: $t = 33645 / 3600 \approx 9.35 \,h$.
નજીકના વાજબી અંદાજ મુજબ,$t \approx 10 \,h$.

(D) આપેલ છે,ઇમારતથી ઉંદરના પડવાનું અંતર,$s = 12 \, m$.
દરેક માળની ઊંચાઈ,$h = 3 \, m$.
ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ,$H = 15 \times 3 = 45 \, m$.
ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ શિરોલંબ ગતિ માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા (પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ લેતા):
$H = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$
$45 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$45 = 5 t^2$
$t^2 = 9 \Rightarrow t = 3 \, s$.
હવે,અચળ ઝડપ $v$ સાથેની સમક્ષિતિજ ગતિ માટે:
$s = v \times t$
$12 = v \times 3$
$v = 4 \, m/s$.
$m/s$ ને $km/h$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો:
$v = 4 \times \frac{18}{5} = \frac{72}{5} = 14.4 \, km/h$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ $15 \, km/h$ છે.

(A) ધારો કે બે તારની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ છે,તો $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$ (આપેલ છે).
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રતિબળ (Stress) = $\frac{F}{A}$,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કારણ કે બંને તાર પર લાગતું બળ $F$ સમાન છે,તેથી પ્રતિબળ એ ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\text{Stress} \propto \frac{1}{A}$.
વર્તુળાકાર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,બે તારમાં ઉત્પન્ન થતા પ્રતિબળનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{Stress}_1}{\text{Stress}_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
આપેલ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$,તેથી $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{\text{Stress}_1}{\text{Stress}_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

(A) બારી પર લાગતું દબાણ તફાવત તેની ઉપરના પાણીના સ્તંભના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણને કારણે છે.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 30 \times 30 \,cm^2 = 900 \times 10^{-4} \,m^2 = 0.09 \,m^2$.
ઊંડાઈ $h = 100 \,m$.
ઘનતા $\rho = 1.03 \times 10^3 \,kg/m^3$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
દબાણ તફાવત $\Delta P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બારી પર લાગતું બળ $F = \Delta P \times A = \rho ghA$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = (1.03 \times 10^3) \times 10 \times 100 \times 0.09$
$F = 1.03 \times 10^3 \times 10^3 \times 0.09$
$F = 1.03 \times 10^6 \times 0.09 = 0.0927 \times 10^6 = 9.27 \times 10^4 \,N$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$F \approx 9.3 \times 10^4 \,N = 0.93 \times 10^5 \,N$.

(D) શરૂઆતમાં,પૃથ્વીની સાપેક્ષે અવકાશયાનનો વેગ $\vec{v}_{SE, i} = u \hat{i}$ છે.
પૃથ્વીની સાપેક્ષે ગ્રહનો વેગ $\vec{v}_{PE} = -3u \hat{i}$ છે.
તેથી,ગ્રહની સાપેક્ષે અવકાશયાનનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_{SP, i} = \vec{v}_{SE, i} - \vec{v}_{PE} = u \hat{i} - (-3u \hat{i}) = 4u \hat{i}$ થશે.
ગ્રહ ખૂબ જ વિશાળ હોવાથી,અવકાશયાન ગ્રહના સંદર્ભ ફ્રેમમાં સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે. વેગનું મૂલ્ય સમાન રહે છે,પરંતુ દિશા ઉલટાઈ જાય છે. આમ,ગ્રહની સાપેક્ષે અવકાશયાનનો અંતિમ વેગ $\vec{v}_{SP, f} = -4u \hat{i}$ થશે.
અંતે,પૃથ્વીની સાપેક્ષે અવકાશયાનનો વેગ $\vec{v}_{SE, f} = \vec{v}_{SP, f} + \vec{v}_{PE} = -4u \hat{i} + (-3u \hat{i}) = -7u \hat{i}$ થશે.
પૃથ્વીની સાપેક્ષે અવકાશયાનની ઝડપ $|\vec{v}_{SE, f}| = |-7u| = 7u$ થશે.

(B) ધારો કે $A_1$ એ પ્રદેશ $I$ નું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_1$ એ આ પ્રદેશમાં રક્તનો વેગ છે.
તે જ રીતે,$A_2$ અને $v_2$ એ પ્રદેશ $II$ માં ક્ષેત્રફળ અને વેગ છે.
સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
જેમ કે $A_1 > A_2$,તેથી $v_2 > v_1$.
હવે,બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ}$.
જેમ કે $v_2 > v_1$,તેથી $p_2 < p_1$.
આમ,જ્યારે પ્લેટલેટ્સ સંકોચનમાં પ્રવેશ કરે છે ત્યારે પ્રદેશ $II$ માં દબાણ ઓછું હોય છે.

(B) સમાન પ્રક્ષિપ્ત વેગ માટે અવધિ સમાન હોવાથી,પ્રક્ષિપ્ત કોણો પરસ્પર કોટિકોણ હોવા જોઈએ.
ધારો કે ખૂણાઓ $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે. તેથી $\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\theta_1 = 30^{\circ}$,તેથી $\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ દડા માટે,$h = \frac{u^2 \sin^2(30^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{u^2}{8g}$.
બીજા દડા માટે,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(60^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{u^2}{2g} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3u^2}{8g}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$H_2 = 3 \left(\frac{u^2}{8g}\right) = 3h$.

(D) બોટલની સ્થિરતા તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન પર આધાર રાખે છે. જ્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા બોટલના પાયાની બહાર જાય છે ત્યારે બોટલ પલટી જાય છે.
ધારો કે $h_b$ એ બોટલની ઊંચાઈ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $h_s$ એ બોટલમાં રહેલા શેમ્પૂની ઊંચાઈ છે. સિસ્ટમ (બોટલ + શેમ્પૂ) નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પાયાથી $h_{cm}$ ઊંચાઈ પર છે.
ખાલી બોટલનું દળ શેમ્પૂની સરખામણીમાં નગણ્ય માનતા,શેમ્પૂનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_s/2$ પર છે. બોટલ પલટી જવાની શરત $\tan \theta = \frac{R}{h_{cm}}$ છે.
કારણ કે $h_{cm} = h_s/2$ અને $f = h_s/h_b$,તેથી $h_s = f h_b$. આમ,$h_{cm} = \frac{f h_b}{2}$.
આ કિંમત શરતમાં મૂકતા: $\tan \theta = \frac{R}{f h_b / 2} = \frac{2R}{f h_b}$.
જો કે,જો આપણે બોટલનું દળ $(M_b)$ અને શેમ્પૂનું દળ $(M_s = \rho \pi R^2 h_s)$ ધ્યાનમાં લઈએ,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_{cm} = \frac{M_b (h_b/2) + M_s (h_s/2)}{M_b + M_s}$ થાય છે.
જેમ જેમ $f$ વધે છે,તેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શરૂઆતમાં નીચે જાય છે (સ્થિરતા અને $\theta$ વધે છે) અને પછી ઉપર જાય છે (સ્થિરતા અને $\theta$ ઘટે છે). આ વર્તણૂક એક વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જે મહત્તમ સુધી વધે છે અને પછી ઘટે છે,જે આલેખ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_h = g_d$ છે.
તેથી,$g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{2h}{R} = \frac{d}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d = 2h$.
અહીં $h = 10 \,km$ આપેલ હોવાથી,$d = 2 \times 10 \,km = 20 \,km$ થાય.

(B) ધારો કે પ્રક્ષેપણ બિંદુ $A$ છે અને હૂપનું પ્રારંભિક સ્થાન $C$ છે. આડું અંતર $AB = 25 \, m$ છે અને ઊભી ઊંચાઈ $BC = 45 \, m$ છે.
અંતર $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{25^2 + 45^2} = \sqrt{625 + 2025} = \sqrt{2650} \, m$.
સફરજનને $C$ તરફ $v = 24 \, m/s$ ની ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. સફરજનને હૂપના પ્રારંભિક સ્થાન $C$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{AC}{v} = \frac{\sqrt{2650}}{24} \, s$ છે.
આ સમય $t$ દરમિયાન,હૂપ $h = \frac{1}{2} g t^2$ જેટલા અંતરે નીચે પડે છે.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,આપણને મળે છે $h = \frac{1}{2} \times 10 \times \left(\frac{\sqrt{2650}}{24}\right)^2 = 5 \times \frac{2650}{576} = \frac{13250}{576} \approx 23 \, m$.
જ્યારે સફરજન હૂપમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે જમીનથી હૂપની ઊંચાઈ $H = 45 - h = 45 - 23 = 22 \, m$ છે.

(B) દડા $A$ માટે,તે $X$ ના આડા સ્તરથી $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત થાય છે. કાપવાનું શિરોલંબ અંતર $h$ છે. પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $0$ છે. તેથી,$t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
દડા $B$ માટે,તે જમીનના સ્તરથી મુક્ત થાય છે,પરંતુ તે $X$ સુધી પહોંચવા માટે આડી ગતિ કરે છે. જોકે,પ્રશ્ન જણાવે છે કે તે $X$ પર પહોંચે છે (જે માળખાના અંત જેટલા જ આડા સ્તરે છે). જો $B$ જમીન પર હોય અને $X$ જમીન પર હોય,તો તે ફક્ત આડી ગતિ કરે છે. પરંતુ આકૃતિના આધારે,$A$ અને $B$ સમાન માળખામાંથી મુક્ત થાય છે. જો $B$ જમીન પર હોય,તો તેને $X$ સુધી પહોંચવા માટે કોઈ શિરોલંબ અંતર કાપવાનું નથી. પ્રશ્ન સૂચવે છે કે $t_A = t_B = t_C$,જે આવા પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત અર્થઘટન પર આધારિત છે જ્યાં શિરોલંબ સ્થાનાંતર ઉડાનનો સમય નક્કી કરે છે.
દડા $C$ માટે,તેને $X$ થી $h$ ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવે છે. લીધેલ સમય $t_C = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
કારણ કે $t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ અને $t_C = \sqrt{\frac{2h}{g}}$,તેથી $t_A = t_C$ મળે છે. માળખાની સમાનતાને જોતા,$t_A = t_B = t_C$ થાય છે.

(B) ધારો કે દરેક સિક્કાનું દળ $m$ છે. શરૂઆતમાં $40$ સિક્કાઓ માટે ડૂબેલી ઊંડાઈ $h_0 = 3 \, cm$ છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પાત્રનું વજન એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $(40m)g = A \cdot h_0 \cdot \rho_w \cdot g$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આમ,$A \rho_w = \frac{40m}{3}$.
જ્યારે $N$ વધારાના સિક્કા ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દળ $(40+N)m$ થાય છે. નવી ડૂબેલી ઊંડાઈ $h'$ એ $(40+N)m = A \cdot h' \cdot \rho_w$ દ્વારા મળે છે,તેથી $h' = \frac{(40+N)m}{A \rho_w} = \frac{(40+N)m}{40m/3} = \frac{3(40+N)}{40} \, cm$.
તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ (તળિયાથી માપતા) $CM = \frac{40m(0) + Nm(9)}{(40+N)m} = \frac{9N}{40+N} \, cm$ છે.
ડૂબેલા ભાગનું ભૌમિતિક કેન્દ્ર $(GC)$ તળિયાથી $h'/2$ અંતરે છે: $GC = \frac{h'}{2} = \frac{3(40+N)}{80} \, cm$.
સ્થિર સંતુલનમાંથી અસ્થિર સંતુલનમાં પરિવર્તન માટે,$CM$ અને $GC$ એકબીજા પર સંપાત થવા જોઈએ $(CM = GC)$:
$\frac{9N}{40+N} = \frac{3(40+N)}{80}$
$720N = 3(40+N)^2$
$240N = 1600 + 80N + N^2$
$N^2 - 160N + 1600 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = \frac{160 \pm \sqrt{160^2 - 4(1600)}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{25600 - 6400}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{19200}}{2} = 80 \pm 40\sqrt{3} \approx 80 \pm 69.28$.
કારણ કે $N < 40$ (પાત્રની ઊંચાઈ $9 \, cm$ છે),આપણે $N = 80 - 69.28 = 10.72$ લઈએ છીએ.
$N$ નું મૂલ્ય $10$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) આ પરિસ્થિતિમાં એક પ્રોટોન અને એક એન્ટિ-પ્રોટોન એકબીજાની નજીક આવે છે. તેમની પાસે વિરુદ્ધ વીજભાર હોવાથી,તેઓ એકબીજાને આકર્ષે છે.
ધારો કે $r = 10 \, cm = 0.1 \, m$ અંતરે દરેક કણનો વેગ $v$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અનંત અંતરે કુલ ઉર્જા (જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય છે અને ધારો કે તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે) એ $r$ અંતરે કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$(PE)_{i} + (KE)_{i} = (PE)_{f} + (KE)_{f}$
$0 + 0 = -\frac{K e^2}{r} + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2$
નોંધ: સ્થિતિ ઉર્જા ઋણ છે કારણ કે વીજભાર વિરુદ્ધ છે.
$\frac{K e^2}{r} = m v^2$
$v = \sqrt{\frac{K e^2}{m r}}$
કિંમતો મૂકતા: $K = 9 \times 10^9 \, N m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$r = 0.1 \, m$.
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{1.67 \times 10^{-27} \times 0.1}} = 1.17 \, m/s$.

(B) અનુનાદ પરિપથની બેન્ડવિડ્થ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે જ્યાં પાવર અથવા આઉટપુટ વોલ્ટેજ તેના મહત્તમ મૂલ્યના ચોક્કસ ભાગ સુધી ઘટી જાય છે.
$L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં,અવરોધ પરનો આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{out} = I_{rms} R = \frac{V_0 R}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ છે.
અનુનાદ સમયે,$V_{out}$ મહત્તમ $(V_0)$ હોય છે.
જે આવૃત્તિઓ પર આઉટપુટ વોલ્ટેજ તેના મહત્તમ મૂલ્યના અડધા સુધી ઘટી જાય છે તે $f_1 = 200 \,Hz$ અને $f_2 = 800 \,Hz$ છે.
બેન્ડવિડ્થને આ બે હાફ-પાવર આવૃત્તિઓ વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\text{Bandwidth} = f_2 - f_1$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$\text{Bandwidth} = 800 \,Hz - 200 \,Hz = 600 \,Hz$.

(C) સંયુક્ત વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $F = q(E + v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ નીચેની તરફ નિર્દેશિત છે. જમણી તરફ ગતિ કરતા ધન વીજભારિત કણ માટે,વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમતલની બહારની તરફ છે. ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B)$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ જમણી તરફ છે અને $B$ સમતલની બહાર છે,ચુંબકીય બળ $F_m$ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
ધન વીજભારિત કણ માટે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ બંને એક જ નીચેની દિશામાં લાગતા હોવાથી,તે નીચેની તરફ વિચલિત થશે અને $P$ છિદ્રમાંથી પસાર થશે નહીં.
ઋણ વીજભારિત કણ માટે,વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B)$ પણ ઉપરની તરફ લાગે છે. આમ,તે ઉપરની તરફ વિચલિત થશે અને $P$ છિદ્રમાંથી પસાર થશે નહીં.
તટસ્થ કણો પર વિદ્યુત કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કોઈ બળ લાગતું નથી $(F = 0)$ અને તેઓ સીધી રેખામાં ગતિ કરીને $P$ છિદ્રમાંથી પસાર થશે.
તેથી,માત્ર તટસ્થ કણો જ $P$ માંથી પસાર થશે.

(C) શ્રેણી $R-C$ સર્કિટ માટે, સમય $t$ પર કેપેસિટર પરનું પોટેન્શિયલ $V(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર $E/2$ સુધી ચાર્જ થાય છે, ત્યારે $E/2 = E(1 - e^{-t/RC})$, જેનો અર્થ છે કે $e^{-t/RC} = 1/2$.
આ ક્ષણે કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = C(E/2) = CE/2$ છે.
બેટરી દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = Q \cdot E = (CE/2) \cdot E = CE^2/2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = Q^2 / (2C) = (CE/2)^2 / (2C) = CE^2/8$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ, બેટરી દ્વારા થયેલ કાર્ય એ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા અને અવરોધક દ્વારા વ્યય થયેલ ઉષ્માના સરવાળા જેટલું હોય છે: $W = U + H$.
તેથી, વ્યય થયેલ ઉષ્મા $H = W - U = CE^2/2 - CE^2/8 = 3CE^2/8$.
બેટરી દ્વારા થયેલ કાર્ય અને વ્યય થયેલ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $W/H = (CE^2/2) / (3CE^2/8) = (1/2) / (3/8) = 4/3$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાની અંદર સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V(r) = \frac{kQ}{2R^3} (3R^2 - r^2)$
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \left( \frac{3R^2 - r^2}{2} \right)$
$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{r}{R} \right)^2 \right)$
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સ્વરૂપ $V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} (a + b(r/R)^c)$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$a = \frac{3}{2}$
$b = -\frac{1}{2}$
$c = 2$
આમ,$(a, b, c)$ ના મૂલ્યો $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 2)$ છે.

(A) આપેલ છે,$n_{L}=C_{A} n_{A}+(1-C_{A}) n_{B}$.
અહીં,$n_{A}=1.5$ અને $n_{B}=1.3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$n_{L} = C_{A}(1.5) + (1-C_{A})(1.3) = 1.3 + 0.2 C_{A}$.
ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ માટે પ્રિઝમ-પ્રવાહી સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$n_{p} \sin \theta_{C} = n_{L} \sin 90^{\circ}$.
કારણ કે $n_{p} = 1.5$,તેથી:
$\sin \theta_{C} = \frac{n_{L}}{1.5} = \frac{1.3 + 0.2 C_{A}}{1.5}$.
$\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.3 + 0.2 C_{A}}{1.5} \right)$.
જ્યારે $C_{A} = 0$ હોય,ત્યારે $\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.3}{1.5} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{13}{15} \right) \approx 60^{\circ}$.
જ્યારે $C_{A} = 1$ હોય,ત્યારે $\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.5}{1.5} \right) = \sin^{-1}(1) = 90^{\circ}$.
જેમ $C_{A}$ એ $0$ થી $1$ સુધી વધે છે,તેમ $\theta_{C}$ એ $60^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે. વિધેય $\theta_{C} = \sin^{-1}(f(C_{A}))$ એ અરેખીય વધતું વિધેય છે. આલેખ $(A)$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં,સ્થિત-વિદ્યુત બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{m v^{2}}{r} = \frac{K Z e^{2}}{r^{2}}$
આ સૂચવે છે કે ગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{K Z e^{2}}{2 r}$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $PE = -\frac{K Z e^{2}}{r}$ છે.
આમ,કુલ ઉર્જા $E = KE + PE = \frac{K Z e^{2}}{2 r} - \frac{K Z e^{2}}{r} = -\frac{K Z e^{2}}{2 r}$ થાય.
આપેલ છે કે $E = \frac{-E_{0}}{n}$,આને $E = -\frac{K Z e^{2}}{2 r}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r \propto n$ મળે છે.
કારણ કે $KE = \frac{1}{2} m v^{2} \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{n}$,તેથી $v^{2} \propto \frac{1}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{n}}$.
કોણીય વેગમાન $L = m v r$ છે.
પ્રમાણસરતા $v \propto n^{-1/2}$ અને $r \propto n$ મૂકતા,આપણને $L \propto n^{-1/2} \cdot n = n^{1/2} = \sqrt{n}$ મળે છે.
તેથી,$L \propto \sqrt{n}$.

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2}$.
જ્યારે $\theta_{1} = \theta_{C}$ હોય,ત્યારે વક્રીભૂતકોણ $\theta_{2} = 90^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\sin \theta_{2} = 1$ અને $\cos \theta_{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta_{2}} = 0$. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચું છે.
જ્યારે $\theta_{1} > \theta_{C}$ હોય,ત્યારે $\sin \theta_{2} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sin \theta_{1} > 1$ થાય છે. કારણ કે $\sin \theta_{2} > 1$ છે,તેથી $\cos \theta_{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta_{2}}$ કાલ્પનિક બને છે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચું છે.
આપાતકોણ $\theta_{1}$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે,પરાવર્તિત કિરણ પરાવર્તનના નિયમનું પાલન કરે છે,તેથી $\theta_{1} = \theta_{3}$. આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(d)$ ના સંદર્ભમાં,$\theta_{3}$ એ પરાવર્તનકોણ છે,જે હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે અને $\theta_{1}$ જેટલો જ હોય છે. તેથી,$\cos \theta_{3}$ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે,જે દર્શાવે છે કે વિકલ્પ $(d)$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ છે:
તરંગલંબાઈ $\lambda = 638 \,nm$
મોડ્યુલેશન આવૃત્તિ $f = 1 \,GHz = 1 \times 10^{9} \,Hz$
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \,m/s$
પલ્સની લંબાઈ (અથવા એક પલ્સનો અવકાશી વિસ્તાર) એ મોડ્યુલેશન આવૃત્તિના એક આવર્તકાળમાં પ્રકાશ દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતર દ્વારા નક્કી થાય છે.
બે ડિટેક્ટર વચ્ચેનું અંતર $D$ જેથી તેઓ એક જ પલ્સને એકસાથે જોઈ શકે,તે મોડ્યુલેશનની તરંગલંબાઈ જેટલું હોય છે,જે નીચે મુજબ છે:
$D = \frac{c}{f}$
કિંમતો મૂકતા:
$D = \frac{3 \times 10^{8} \,m/s}{1 \times 10^{9} \,Hz} = 0.3 \,m$
$D = 30 \,cm$
તેથી,બે ડિટેક્ટરને એકબીજાથી મહત્તમ $30 \,cm$ ના અંતરે મૂકી શકાય છે.

(D) સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય $Emf$ $e = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ છે.
અવરોધ $R$ માં ઉષ્મા વ્યયનો દર (પાવર) $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $P = \left( \frac{B l v}{R} \right)^2 R = \frac{B^2 l^2 v^2}{R}$ મળે છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે ઉષ્મા વ્યયનો દર ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $P \propto v^2$.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે $(v' = 2v)$,તો નવો ઉષ્મા વ્યયનો દર $P'$ એ $P' \propto (2v)^2 = 4v^2$ થશે.
તેથી,નવા ઉષ્મા વ્યયના દર અને પ્રારંભિક દરનો ગુણોત્તર $\frac{P'}{P} = \frac{4v^2}{v^2} = 4$ છે.
આમ,ઉષ્મા વ્યયનો દર $4$ ના અવયવથી વધે છે.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ પ્રકાશના કિરણોના વાસ્તવિક છેદન દ્વારા રચાય છે અને તેને પડદા પર મેળવી શકાય છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: અભિસારી લેન્સ માટે,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વસ્તુની વિરુદ્ધ બાજુએ રચાય છે,પરંતુ પ્રકાશના કિરણો પ્રતિબિંબ બિંદુથી ફેલાય છે,જે પ્રતિબિંબની બાજુના નિરીક્ષકને તેને જોવાની મંજૂરી આપે છે,અથવા જો પડદા પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે,તો તે વસ્તુની બાજુથી દૃશ્યમાન થાય છે.
વિધાન $III$ સાચું છે: અભિસારી લેન્સ દ્વારા રચાયેલા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વસ્તુની સાપેક્ષમાં પાર્શ્વ (laterally) અને રેખીય (longitudinally) બંને રીતે ઉલટા હોય છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,એક પણ વિધાન ખોટું નથી.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 1 \,cm$,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_{i} = -0.5 \,V$,આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda = 290 \,nm$,અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_{0} = 332 \,nm$.
ઝિંકનું વર્ક ફંક્શન $\phi = \frac{hc}{\lambda_{0}} = \frac{1242 \,eV \cdot nm}{332 \,nm} \approx 3.74 \,eV$ છે.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1242 \,eV \cdot nm}{290 \,nm} \approx 4.28 \,eV$ છે.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માટે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi = 4.28 \,eV - 3.74 \,eV = 0.54 \,eV$ છે.
જ્યારે બોલમાંથી ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે બોલનું સ્થિતિમાન વધે છે. ઉત્સર્જન ત્યાં સુધી ચાલુ રહેશે જ્યાં સુધી ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા શૂન્ય ન થાય.
તેથી,અંતિમ સ્થિતિમાન $V_{f} = 0.54 \,V$ હશે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા એ વ્યક્તિગત તરંગલંબાઈઓને કારણે મળતી તીવ્રતાનો સરવાળો છે કારણ કે તેઓ એકબીજાના સંદર્ભમાં અસંગત (incoherent) છે.
$I_{0}$ સ્લિટ તીવ્રતા ધરાવતી એક તરંગલંબાઈ માટે,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_{0}} + \sqrt{I_{0}})^2 = 4I_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેহেতু સ્ત્રોત $400 \,nm$ અને $800 \,nm$ એમ બે તરંગલંબાઈઓનું ઉત્સર્જન કરે છે,જે દરેકની સ્લિટ તીવ્રતા $I_{0}$ છે,તેથી દરેક તરંગલંબાઈ માટે મહત્તમ તીવ્રતા $4I_{0}$ થાય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમ (central maxima) પર,બંને તરંગલંબાઈઓ એકસાથે તેમની સંબંધિત મહત્તમ તીવ્રતા ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,કુલ મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\text{total}} = 4I_{0} + 4I_{0} = 8I_{0}$ થાય છે.

(B) પરાવર્તિત પ્રકાશની તીવ્રતા ત્યારે સૌથી ઓછી જોવા મળે છે જ્યારે તે સંપૂર્ણપણે પોલેરાઈઝ્ડ હોય. આ બ્રુસ્ટરના ખૂણા $(i_p)$ પર થાય છે,જે નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan i_p = \mu = 1.33 = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow i_p = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) = 53^{\circ}$
આપેલ ભૂમિતિમાં,સૂર્ય ક્ષિતિજ ($A$,$6.00 \, AM$) થી તે સ્થાન $P$ સુધી જાય છે જ્યાં આપાતકોણ $53^{\circ}$ છે. સૂર્યોદયથી સૂર્યાસ્ત સુધીનો કુલ સમય $12$ કલાક છે,જે સૂર્યની સ્થિતિમાં $180^{\circ}$ ના ફેરફારને અનુરૂપ છે.
સૂર્યને ક્ષિતિજ $(A)$ થી સ્થાન $P$ (જ્યાં લંબ સાથે આપાતકોણ $53^{\circ}$ છે) સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$t = \frac{12 \, h}{180^{\circ}} \times (90^{\circ} + 53^{\circ})$
$t = \frac{12}{180} \times 143^{\circ} = \frac{143}{15} \, h = 9 \, h + \frac{8}{15} \, h = 9 \, h + 32 \, min$
$6.00 \, AM$ થી શરૂ કરીને,સમય $6.00 + 9 \, h \, 32 \, min = 15:32$ થશે,જે $3:32 \, PM$ ને અનુરૂપ છે.

(B) પરિપથને ઇન્ડક્ટર $L$ અને ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $e = B l v$ ના શ્રેણી જોડાણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $l$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા હાથની લંબાઈ છે. લૂપ લંબચોરસ હોવાથી અને અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતું હોવાથી,ક્ષેત્રમાં રહેલા હાથની લંબાઈ $l$ અચળ રહે છે.
લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$e - L \frac{dI}{dt} = 0$
$v B l - L \frac{dI}{dt} = 0$
$\frac{dI}{dt} = \frac{v B l}{L}$ ..... $(i)$
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુથી ડાબા હાથનું અંતર $x = vt$ છે,તેથી:
$\frac{dx}{dt} = v$ ..... $(ii)$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dI}{dx} = \frac{dI}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dI}{dt} \cdot \frac{1}{v}$.
$(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{dI}{dx} = \left( \frac{v B l}{L} \right) \cdot \frac{1}{v} = \frac{B l}{L}$.
અહીં $B, l,$ અને $L$ અચળ હોવાથી,ઢાળ $\frac{dI}{dx}$ એ ધન અચળાંક છે. તેથી,પ્રવાહ $I$ એ અંતર $x$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે. સાચો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.

(C-D) ચુંબકીય વીજભારો ધરાવતી દુનિયા માટે સુધારેલા મેક્સવેલ-એમ્પિયરના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય $emf$ એ $\oint B \cdot dl = \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{d\phi_{E}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{E} = E \cdot A = E \cdot (l \cdot x)$ છે,જ્યાં $x$ એ સળિયાનું સ્થાન છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{d\phi_{E}}{dt} = E \cdot l \cdot \frac{dx}{dt} = E \cdot l \cdot v$ છે.
આ કિંમતને $emf$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $emf = \mu_{0} \epsilon_{0} E l v$ મળે છે.
ચુંબકીય અચળાંકો માટે $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \epsilon_{0}}$ હોવાથી,$emf = \frac{E v l}{c^{2}}$ થાય છે.
પ્રેરિત ચુંબકીય પ્રવાહની દિશા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની દિશા પર આધાર રાખે છે. જો $E$ બહારની તરફ હોય,તો પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે; જો $E$ અંદરની તરફ હોય,તો પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે. આમ,$E$ ની દિશાના આધારે વિકલ્પ $(c)$ અને $(d)$ બંને શક્ય છે.

(A) આપેલ કમ્પેરેટર સર્કિટમાં,આઉટપુટ $V_{o}$ એ ઇનપુટ $V_{+}$ અને $V_{-}$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$V_{o} = \begin{cases} +10 \, V & \text{જો } V_{+} > V_{-} \\ -10 \, V & \text{જો } V_{+} < V_{-} \end{cases}$
સર્કિટ પરથી,નોન-ઇનવર્ટિંગ ઇનપુટ $V_{+}$ એ $V_{o}$ સાથે જોડાયેલા બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધ $R$ દ્વારા બનેલા વોલ્ટેજ ડિવાઇડર સાથે જોડાયેલ છે,તેથી $V_{+} = V_{o} \left( \frac{R}{R+R} \right) = \frac{V_{o}}{2}$.
ઇનવર્ટિંગ ઇનપુટ $V_{-}$ એ કેપેસિટર $C$ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી $V_{-} = V_{C}$.
જ્યારે $V_{o} = +10 \, V$ હોય,ત્યારે $V_{+} = +5 \, V$ થાય. કેપેસિટર અવરોધ $R$ દ્વારા $+10 \, V$ તરફ ચાર્જ થાય છે. જેવું $V_{C}$ એ $+5 \, V$ કરતા વધી જાય,ત્યારે $V_{-} > V_{+}$ થાય છે,જેના કારણે આઉટપુટ $-10 \, V$ પર સ્વિચ થાય છે.
જ્યારે $V_{o} = -10 \, V$ હોય,ત્યારે $V_{+} = -5 \, V$ થાય. કેપેસિટર $-10 \, V$ તરફ ડિસ્ચાર્જ થાય છે. જેવું $V_{C}$ એ $-5 \, V$ કરતા નીચે જાય,ત્યારે $V_{-} < V_{+}$ થાય છે,જેના કારણે આઉટપુટ ફરીથી $+10 \, V$ પર સ્વિચ થાય છે.
આ સતત સ્વિચિંગને કારણે $+10 \, V$ અને $-10 \, V$ ની વચ્ચે દોલન કરતો સ્ક્વેર વેવ આઉટપુટ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે ચુંબકીય ફ્લક્સ પાનાની બહારની તરફ વધી રહ્યું છે,લેન્ઝના નિયમ મુજબ,ક્લોકવાઇઝ દિશામાં પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે. લૂપની આસપાસનું emf $\oint E \cdot ds = \varepsilon_{0}$ છે.
પાથ $1$ માટે,જે સોલેનોઇડને ઘેરે છે,$a$ થી $b$ સુધીના વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખા સંકલન $\int_{a}^{b} E \cdot ds = \varepsilon_{0}$ છે. તેથી,$V_{b}-V_{a} = -\int_{a}^{b} E \cdot ds = -\varepsilon_{0}$ મળે.
પાથ $2$ માટે,જે સોલેનોઇડને ઘેરતું નથી,ઘેરાયેલું ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે. આમ,આ પાથ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખા સંકલન શૂન્ય છે,એટલે કે $\int_{a}^{b} E \cdot ds = 0$. તેથી,$V_{a}-V_{b} = -\int_{b}^{a} E \cdot ds = 0$ મળે.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 1 \, m$,અસમાનતા $\Delta r = 0.01 \, m$,ઝડપ $v = 54 \, m/s$,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 9.67 \times 10^{-27} \, J/T$,અને દળ $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$.
અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ન્યુટ્રોન દ્વારા અનુભવાતું ચુંબકીય બળ $F = M \frac{\Delta B}{\Delta r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુટ્રોન વર્તુળાકાર ગતિ કરતું હોવાથી,આ ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F = \frac{m v^2}{r}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $M \frac{\Delta B}{\Delta r} = \frac{m v^2}{r}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફાર $\Delta B$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\Delta B = \frac{m v^2 \Delta r}{M r}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta B = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times (54)^2 \times 0.01}{9.67 \times 10^{-27} \times 1}$.
$\Delta B = \frac{1.67 \times 2916 \times 0.01}{9.67} \approx \frac{48.6972}{9.67} \approx 5.04 \, T$.

(A) આપેલ છે: વિદ્યાર્થીની ઝડપ $v = 5.4 \,km/h = 5.4 \times \frac{5}{18} \,m/s = 1.5 \,m/s$.
રસ્તાથી પાઇપના મુખનું અંતર $D = 8 \,m$.
પાઇપનો વ્યાસ $d = 0.45 \,m$.
ધ્વનિની આવૃત્તિ $f = 1280 \,Hz$.
ધ્વનિની ઝડપ $v_s = 320 \,m/s$.
પ્રથમ,ધ્વનિની તરંગલંબાઇ શોધો: $\lambda = \frac{v_s}{f} = \frac{320}{1280} = 0.25 \,m$.
પાઇપના વર્તુળાકાર મુખ પર ધ્વનિ તરંગોનું વિવર્તન પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત અનુસરે છે: $\sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}$.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,જ્યાં $y$ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમથી પ્રથમ ન્યૂનતમ સુધીનું અંતર છે.
$y = 1.22 \frac{\lambda}{d} D = 1.22 \times \frac{0.25}{0.45} \times 8 = 1.22 \times \frac{1}{1.8} \times 8 \approx 5.42 \,m$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $2y = 2 \times 5.42 = 10.84 \,m$ છે.
જે સમય $T$ માટે અવાજ સંભળાય છે તે આ પહોળાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય છે: $T = \frac{2y}{v} = \frac{10.84}{1.5} \approx 7.23 \,s$.
આ કિંમત $6-12$ સેકન્ડની રેન્જમાં આવે છે.

(A) સોલર સેલ માટે,પદાર્થ $A$ સૌર વર્ણપટના નોંધપાત્ર ભાગને શોષી શકવા સક્ષમ હોવો જોઈએ. સૌર વિકિરણોને વિદ્યુત ઉર્જા (emf) માં કાર્યક્ષમ રીતે રૂપાંતરિત કરવા માટે $A$ ની બેન્ડ ગેપ ઉર્જા લગભગ $1.5 \, eV$ હોવી જોઈએ.
પદાર્થ $B$ નો ઉપયોગ રક્ષણાત્મક કોટિંગ તરીકે થાય છે. સૌર વિકિરણો આ કોટિંગમાંથી શોષાયા વિના પસાર થઈ શકે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,પદાર્થ $B$ ની બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $E_{B}$ આપાત ફોટોનની ઉર્જા કરતા નોંધપાત્ર રીતે મોટી હોવી જોઈએ. તેથી,પદાર્થ $B$ માટે $E_{B} = 5 \, eV$ જેવી મોટી બેન્ડ ગેપ આદર્શ છે જેથી તે સૌર વર્ણપટ માટે પારદર્શક રહે.
આમ,શ્રેષ્ઠ વિકલ્પ $E_{A} = 1.5 \, eV$ અને $E_{B} = 5 \, eV$ છે.

(B) અભિમુખતામાં કુલ ફેરફાર $180^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે ફેરફારનો સમયગાળો $10^5$ વર્ષ છે.
પ્રતિ વર્ષ ડિગ્રીમાં સરેરાશ ફેરફાર $\frac{180^{\circ}}{10^5} = 1.8 \times 10^{-3} \, ^{\circ}/\text{વર્ષ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1^{\circ} = 60 \, \text{મિનિટ}$ અને $1 \, \text{મિનિટ} = 60 \, \text{સેકન્ડ}$, તેથી $1^{\circ} = 3600 \, \text{સેકન્ડ}$.
તેથી, પ્રતિ વર્ષ સેકન્ડમાં સરેરાશ ફેરફાર $1.8 \times 10^{-3} \times 3600 \, \text{s/વર્ષ} = 6.48 \, \text{s/વર્ષ}$ છે.
આ કિંમતને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, તે $5 \, \text{s}$ ની સૌથી નજીક છે.

(C)
આપેલ ભાતોમાં,કોમ્પેક્ટ ડિસ્ક પર જોવા મળતા રંગો પ્રકાશના વિવર્તનને કારણે હોય છે.
બાકીની ભાતોના કારણો નીચે મુજબ છે:
$(a)$ મેઘધનુષ પ્રકાશના વક્રીભવન,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અને વિભાજનને કારણે રચાય છે.
$(b)$ જ્યારે સફેદ પ્રકાશ પ્રિઝમમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બનતી રંગીન ભાત પ્રકાશના વિભાજનને કારણે હોય છે.
$(d)$ આકાશનો વાદળી રંગ પ્રકાશના પ્રકીર્ણનને કારણે હોય છે.

(B) લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$u$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $\frac{u}{v} - 1 = \frac{u}{f}$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ હોવાથી,$\frac{1}{m} - 1 = \frac{u}{f}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{m} = \frac{u}{f} + 1$.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આલેખનો ઢાળ $\frac{1}{f}$ મળે છે.
આલેખ પરથી,ઢાળની ગણતરી $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-250)}{0 - (-1)} = \frac{250}{1} = 250$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{1}{f} = 250$,જે આપે છે $f = \frac{1}{250} = 0.004 \, m$.

(A) સર્કિટ $(a)$ માટે,$100 \, \Omega$ અને $200 \, \Omega$ ના અવરોધ શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન $300 \, \Omega$ અને $R$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે. આકૃતિ $(a)$ જોતા,$100 \, \Omega$ અને $200 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે,અને $300 \, \Omega$ અને $R$ એકબીજા સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (100 + 200) + \frac{300R}{300+R} = 300 + \frac{300R}{300+R} = \frac{90000 + 600R}{300+R}$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I = \frac{10}{R_{eq}} = \frac{10(300+R)}{90000 + 600R}$ છે.
$R$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ $V_a = I \times \frac{300R}{300+R} = \frac{10(300+R)}{90000 + 600R} \times \frac{300R}{300+R} = \frac{3000R}{600R + 90000} = \frac{5R}{R + 150}$ છે.
સર્કિટ $(b)$ માટે,$200 \, \Omega$ અને $R$ શ્રેણીમાં છે,અને આ $300 \, \Omega$ સાથે સમાંતરમાં છે. આ સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{300(200+R)}{300+200+R} = \frac{60000 + 300R}{500+R}$ છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 100 + R_p = 100 + \frac{60000 + 300R}{500+R} = \frac{50000 + 100R + 60000 + 300R}{500+R} = \frac{110000 + 400R}{500+R}$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I = \frac{10}{R_{eq}} = \frac{10(500+R)}{110000 + 400R}$ છે.
સમાંતર જોડાણની આસપાસ વોલ્ટેજ $V_p = I \times R_p = \frac{10(500+R)}{110000 + 400R} \times \frac{60000 + 300R}{500+R} = \frac{600000 + 3000R}{110000 + 400R} = \frac{6000 + 30R}{1100 + 4R}$ છે.
$R$ ની આસપાસ વોલ્ટેજ $V_b = V_p \times \frac{R}{200+R} = \frac{30(200+R)}{1100+4R} \times \frac{R}{200+R} = \frac{30R}{1100+4R}$ છે.
$V_a = V_b$ સરખાવતા: $\frac{5R}{R+150} = \frac{30R}{1100+4R} \Rightarrow \frac{1}{R+150} = \frac{6}{1100+4R} \Rightarrow 1100 + 4R = 6R + 900 \Rightarrow 2R = 200 \Rightarrow R = 100 \, \Omega$.

(C) આપેલ છે:
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G = 6.7 \times 10^{-11} \, Nm^2/kg^2$
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
કુલંબનો અચળાંક $k = 9 \times 10^9 \, Nm^2/C^2$
$r$ અંતરે રહેલા બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F_G = \frac{G m_e^2}{r^2} = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{r^2}$
બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ:
$F_E = \frac{k e^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r^2}$
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_G}{F_E} = \frac{G m_e^2}{k e^2} = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$
ગણતરી કરતા:
$\frac{F_G}{F_E} \approx \frac{6.7 \times 82.81 \times 10^{-73}}{9 \times 2.56 \times 10^{-29}} \approx 24 \times 10^{-44}$
આમ,ગુણોત્તર આશરે $24 \times 10^{-44}$ છે.

(C) પ્રકાશનું કિરણ દરેક અન્ય દીવાલ પર બરાબર એકવાર પરાવર્તિત થયા પછી તે જ કાણામાંથી બહાર નીકળે તે માટે,માર્ગ ચોરસના વિકર્ણની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવો જોઈએ.
ધારો કે આપાતકોણ $\theta_i$ છે. પ્રથમ દીવાલ પર પરાવર્તન કોણ પણ $\theta_i$ હશે.
ચોરસમાં માર્ગને અનુસરતા,ભૂમિતિ મુજબ પછીની દીવાલો પરનો આપાતકોણ એવો હોવો જોઈએ કે જે બહાર નીકળવાનો કોણ $e = \theta_i$ સાથે કાણા પર પાછો ફરે.
કિરણ અન્ય ત્રણેય દીવાલોને અથડાયા પછી તે જ કાણામાંથી બહાર નીકળે તે માટે,કુલ વિચલન એવું હોવું જોઈએ કે કિરણ તેના મૂળ માર્ગને સમાંતર હોય પરંતુ ઉલટું હોય,અથવા સંમિત માર્ગને અનુસરે.
ચોરસ પાત્રમાં,પ્રકાશ ત્રણેય દીવાલોને અથડાઈને કાણા પર પાછો ફરે તે માટે,ભૂમિતિ સૂચવે છે કે $\theta_i$ એ $2\theta_i = 90^{\circ}$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ,જે $\theta_i = 45^{\circ}$ આપે છે.
આમ,કિરણ માત્ર $\theta_i = 45^{\circ}$ પર જ બહાર આવશે.

(C) ગ્રાઉન્ડેડ વાહક ખૂણા માટે ઈમેજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સીમા શરતોને સંતોષવા માટે ત્રણ ઈમેજ વિદ્યુતભારો મૂકીએ છીએ: $(-d, 0)$ પર $-q$,$(0, -d)$ પર $-q$,અને $(-d, -d)$ પર $+q$.
$(d, d)$ પર રહેલા $+q$ વિદ્યુતભાર પર ઈમેજ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતું બળ:
$1$. $(-d, 0)$ પરના $-q$ ને કારણે બળ: $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(2d)^2 + 0^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$ ($x$-અક્ષ તરફ આકર્ષી).
$2$. $(0, -d)$ પરના $-q$ ને કારણે બળ: $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{0^2 + (2d)^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$ ($y$-અક્ષ તરફ આકર્ષી).
$3$. $(-d, -d)$ પરના $+q$ ને કારણે બળ: $F_3 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(2d)^2 + (2d)^2} = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2}$ (ઉગમબિંદુથી દૂર અપાકર્ષી).
બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે પરિણામી આકર્ષી બળ $F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_1 = \frac{\sqrt{2} q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$,જે ઉગમબિંદુ $O$ તરફ લાગે છે.
કુલ બળ $F_{\text{net}} = F_{12} - F_3 = \frac{\sqrt{2} q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2} - \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2} = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2} (2\sqrt{2} - 1)$,જે $O$ તરફ લાગે છે.

(A) અભિસારી લેન્સ તેની સામે રાખેલી વસ્તુઓના વાસ્તવિક અને ઉલટા પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
$1$. ઉલટાવવું: જો કોઈ વસ્તુ ઓપ્ટિકલ સેન્ટરની સાપેક્ષમાં $(x, y)$ સ્થાન પર હોય,તો તેનું પ્રતિબિંબ ઓપ્ટિકલ સેન્ટરની સાપેક્ષમાં $(-x, -y)$ પર હશે (ધારી લઈએ કે લેન્સ ઉદગમ સ્થાન પર છે અને મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ છે).
$2$. ઉભી ઉલટફેર: બલ્બ $R$ અને $G$ મુખ્ય અક્ષની ઉપર $(y > 0)$ છે,તેથી તેમના પ્રતિબિંબ મુખ્ય અક્ષની નીચે $(y < 0)$ હશે. બલ્બ $W$ અને $B$ મુખ્ય અક્ષની નીચે $(y < 0)$ છે,તેથી તેમના પ્રતિબિંબ મુખ્ય અક્ષની ઉપર $(y > 0)$ હશે.
$3$. આડી ઉલટફેર: બલ્બ $G$ અને $B$ મુખ્ય અક્ષની ડાબી બાજુએ છે અને $R$ અને $W$ જમણી બાજુએ છે. લેન્સના ઉલટાવવાના ગુણધર્મને કારણે,પાર્શ્વીય સ્થાનો અદલાબદલી થાય છે.
$4$. ફોકસિંગ: બલ્બ $W$ અને $B$ એ $R$ અને $G$ કરતા લેન્સની નજીક છે. અભિસારી લેન્સ માટે,લેન્સની નજીકની વસ્તુઓ દૂર પ્રતિબિંબ બનાવે છે. આમ,$W$ અને $B$ ના પ્રતિબિંબ સ્ક્રીન $S_2$ પર (લેન્સથી દૂર) બનશે,અને $R$ અને $G$ ના પ્રતિબિંબ સ્ક્રીન $S_1$ પર (લેન્સની નજીક) બનશે.
આ બધાને જોડતા,સાચી રજૂઆત વિકલ્પ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) ધારો કે જ્યારે સિક્કો પ્રથમ વખત દેખાય ત્યારે પાણીની સપાટીની ઊંચાઈ $h$ છે. સિક્કામાંથી આવતું પ્રકાશનું કિરણ પાણીની સપાટી પર જાય છે અને અવલોકનકાર $O$ તરફ વક્રીભવન પામે છે.
ભૂમિતિ પરથી,વક્રીભવન કોણ $r$ માટે $\tan r = \frac{L-R}{H-d} = \frac{1.5-1}{5.75-4} = \frac{0.5}{1.75} = \frac{2}{7}$ મળે છે.
ધારો કે સિક્કાથી કિરણ પાણીની સપાટીને જ્યાં અથડાય છે ત્યાં સુધીનું આડું અંતર $x$ છે. તેથી $\tan r = \frac{x}{d-h} \Rightarrow x = (d-h) \tan r$.
વળી,$\tan i = \frac{R-x}{h}$ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n \sin i = \sin r$. અહીં $n = 4/3$ હોવાથી,$\sin r = \frac{4}{3} \sin i$.
$\tan r = 2/7$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin r = \frac{2}{\sqrt{2^2+7^2}} = \frac{2}{\sqrt{53}}$.
તેથી,$\sin i = \frac{3}{4} \sin r = \frac{3}{4} \times \frac{2}{\sqrt{53}} = \frac{3}{2\sqrt{53}}$.
હવે $\tan i = \frac{\sin i}{\sqrt{1-\sin^2 i}} = \frac{3/2\sqrt{53}}{\sqrt{1-9/(4 \times 53)}} = \frac{3/2\sqrt{53}}{\sqrt{203}/(2\sqrt{53})} = \frac{3}{\sqrt{203}}$.
$x = R - h \tan i = (d-h) \tan r$ ને સરખાવતા,$h = \frac{d \tan r - R}{\tan r - \tan i} = \frac{4(2/7) - 1}{2/7 - 3/\sqrt{203}} \approx 1.92 \,m$ મળે છે.
પાણીનું કદ $V = \pi R^2 h = \pi (1)^2 (1.92) = 1.92 \pi \approx 6.03 \,m^3$.
$V = Qt$ હોવાથી,$t = V/Q = 6.03 / 0.1 = 60.3 \,s$. નજીકનો વિકલ્પ $63 \,s$ છે.