मान लीजिए f(x) = begin{cases} frac{x}{sin x}, | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ जहाँ $x \in (0, 1)$ और $f(0) = 1$. हमें $\lim_{n 	o \infty} I_n$ ज्ञात करना है जहाँ $I_n = \sqrt{n} \int_0^

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अस्तित्व में है और $0$ है

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(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ जहाँ $x \in (0, 1)$ और $f(0) = 1$. हमें $\lim_{n 	o \infty} I_n$ ज्ञात करना है जहाँ $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ है। मान लीजिए $nx = t$,तो $x = t/n$ और $dx = dt/n$ होगा। जब $x$ का मान $0$ से $1/n$ तक जाता है,तो $t$ का मान $0$ से $1$ तक जाता है। इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर: $I_n = \sqrt{n} \int_0^1 f(t/n) e^{-t} \frac{dt}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 \frac{t/n}{\sin(t/n)} e^{-t} dt$. हम जानते हैं कि $\lim_{u 	o 0} \frac{u}{\sin u} = 1$ होता है। जैसे $n 	o \infty$,$t/n 	o 0$ होता है,जहाँ $t \in [0, 1]$ है। अतः,$\lim_{n 	o \infty} \frac{t/n}{\sin(t/n)} = 1$. समाकल चिह्न के अंतर्गत सीमा के गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\lim_{n 	o \infty} I_n = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 (1) e^{-t} dt = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} [1 - e^{-1}] = 0 	imes (1 - e^{-1}) = 0$.

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sin x}, & x \in (0, 1) \\ 1, & x = 0 \end{cases}$. समाकल $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ पर विचार करें। तब,$\lim_{n \to \infty} I_n$ है:

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