मान लीजिए $x \in (0, 1)$ के लिए $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$ है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I.$ $f$ का $(0, 1)$ में एक शून्य है।
$II.$ $f$ $(0, 1)$ में एकदिष्ट (monotone) है।
तो,

समीकरण $2e^{|x|} \tan^{-1}|x| = 1$ के हलों की संख्या - है।

फलन $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$ इस प्रकार है कि $f(2) = f(4) = 0$ है। दो कथनों पर विचार करें।
$(S_1)$ ऐसे $x_{1}, x_{2} \in (2, 4)$,$x_{1} < x_{2}$ विद्यमान हैं कि $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ और $f^{\prime}(x_{2}) = 0$ है।
$(S_2)$ ऐसे $x_{3}, x_{4} \in (2, 4)$,$x_{3} < x_{4}$ विद्यमान हैं कि $f$,$(2, x_{4})$ में ह्रासमान है,$(x_{4}, 4)$ में वर्धमान है और $2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4})$ है।
तब

यदि $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए है,तो
$(A)$ $f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम मान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(2,3)$ में ह्रासमान है
$(C)$ कोई ऐसा $c \in(0, \infty)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime \prime}(c)=0$
$(D)$ $f$ का $x=3$ पर स्थानीय निम्नतम मान है

मान लीजिए $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ और $g(x) = \log_e(\sqrt{1+x^2} + x)$,$x \in [0, 3]$ है। तो:

यदि $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ किसी $c > 0$ के लिए,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}$ एक अचर है जो $a$ और $b$ से स्वतंत्र है।