मान लीजिए p_1(x) = x^3 - 2020x^2 + b_1x + c_1 | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $p_1(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ और $p_2(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \delta)$ है।दिया गया है $p_1(x)q_1(x) + p_2(x)q_

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$p_1(3) + p_2(1) + 4028 = 0$

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(A) मान लीजिए $p_1(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ और $p_2(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \delta)$ है।दिया गया है $p_1(x)q_1(x) + p_2(x)q_2(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$।चूंकि $p_1(x)$ और $p_2(x)$ में $(x - \alpha)$ और $(x - \beta)$ उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं,इसलिए $(x - \alpha)(x - \beta)$ को $(x - 1)(x - 2)$ को विभाजित करना चाहिए।अतः,$\alpha = 1$ और $\beta = 2$ है।$p_1(x)$ और $p_2(x)$ में $x^2$ के गुणांकों से,$\alpha + \beta + \gamma = 2020 \implies 1 + 2 + \gamma = 2020 \implies \gamma = 2017$ है।इसी प्रकार,$\alpha + \beta + \delta = 2021 \implies 1 + 2 + \delta = 2021 \implies \delta = 2018$ है।अतः,$p_1(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 2017)$ और $p_2(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 2018)$ है।मानों की गणना करने पर: $p_1(3) = (3 - 1)(3 - 2)(3 - 2017) = 2 	imes 1 	imes (-2014) = -4028$ है।$p_2(1) = (1 - 1)(1 - 2)(1 - 2018) = 0$ है।इसलिए,$p_1(3) + p_2(1) + 4028 = -4028 + 0 + 4028 = 0$ है।

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