मान लीजिए A एक समुच्चय है जिसमें 10 अवयव हैं। | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $n(A) = 10$ है। $A$ से $A$ तक संबंधों की कुल संख्या $2^{n^2} = 2^{100}$ है।किसी संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,$(a, a)$ के रूप के सभी $10

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$2^{90}-2^{45}$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $n(A) = 10$ है। $A$ से $A$ तक संबंधों की कुल संख्या $2^{n^2} = 2^{100}$ है।किसी संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,$(a, a)$ के रूप के सभी $10$ अवयव संबंध में होने चाहिए।$A 	imes A$ में $100 - 10 = 90$ शेष अवयव हैं जो या तो मौजूद हो सकते हैं या नहीं।अतः,स्वतुल्य संबंधों की कुल संख्या $2^{90}$ है।किसी संबंध के सममित होने के लिए,यदि $(a, b)$ मौजूद है,तो सभी $a 
eq b$ के लिए $(b, a)$ भी मौजूद होना चाहिए।$\{(a, b), (b, a)\}$ के रूप के ऐसे $45$ जोड़े हैं।स्वतुल्य और सममित संबंध के लिए,$10$ विकर्ण अवयव $(a, a)$ मौजूद होने चाहिए,और $45$ जोड़ों में से प्रत्येक के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं (या तो दोनों मौजूद हैं या दोनों अनुपस्थित हैं)।अतः,स्वतुल्य और सममित संबंधों की संख्या $2^{45}$ है।स्वतुल्य लेकिन सममित नहीं होने वाले संबंधों की संख्या,कुल स्वतुल्य संबंधों में से स्वतुल्य और सममित संबंधों की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है।आवश्यक संख्या $= 2^{90} - 2^{45}$.

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समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ के लिए,$A$ पर संबंध $S = \{(1, 2), (2, 1), (2, 3)\}$ पर विचार करें। तब,संबंध $S$ . . . . . . है।

समुच्चय $A = \{3, 4, 5\}$ पर संबंध $S = \{(3,3), (4,4)\}$ . . . . . . है।

यदि $R$ समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है,तो $R^{-1}$ क्या नहीं है :-

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